基于遺傳算法的共軛凸輪機(jī)構(gòu)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)*

葛樂樂，張 龍，胡凱文

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引 言

兩個(gè)凸輪固結(jié)在同一回轉(zhuǎn)軸，分別稱為主凸輪和回凸輪，用于控制從動(dòng)件的推程與回程，固結(jié)的兩凸輪稱為共軛凸輪，一般將控制從動(dòng)件推程的凸輪稱為主凸輪。共軛凸輪機(jī)構(gòu)因其傳動(dòng)精確，能夠精確控制機(jī)構(gòu)從動(dòng)件的推程和回程，被廣泛應(yīng)用于打緯、開口、引緯等精密機(jī)械中[1,2]。

為了保證共軛凸輪機(jī)構(gòu)的精確性，需要設(shè)計(jì)有較高精度的凸輪廓曲線。凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)方法大致分為圖解法和解析法兩大類。圖解法的設(shè)計(jì)任務(wù)量比較大，而且不能滿足設(shè)計(jì)精度的要求；因此，大多采用解析法，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。

蔡漢明等[3]使用C#語(yǔ)言對(duì)AutoCAD進(jìn)行了二次開發(fā)，得到了凸輪輪廓曲線的DWG格式文件，實(shí)現(xiàn)了共軛凸輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)；魏奔等[4,5]為了實(shí)現(xiàn)共軛凸輪機(jī)構(gòu)滿足許用壓力角的要求，利用MATLAB開發(fā)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件，通過人機(jī)交互的方式獲得了凸輪廓線特征點(diǎn)數(shù)據(jù)；LIU Qing-li等[6]使用Creo軟件輸入公式生成凸輪輪廓曲線，實(shí)現(xiàn)了共軛凸輪的參數(shù)化設(shè)計(jì)，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)仿真，驗(yàn)證了從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律；趙曉芬[7]在NX5草圖環(huán)境下，利用弗洛克近似法求解，確定了凸輪機(jī)構(gòu)的基本尺寸，通過輸入輪廓曲線表達(dá)式生成了凸輪草圖，拉伸生成了凸輪三維模型。上述方法不能實(shí)現(xiàn)共軛凸輪機(jī)構(gòu)壓力角最小化，不能使機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率達(dá)到最優(yōu)；而且，以上方法只能得到凸輪的輪廓曲線特征點(diǎn)或零件圖，不能直接獲得凸輪的三維模型。

本文建立最大壓力角最小化的優(yōu)化模型，采用遺傳算法進(jìn)行求解，得到共軛凸輪機(jī)構(gòu)的基本尺寸，編寫指令式共軛凸輪機(jī)構(gòu)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件，對(duì)SolidWorks進(jìn)行二次開發(fā)，并對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行ADAMS仿真驗(yàn)證。

1 共軛凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

1.1 從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線

以凸輪的角位移(φ)為x軸，以從動(dòng)件的角位移(ψ)為y軸，繪制函數(shù)ψ=f(φ)，所得曲線稱為凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線。一般來說，從動(dòng)件規(guī)律的給出方式有兩種：

(1)將從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線分解成若干段，每一段以標(biāo)準(zhǔn)傳動(dòng)函數(shù)的形式給出，標(biāo)準(zhǔn)傳動(dòng)函數(shù)通常選取：休止運(yùn)動(dòng)、多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律、簡(jiǎn)諧加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律，等[8]；

(2)以離散點(diǎn){φi,ψi}，{dψ/dφ}來表示運(yùn)動(dòng)特性曲線。

本文計(jì)算實(shí)例的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律以方式1給出，從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律如表1所示。

表1 從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1.2 凸輪機(jī)構(gòu)的壓力角

凸輪機(jī)構(gòu)壓力角是機(jī)構(gòu)最重要的參數(shù)之一，對(duì)機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率有著重大影響。

凸輪機(jī)構(gòu)壓力角示意圖如圖1所示。

圖1 凸輪壓力角示意圖

圖1中，O為凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心，A為擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，凸輪與擺桿接觸點(diǎn)處的公法線與OA連線交于點(diǎn)P，可知P為擺桿從動(dòng)件與凸輪的瞬心；凸輪與擺桿在P點(diǎn)處的速度大小相等，速度方向相同。所以，當(dāng)凸輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)在OA的連線上，凸輪與擺桿在P點(diǎn)的速度方向才相同；同理，當(dāng)凸輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)在OA的延長(zhǎng)線上，凸輪與擺桿在P點(diǎn)的速度方向才相同。

過P點(diǎn)作PC⊥AB，則有∠BPC=α，即機(jī)構(gòu)此時(shí)的壓力角。可得壓力角滿足：

(1)

式中：LBC—BC的長(zhǎng)度；LPC—PC的長(zhǎng)度。

其表達(dá)式分別為：

LBC=LAP·cos(ψG-ψ)-LAB

(2)

LPC=LAPsin(ψG-ψ)

(3)

式中：LAP—AP的長(zhǎng)度；LAB—AB的長(zhǎng)度；ψG—擺桿初始時(shí)刻與y軸負(fù)半軸的夾角。

其表達(dá)式為：

(4)

因?yàn)镻點(diǎn)為擺桿與凸輪的瞬心，根據(jù)瞬心的定義有：

(5)

根據(jù)圖1可得：

(6)

式中：η—轉(zhuǎn)向標(biāo)志量，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)向與擺桿轉(zhuǎn)向相同時(shí)η=1，當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)向與擺桿轉(zhuǎn)向相反時(shí)η=-1。

根據(jù)式(1～5)，壓力角可改寫為：

(7)

1.3 凸輪廓線的數(shù)學(xué)模型

對(duì)于給定的{φi,ψi}，可以利用反轉(zhuǎn)法與機(jī)構(gòu)學(xué)的知識(shí)得到凸輪廓線的數(shù)學(xué)模型。

共軛凸輪廓線求解示意圖如圖2所示。

圖2 共軛凸輪廓線求解示意圖

(8)

式中：α—凸輪機(jī)構(gòu)中心矩；L1—擺桿1的長(zhǎng)度。

所以，可得主凸輪的理論廓線坐標(biāo)方程：

(9)

同理，回凸輪的理論廓線坐標(biāo)方程為：

(10)

式中：L2—擺桿2的長(zhǎng)度。

則凸輪的實(shí)際廓線坐標(biāo)方程：

(11)

式中：R—滾子半徑；θ—理論輪廓曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)處法線的升角。

(12)

因?yàn)橛?jì)算機(jī)的離散性，本文將表1從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線離散化，得到一系列離散點(diǎn)，將其代入上述公式，便可得到凸輪輪廓曲線的離散點(diǎn)。

2 優(yōu)化計(jì)算與分析

2.1 遺傳算法簡(jiǎn)介

遺傳算法是20世紀(jì)60年代末期由Michigan大學(xué)教授JOHN H提出的一種模擬生物進(jìn)化機(jī)制來進(jìn)行全局優(yōu)化搜索的算法[9]。與傳統(tǒng)的梯度下降算法等優(yōu)化方法相比，遺傳算法并不要求計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的凹凸性也相對(duì)要求較低，這些使得遺傳算法可以更加有效地解決優(yōu)化問題。

遺傳算法的計(jì)算過程一般分為：初始化種群，每個(gè)個(gè)體按二進(jìn)制或十進(jìn)制進(jìn)行編碼；計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，通常是由目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變換得到的；根據(jù)個(gè)體的適應(yīng)度，利用交叉算子和變異算子對(duì)種群進(jìn)行更新，直至優(yōu)化準(zhǔn)則得到滿足，結(jié)束計(jì)算。

本文以種群大小為100，交叉概率0.8，變異概率0.2進(jìn)行遺傳算法求解。

2.2 優(yōu)化模型

共軛凸輪的基本尺寸主要有：

中心矩α，基圓半徑rG，擺桿1長(zhǎng)度L1，擺桿2長(zhǎng)度L2，擺桿夾角αR，滾子半徑rR，通常有L1=L2=L，本文中αR=100°，rR=7。

基本尺寸主要根據(jù)壓力角來確定，基本尺寸選取不好，可能會(huì)導(dǎo)致機(jī)構(gòu)壓力角過大、傳動(dòng)效率降低、更容易磨損。通常確定凸輪機(jī)構(gòu)基本尺寸的方法，主要是根據(jù)許用壓力角的要求，使用作圖法確定基本尺寸。但是，這種方法并不能使得機(jī)構(gòu)的壓力角達(dá)到最小，不能使機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率達(dá)到最優(yōu)。

本文采用遺傳算法的優(yōu)化方法，以最小化凸輪機(jī)構(gòu)的最大壓力角為優(yōu)化目標(biāo)，建立相應(yīng)的約束方程，進(jìn)而求解機(jī)構(gòu)的基本尺寸。

優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為：

min: max(α1(X,φi,ψi),α2(X,φi,ψi))

(13)

式中：X—優(yōu)化模型決策變量，X=[x1,x2,x3]=[α,rG,L]。

壓力角計(jì)算見式(6)，決策變量的取值范圍需要根據(jù)機(jī)構(gòu)的工作空間進(jìn)行確定，本文取下限為[20,20,15],取上限為[45,30,30]。

因?yàn)闆Q策變量需要構(gòu)成三角形，所以應(yīng)該有約束方程：

(14)

2.3 計(jì)算與分析

本文利用遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行三次求解，遺傳算法計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 遺傳算法計(jì)算結(jié)果

由表2可以看出：算法每次計(jì)算求得的目標(biāo)函數(shù)的差距不超過0.1°，說明遺傳算法具有較好的穩(wěn)定性。

選取第一組解的結(jié)果進(jìn)行分析。第一次優(yōu)化，其每代適應(yīng)度的均值與最優(yōu)值隨遺傳算法迭代次數(shù)的優(yōu)化收斂圖如圖3所示。

圖3 共軛凸輪參數(shù)優(yōu)化收斂圖

從圖3可以看出：算法在第20代左右即達(dá)到了最優(yōu)值，之后的迭代計(jì)算也沒有出現(xiàn)大幅度波動(dòng)，可以看出遺傳算法具有較好的收斂性。

因?yàn)楸疚牡臎Q策變量有3個(gè)，為了能更直觀地分析遺傳算法的準(zhǔn)確性，現(xiàn)令中心矩為第1次的優(yōu)化結(jié)果α=35.65 mm；以基圓半徑為x軸，擺長(zhǎng)為y軸，繪制共軛最大壓力角凸輪壓力角等高線圖，如圖4所示。

圖4 共軛凸輪最大壓力角等高線圖

從圖4中可以看出：當(dāng)中心矩為35.65 mm時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為23.366 4°，與遺傳算法優(yōu)化結(jié)果相同。由此可見，遺傳算法求解具有較好的準(zhǔn)確性。

3 軟件設(shè)計(jì)與實(shí)例驗(yàn)證

3.1 輔助設(shè)計(jì)軟件

本文使用MFC開發(fā)共軛凸輪計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件[10]，具體步驟為：

采用指令式的設(shè)計(jì)方法，將共軛凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的每個(gè)步驟設(shè)計(jì)成一個(gè)指令，將每一個(gè)共軛凸輪機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)抽象為一組指令程序；用戶通過拖動(dòng)的方式將指令集內(nèi)的指令添加到指令程序內(nèi)，軟件給與每個(gè)指令相應(yīng)的反饋；用戶設(shè)計(jì)完成一個(gè)共軛凸輪機(jī)構(gòu)時(shí)，一組對(duì)應(yīng)的指令程序也就相應(yīng)地編寫完成，可以對(duì)該指令程序進(jìn)行保存；保存好的指令程序可以在軟件內(nèi)打開，實(shí)現(xiàn)上次設(shè)計(jì)的重現(xiàn)。

共軛凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)字化設(shè)計(jì)流程如圖5所示。

圖5 共軛凸輪機(jī)構(gòu)數(shù)字化設(shè)計(jì)流程

3.2 實(shí)例驗(yàn)證

本文以表1的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為例，進(jìn)行共軛凸輪的數(shù)字化設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證。

添加輸入從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律指令，可得運(yùn)動(dòng)規(guī)律輸入界面，如圖6所示。

圖6 運(yùn)動(dòng)規(guī)律輸入界面

在圖6對(duì)話框中輸入從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后添加輸入基本尺寸指令，可得運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸參數(shù)輸入界面，如圖7所示。

圖7 運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸參數(shù)輸入界面

在圖7的對(duì)話框中輸入基本尺寸參數(shù)，用戶可以選擇是否使用遺傳算法進(jìn)行參數(shù)的優(yōu)化。遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化可以利用Galib類庫(kù)來實(shí)現(xiàn)[11]。輸入?yún)?shù)之后，添加計(jì)算凸輪輪廓指令，計(jì)算完成之后可以在繪圖區(qū)域內(nèi)得到凸輪的輪廓曲線。

為了能夠直接獲得凸輪的三維模型，軟件設(shè)有生成SolidWorks零件模型指令，實(shí)現(xiàn)SolidWorks二次開發(fā)。為了方便二次開發(fā)，SolidWorks提供了幾百個(gè)API函數(shù)，這些函數(shù)使得程序員得以直接訪問SolidWorks[12]。在MFC中要使用這些函數(shù)，只需要導(dǎo)入SolidWorks便可。添加生成SolidWorks零件模型指令后，SolidWorks軟件便會(huì)自動(dòng)啟動(dòng)，繪制凸輪的草圖，進(jìn)行拉伸后得到零件的三維模型。

其主要程序如下：

{

CComPtr swApp;

swApp.CoCreateInstance (__uuidof(SldWorks));

VARIANT_BOOL *visibility=NULL;

swApp -> get_Visible(visibility);

swApp -> put_Visible(TRUE);

IPartDocPtr myPart = swApp -> INewPart();

IModelDoc2 *m_pModelDoc;

myPart ->QueryInterface(&m_pModelDoc);

VARIANT_BOOL retval;

retval=m_pModelDoc->SelectByID(_T("前視基準(zhǔn)面"),_T("PLANE"),0,0,0);

m_pModelDoc -> InsertSketch();

…

}

得到的共軛凸輪主、回凸輪三維模型如圖8所示。

圖8 主、回凸輪三維模型

至此便實(shí)現(xiàn)了一例共軛凸輪機(jī)構(gòu)的數(shù)字化設(shè)計(jì)，同時(shí)軟件也生成了一組指令程序，可以選擇將其保存為TXT文件，方便下次打開，實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)過程的復(fù)現(xiàn)。

4 運(yùn)動(dòng)仿真

為了驗(yàn)證軟件計(jì)算的準(zhǔn)確性，本文利用SolidWorks制作共軛凸輪機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)。將制作好的虛擬樣機(jī)導(dǎo)入Adams，在凸輪、擺桿以及滾子的轉(zhuǎn)動(dòng)中心添加轉(zhuǎn)動(dòng)副，并給主凸輪和回凸輪添加固定約束；給主凸輪施加驅(qū)動(dòng)，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，得到從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

與表1所給的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律相比，可得運(yùn)動(dòng)規(guī)律的設(shè)計(jì)要求曲線與仿真曲線比較圖，如圖9所示。

圖9 設(shè)計(jì)要求曲線與仿真曲線的比較

從圖9可看出：仿真曲線與設(shè)計(jì)要求曲線基本吻合，最大誤差值為0.5°。由此可見，該軟件所設(shè)計(jì)的共軛凸輪機(jī)構(gòu)可以比較好地滿足要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于遺傳算法的共軛凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，筆者通過優(yōu)化計(jì)算的方法，使得機(jī)構(gòu)的最大壓力角達(dá)到全局最優(yōu)值附近，提高了機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率；對(duì)SolidWorks的二次開發(fā)，降低了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的工作量；對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行仿真分析，檢驗(yàn)了設(shè)計(jì)方法的正確性。

本研究給出的基于遺傳算法的共軛凸輪機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法，為共軛凸輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了理論工具和設(shè)計(jì)手段。這種方法在減輕設(shè)計(jì)工作量的同時(shí)，優(yōu)化了機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率，使得共軛凸輪的設(shè)計(jì)更加自動(dòng)化。

同時(shí)，本研究的不足之處，即共軛凸輪機(jī)構(gòu)在實(shí)際使用中可能存在很多受制條件，在今后的研究中，需要考慮增加相應(yīng)約束，改進(jìn)算法，以實(shí)現(xiàn)更加通用的設(shè)計(jì)方法。