“圓的第一節復習課”的教學設計與反思

齊肖肖

【摘要】本文筆者從不同視角研究圓的復習課教學的新模式，基于生活經驗設計“破鏡重圓”的生活問題，采用三段式教學層層遞進復習圓的相關概念、定理和性質，通過課堂效果，反思提煉教學革新方法，融入整體建構思想，開發學生思維，讓圓的知識系統化，幫助學生更好、更有效地消化吸收課堂中的難點和重點，用生活經驗配合整體建構思想打造新的初三復習新模式.

【關鍵詞】圓;三段式教學;整體建構

引言：圓是蘇科版初中教材中最后學習的幾何圖形，學生在小學時就已經能從具體的事物中抽象出圓的形狀，對圓有一定的了解.圓的知識位于蘇科版九年級上冊第二章內容，學生剛學習過圓的概念、與圓相關的定理和圓的一些性質，根據艾賓浩斯遺忘曲線，學生如果不及時復習，那么殘留在腦海里的圓的知識會越來越少，再加之圓這一章涉及的知識點繁雜，因此圓的第一節復習課不能過多追求難度的提升.針對學生的學習現狀，教師在進行教學設計時，應該略高于新課引入設置問題情境，可以充分利用知識導圖，幫助學生搭建整體結構體系.因此本堂課的主旨是概念的梳理和性質、概念的總結歸類.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出：“數學作為對于客觀現象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具[1]”，因此教師在整堂復習課中應該注重培養學生觀察、分析、總結等基本數學素養.

一、教學設計過程

整堂課以回顧、思考本章所學知識及所體現的數學思想方法為主，并讓學生用自己喜歡的方式對相關知識進行梳理，使其所學知識系統化;進一步豐富學生對“對稱圖形——圓”的認識，讓學生能有條理地、清晰地闡明自己的觀點;以培養學生歸納、反思的意識為教學目標，采用講授法、討論法、動手操作法等教學方法，讓學生動手作圖，通過觀察——發現問題——提出問題——解決問題——總結方法的基本研究方式歸納圓這一章的知識點，形成完整的知識導圖.

二、教學過程

采用四個板塊，依次為：確定圓的條件，點與圓的位置關系，圓心角、弧、弦、圓周角之間的關系及回歸本“圓”.考慮到課堂容量有限，并結合教參的教學建議，將直線與圓的位置關系這部分內容放置在復習課的第二課時.教學時以現實生活中的圓鏡為“引”，層層遞進，逐步引導學生構建圓的知識體系.

板塊1 確定圓的條件

圖1任務1：小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖1所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片可以是.

問題1：帶第1塊可不可以？為什么？（預設：第1塊只含有圓上兩個點無法確定圓心位置）

圖2

圖3問題2：那可以帶哪塊去？怎樣確定圓心位置？（預設：應該帶第3塊，如圖2所示，可以在弧CD上再取一個點P，連接PC，PD，作PC，PD的垂直平分線，即可確定圓心O，再以OC為半徑即可還原圓形鏡子）

問題3：上述過程利用的是“垂徑定理”，涉及了圓的軸對稱性，在圖3中，利用圓的軸對稱性還可以得到： ①CK=PK，CM=PM（對應的弦相等）;②弧CK=弧KP、弧CM=弧PM（對應的弧相等）;③△CKN≌△PKN、△CMN≌△PMN（對應角和邊相等）.

練習：①若弧CK的度數為10°，則弧PM的度數為.②若OM=13，ON=12，則CP的長為.

任務小結：利用軸對稱性可以求角度，結合垂徑定理可以求弦長.最終得出：要確定一個圓，除了已知圓心和半徑外，不在同一直線上的三點也可以確定一個圓.

設計目的：回顧圓的定義及圓的基本組成要素：圓心定位置，半徑定大小.讓學生認識到不在同一直線上的三點也可以唯一確定一個圓.結合確定圓心的方法，引申出圓的軸對稱性，結合圓的軸對稱性找出求角度和弦長的一般方法.

板塊2 點與圓的位置關系

圖4任務1：在圖4中，以點A為圓心，r為半徑作⊙A，若B，E，F三點：①恰有一點在⊙A內，則r的范圍為;②恰有兩點在⊙A內，r的范圍為;③恰有三點在⊙A內，則r的范圍為;

任務2：若點E到⊙A上點的最近距離為4，最遠距離為6，則⊙A的半徑為.

小結：點與圓的位置關系通過點心距與半徑的大小關系來確定，可以體現數學中數形結合的思想，任務2中體現了分類討論的思想，可以分點E在圓內、點E在圓外來考慮.

設計目的：根據教材內容編寫次序由淺入深、層層遞進式復習，方便學生回顧已學的知識點.

板塊3 圓心角、弧、弦、圓周角之間的關系

任務1：在圖5中，弦AB=弦EF，∠AOB=∠EOF，弧AB=弧EF三個條件中，其中一個成立，另外兩個條件也成立.利用中心對稱性，可得△AOB≌△FOE，△BOE≌△AOF，對應的邊和角均相等.

任務2：如圖6所示，觀察△AOB在旋轉過程中，對應的弧、弦、角和形還具有等量關系嗎？（預設，結論依舊成立）

圖5? 圖6

圖7練習：如圖7所示，已知⊙O的半徑為5，弦A′B′，EF所對的圓心角分別是∠A′OB′，∠EOF，∠A′OB′與∠EOF互補，①若弦EF=6，則弦A′B′的長為.②若∠OA′B′=30°，則∠EOF的度數為.

小結：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.同時還可以發現直徑所對的圓周角為90°，90°的圓周角所對的弦為直徑;同弧所對圓周角是圓心角的一半.

設計目的：研究問題遵循從特殊到一般的步驟，在梳理知識點的同時向學生滲透思想方法.口述練習主要考查的是學生利用圓的旋轉不變性解決問題的能力.

板塊4 回歸本“圓”

任務1：如圖8，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為.

圖8

練習：若∠CAD=90°，∠ABC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，則∠CBD=.

小結：在解題過程中，要注意隱藏的圓，簡化解題過程.

設計意圖：考查圓周角與圓心角的關系，同時讓學生加深對圓的理解：圓是到定點距離等于定長的點的集合，讓學生回歸本“圓”.

課堂小結：本堂課復習了圓、圓的對稱性、確定圓的條件和圓周角四節課的內容，重點復習圓周角的相關知識點，在研究問題時應追根溯“圓”.

思考題：AB是半圓的直徑，圖9中，點C在半圓外，圖10中，點C在半圓內，請僅用無刻度的直尺按要求畫圖（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（1）在圖9中，畫出△ABC的三條高的交點;

（2）在圖10中，畫出△ABC中AB邊上的高，簡要說說你的作圖依據.

圖9 圖10 圖11

小結：可以利用直徑所對的圓周角等于90°，巧妙構造各邊的高線.

變式：如圖11所示，AB是⊙O的直徑，點C在圓上，∠BAD是△ABC的一個外角，它的平分線交⊙O于點E.不使用圓規，請你僅用一把不帶刻度的直尺作出∠BAC的平分線，并說說你的理由.

設計意圖：引導學生靈活應用弧、圓周角、圓心角之間最基礎的性質巧妙構造輔助線解決問題.

知識導圖設計：

復習要回歸本“圓”（源）

三、教學反思

1.引入要小步快走

課堂雖然以實際情境引入，但是起點略微拔得過高，導致后續的問題串施展不開，也不利于后面教學活動的順利開展.“破鏡重圓”固然是好事，但是對于知識記憶模糊的初三學生，過高的引入門檻會讓他們望而卻步.因此在這里應當降低引入門檻.教師可以充分利用數學實驗手冊工具，讓學生動手操作.例如，讓學生拿出一張圓形紙片，通過折疊的方式找到它的圓心.接下來“破鏡重圓”，先把學生帶入圓中，然后再逐級增加思維含量，引入時不僅要考慮學優生，還要照顧絕大多數的中等生和學困生，讓他們有事可做.

2.從整體建構角度架構復習課

知識點并不是獨立存在的，蘇霍姆林斯基曾指出：教師要弄明白已知和未知之間的關系，因為這關系到學生掌握知識的質量及在頭腦中的保持狀態，同時也會有效激發學生的興趣.教師必須讓學生從整章層面去理解圓包含的基本概念、定理和性質，然后有的放矢地搭建知識體系，詳略得當地處理重難點.追求現實情境引入固然重要，但是復習課更應注重的是知識的重構與組建，是知識的融會貫通.因此在這里，教師可以先拋出圓的知識導圖，讓學生通過練習的方式填充相應的文字和符號，這樣既增加了知識的系統性，又大大提升了復習課的效率.

3.回歸課本，追根溯源

書本中的練習都是經過精挑細選的，很多題目具有一定的代表性，因此復習課設計應該以書本上的簡單練習為主，注重知識的回顧，又可以兼顧絕大部分學生.與此同時，教師可以在簡單問題基礎上進行適當變式，以檢查學生的學習效果.

4.滲透核心素養

幾何教學重點訓練學生的觀察能力和抽象能力，增強學生的幾何直觀.羅增儒教授指出：“數學探究活動是綜合提升數學學科核心素養的載體”，因此教師在教學時，適當設置有意義的小組探究活動，有益于學生數學核心素養的養成與發展.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.