從《兩個基本計數原理》談原理課教學設計

殷寧

數學抽象是六大核心素養(yǎng)之一，也是最難的核心素養(yǎng)。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學抽象主要表現為：獲得數學概念和規(guī)則，提出數學命題和模型，形成數學方法和思想，認識數學結構與體系。本節(jié)課要講的《兩個基本計數原理》屬于原理和命題教學，也是數學抽象的范疇。

【教學內容分析】

計數原理是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具。在本章中，學生將依次學習計數基本原理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯系，會解決簡單的計數問題。

【學情分析】

在學習計數公式之前，學生已經學過簡單的古典概型求概率，樹狀圖、窮舉法，但是并沒有具體的計數公式對問題進行歸納定型。

【學習目標】

通過實例總結出兩個基本原理，讓同學們理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理的特征;能夠正確的區(qū)分“類”和“步”，能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題。

【重難點】

重點：歸納地得出分類加法計數原理和分步乘法計數原理。

難點：正確理解“完成一件事情”的含義;根據實際問題的特征，正確地區(qū)分“分類” 或“分步”;把具體的自然語言轉化成抽象的符號語言。

【教學過程】

【課前思考】

①如果使用2個大寫的英文字母后接4個阿拉伯數字的方式構成汽車牌照號碼（英文字母中的I和O不用，以免和數字1，0混淆），那么能組成多少種汽車牌照號碼？

②新高考3+1+2模式中，共可能有多少種選科組合方法？

③乘積（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展開后共有多少項？

④從0、1、2、3這4個數中選出3個不同的數字排成一列，求能組成一個三位數的概率？

【問題情境】

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同走法？

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經過B村去C村，共有多少種不同的走法？

問題3：某校運動會前，各班開展了報名工作。跳遠類有2個項目;田徑類3個項目;集體類有4個項目;小明要從這些比賽項目中選擇一項報名，他一共有多少種不同的選法？

問題4：跳遠類有2個項目，田徑類有3個項目，小明要從這兩個類型的比賽項目中各選一項報名，他一共有多少種不同的選法？

【學生活動】

問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有3班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同走法？

問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條。從A村經過B村去C村，共有多少種不同的走法？

問題3：某校運動會前，各班開展了報名工作。跳遠類有2個項目;田徑類3個項目;集體類有4個項目;小明要從這些比賽項目中選擇一項報名，他一共有多少種不同的選法？

問題4：跳遠類有2個項目，田徑類有3個項目，小明要從這兩個類型的比賽項目中各選一項報名，他一共有多少種不同的選法？

思考1：你能將上述4個問題歸類嗎？

生：問題1和問題3是一類，問題2和問題4是一類。

思考2：你還能再舉出一些類似的例子嗎？

生：如3位密碼鎖的設置過程;如選出兩名課代表。

設計意圖：以問題串的形式引發(fā)學生自主歸納，并自己舉例，引發(fā)所有人對“分類”和“分步”的反思和辨析，進一步明確兩種類型的差異，經歷分類與識別的過程。

思考3：能否歸納出分類計數問題和分步計數問題的特征和計算方法？

生：分類計數問題分為兩類，分步計數問題分為兩步。每類有不同的解決方法，只要把這些方法數加起來就行。分步計數問題只要把每一步的方法數乘起來即可。

追問1：分類計數問題一定就是分成兩類嗎？分步計數問題一定就是兩個步驟嗎？

追問2：每類方法下有多少種方法，能表示出來嗎？每個步驟的方法數如何用數學語言表示？

設計意圖：都是計數原理，即統(tǒng)計完成某件事不同方法種數的原理，因此都要先弄清是怎樣一件事，如何才算完成這件事.不同點：分類計數原理中的n類辦法相互獨立，且每類里的每種方法都可獨立完成這件事;分步計數原理中的各個步驟互相依存，每一步都不能獨立完成該件事，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成。

揭示本節(jié)課課題：《兩個基本計數原理》

【課堂小結】

今天學習了什么內容？它們的“區(qū)別”和“聯系”是什么？

【你學會了嗎？】

如果使用2個大寫的英文字母后接4個阿拉伯數字的方式構成汽車牌照號碼（英文字母中的I和O不用，以免和數字1，0混淆），那么能組成多少種汽車牌照號碼？

設計意圖：以最開始提出的問題結尾，營造首尾呼應之感，以檢驗本節(jié)課教學成果，延續(xù)學生對本節(jié)課內容的研究興趣。

【教學反思】

本節(jié)課是一節(jié)概念原理課，對于具體數學概念的抽象過程，應是特殊→一般→特殊，這是一個從具體到抽象再到具體的過程。本節(jié)課從幾個具體簡單的數學問題入手，引導學生尋找規(guī)律，對數學模型進行分析和建構，從中歸納和概括出數學概念和原理，這既是教學重點，也是難點。本節(jié)課問題1，2，3，4的結果學生很容易得出，但是在從具體數字到數學符號語言的飛躍過程中，學生仍然出現了不小的困難。在實施過程中，學生無法獨立表達出“在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，……，在第n類方式中有mn種不同的方法”，說明本節(jié)課的數學概念抽象過程在具體操作中需要進一步細化。

在教學設計當中，目前有一點遺憾，那就是未能將本節(jié)課的《兩個基本計數原理》和已有知識不落痕跡地結合，比如加法原理和分類討論思想的一致性，乘法原理是樹狀圖的原理呈現，樹狀圖是乘法原理的窮舉化表達等，希望給學生創(chuàng)造接受新知識并納入已有知識網絡的契機，這個創(chuàng)造在后續(xù)的學習中持續(xù)進行。