第849號數學問題的推廣與探究

黃殷

【摘要】《數學教學》2012年第2期曾刊登了第849號數學問題：已知⊙O的非直徑弦AC與BD相交于點M，射線BA與CD相交于點P，過點A，C作⊙O的切線相交于點N，過點B，D作⊙O的切線相交于點Q，求證：P，Q，N三點共線.筆者利用幾何畫板，發現橢圓也有類似性質，并把這個性質拓展到雙曲線、拋物線，最后證明得出其成立.

【關鍵詞】非直徑弦;非中心弦;切線;三點共線

《數學教學》2012年第2期曾刊登了第849號數學問題：已知⊙O的非直徑弦AC與BD相交于點M，射線BA與CD相交于點P，過點A，C作⊙O的切線相交于點N，過點B，D作⊙O的切線相交于點Q，求證：P，Q，N三點共線.

筆者利用幾何畫板，發現橢圓也有類似性質，并把這個性質拓展到雙曲線、拋物線，在這里把它記錄下來，供大家參考.

命題1 已知橢圓的非中心弦AC與BD相交于點M，如圖1，射線BA與CD相交于點P，過點A，C作橢圓的切線相交于點N，過點B，D作橢圓的切線相交于點Q，則P，Q，N三點共線.

證明 設A（acos α，bsin α），B（acos β，bsin β），C（acos γ，bsin γ），D（acos θ，bsin θ），其中0<α<β<γ<θ≤2π.

直線AC，BD的方程分別為：

y-bsin α=b（sin α-sin γ）a（cos α-cos γ）（x-acos α），①

y-bsin β=b（sin β-sin θ）a（cos β-cos θ）（x-acos β）.②

聯立①②解方程組，得點M的坐標為：

x0=sin（α-γ）（cos β-cos θ）+sin（β-θ）（cos γ-cos α）sin（α-β）+sin（β-γ）+sin（γ-θ）+sin（θ-α）a=sin α+γ2cos β-θ2-cos α-γ2sin β+θ2sin α-β2+γ-θ2a

=sin α+β+γ-θ2+sin α+γ+θ-β2-sin α+β+θ-γ2-sin β+γ+θ-α22sinα-β2+γ-θ2a，

y0=sin（α-γ）（sin β-sin θ）+sin（β-θ）（sin γ-sin α）sin（α-β）+sin（β-γ）+sin（γ-θ）+sin（θ-α）b=cos α-γ2cos β+θ2-cos α+γ2cos β-θ2sinα-β2+γ-θ2b

=cos α+β+θ-γ2+cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ2-cos α+γ+θ-β22sinα-β2+γ-θ2b.

又因為直線AB，CD的方程分別為：

y-bsin α=b（sin α-sin β）a（cos α-cos β）（x-acos α），???? ③

y-bsin γ=b（sin γ-sin θ）a（cos γ-cos θ）（x-acos γ）.④

聯立③④解方程組，得點P的坐標為：

x1=sin α+β+γ-θ2+sin α+β+θ-γ2-sin α+γ+θ-β2-sin β+γ+θ-α22sinα-γ2+β-θ2a，

y1=cos α+γ+θ-β2+cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ2-cos α+β+θ-γ22sinα-γ2+β-θ2b.因為

x1x0=sin α+β+γ-θ2-sin β+γ+θ-α22-sin α+γ+θ-β2-sin α+β+θ-γ224sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2a2=cos β+γ2sin α-θ22-cos α+θ2sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2a2，

y1y0=cos β+γ+θ-α2-cos α+β+γ-θ22-cos α+γ+θ-β2-cos α+β+θ-γ224sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2b2=sin β+γ2sin α-θ22-sin α+θ2sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2b2，

則x0x1a2+y0y1b2=sin α-θ22-sin γ-β22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2=cos（γ-β）-cos（α-θ）2sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2

=2sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ22sinα-β2+γ-θ2sinα-γ2+β-θ2=1.

所以，點P在直線l：x0xa2+y0yb2=1上.

又因為過點A，C的切線方程分別為：

xcos αa+ysin αb=1，⑤

xcos γa+ysin γb=1.⑥

聯立⑤⑥解方程組，得點N的坐標為：

x2=a（sin α-sin γ）sin（α-γ）=cos α+γ2cos α-γ2a，

y2=-b（cos α-cos γ）sin（α-γ）=sin α+γ2cos α-γ2b.

因為

x0x2=sin α+γ2cos β-θ2-cos α-γ2sin β+θ2cos α+γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2a2，

y0y2=cos α-γ2cos β+θ2-cos α+γ2cos β-θ2sin α+γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2b2，

則

x0x2a2+y0y2b2=sin α+γ2cos β+θ2-cos α+γ2sin β+θ2cos α-γ2sinα-β2+γ-θ2cos α-γ2=1.

所以，點N在直線l：x0xa2+y0yb2=1上.

同理可證，點Q也在直線l上.

所以，P，Q，N三點共線.

雙曲線和拋物線也有類似的性質.

命題2 已知雙曲線的非中心弦AC與BD相交于點M，如圖2，射線BA與CD相交于點P，過點A，C作雙曲線的切線相交于點N，過點B，D作雙曲線的切線相交于點Q，則P，Q，N三點共線.

命題3 已知拋物線的弦AC與BD相交于點M，如圖3，直線BA與CD相交于點P，過點A，C作拋物線的切線相交于點N，過點B，D作拋物線的切線相交于點Q，則P，Q，N三點共線.

證明 設Ay2A2p，yA，By2B2p，yB，Cy2C2p，yC，Dy2D2p，yD，其中yA+yC≠0，yA+yD≠0，yB+yC≠0，yB+yD≠0，yA+yC≠yB+yD，yA+yB≠yC+yD.

直線AC，BD的方程分別為：

y-yA=2pyA+yCx-y2A2p，

y-yB=2pyB+yDx-y2B2p.

聯立解方程組，得點M的坐標為：

x0=yAyC（yB+yD）-yByD（yA+yC）2p（yA+yC-yB-yD），

y0=yAyC-yByDyA+yC-yB-yD，

同理可得，直線AB，CD的交點P的坐標為：

x1=yAyB（yC+yD）-yCyD（yA+yB）2p（yA+yB-yC-yD），

y1=yAyB-yCyDyA+yB-yC-yD.

因為

p（x1+x0）=yAyC（yB+yD）-yByD（yA+yC）2（yA+yC-yB-yD）+yAyB（yC+yD）-yCyD（yA+yB）2（yA+yB-yC-yD）

=y2AyByC-yAy2ByD-yAy2CyD+yByCy2D（yA+yC-yB-yD）（yA+yB-yC-yD），

y0y1=（yAyC-yByD）（yAyB-yCyD）（yA+yC-yB-yD）（yA+yB-yC-yD）=y2AyByC-yAy2ByD-yAy2CyD+yByCy2D（yA+yC-yB-yD）（yA+yB-yC-yD），則y0y1=p（x1+x0）.

所以，點P在直線l：y0y=p（x+x0）上.

又因為過點A，C的切線方程分別為：

yAy=px+y2A2p，yCy=px+y2C2p.

聯立解方程組，得點N的坐標為：

x2=yAyC2p，y2=yA+yC2.

因為

p（x2+x0）=yAyC2+yAyC（yB+yD）-yByD（yA+yC）2（yA+yC-yB-yD）=y2AyC+yAy2C-yAyByD-yByCyD2（yA+yC-yB-yD），

y0y2=（yA+yC）（yAyC-yByD）2（yA+yC-yB-yD）=y2AyC+yAy2C-yAyByD-yByCyD2（yA+yC-yB-yD）.

則y0y2=p（x2+x0）.

所以，點N在直線l：y0y=p（x+x0）上.同理可證，點Q也在直線l上.

所以，P，Q，N三點共線.

在解析幾何中，圓、橢圓、雙曲線和拋物線有很多相似的共性，我們只要通過大膽地猜想和細心地論證，定能發現更多美妙的結論.