領悟知識內涵 把握提高尺寸

錢淑華

【摘要】基本不等式是解決多元函數(shù)最值問題的有力工具.因為學生對此還存在模糊認識，所以筆者在復習課中設置典型例題，并加入變式訓練，幫助學生學會觀察和分析代數(shù)式的結構特征，引導學生歸納配湊定值的技巧，使學生更好地掌握使用基本不等式求多元函數(shù)最值的方法.

【關鍵詞】多元函數(shù)的最值;配湊定值

一、基本情況

1.學情分析

授課的班級為四星級重點高中高一理科實驗班，學生整體水平較高，大部分學生思維活躍而且嚴密，能很好地參與教學互動.

2.教學內容分析

（1）地位及作用

本節(jié)課是“基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）”的第三課時.在前兩個課時中，學生已經探索并了解了基本不等式的證明過程，并能初步運用基本不等式求最值.本節(jié)課的目標定位是提升學生運用基本不等式解決多元函數(shù)最值問題的能力，加深對“一正”“二定”“三相等”的理解.

（2）教學重點、難點

重點：運用基本不等式求最值.

難點：配湊定值.

（3）設計思路

本節(jié)課從學生已有的基礎知識和解題經驗出發(fā)，通過典型例題的講解引導學生歸納配湊定值的技巧，并在變式訓練中讓學生學會觀察和分析代數(shù)式的結構特征.

二、教學過程

1.復習回顧，溫故知新

師：在前兩節(jié)課中，我們學習了基本不等式，它反映了兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的確定的不等關系.我們運用它求了哪兩類最值問題呢？

生：基本不等式的內容是：設a>0，b>0，則a+b≥2ab，ab≤a+b22，當且僅當a=b時等號成立.所以，當ab為定值時，a+b有最小值，即積定和最小;當a+b為定值時，ab有最大值，即和定積最大.

師：非常好.今天我們運用基本不等式來解決一些初步的多元函數(shù)最值問題.

【設計意圖】回顧前兩課時的知識，指出運用基本不等式解決的兩類最值問題，為接下來的例題教學指明方向.

2.典例精析，構建方法

例1 若x，y是正數(shù)，求x+12y2+y+12x2的最小值.

學生給出了以下幾種解法：

法一：因為x，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2=x2+14x2+y2+14y2+xy+yx≥2x2·14x2+2y2·14y2+2xy·yx=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

法二：因為x，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x

=2（xy+14xy+1）≥2（2xy·14xy+1）=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

法三：因為x，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2≥2x·12y2+2y·12x2=2xy+2yx≥22xy·2yx=4（當且僅當x=y=22時等號成立）.

【設計意圖】此題的切入面較寬，目的是讓學生多角度地思考問題.從解題的過程來看，學生抓住了x+12y2+y+12x2的特點，用多種方式構造乘積為定值，可謂百花齊放.法一將各項重組，配湊了三對乘積為定值的式子，即x2與14x2，y2與14y2，xy與yx.法二和法三都是先用一次基本不等式將目標函數(shù)縮小為乘積形式，然后再配湊定值.這些解法也讓學生明確：在多次運用基本不等式求最值時，只要保證每一次等號都能同時取到，那么就能取到最終的最值.

例2 已知a>0，b>0，a+b=1，求a+1ab+1b的最小值.

兩位學生給出了不同的解法，結果也不一樣.

生1：因為a>0，b>0，所以a+1ab+1b≥2a·1a·2b·1b=4.

生2：因為a>0，b>0，所以a+1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥ab+1ab+2，又因為1=a+b≥2ab（當且僅當a=b=12時等號成立），所以ab≤14，又函數(shù)y=x+1x在0，14上單調遞減，所以當ab=14時，ab+1ab+2取得最小值，為254，所以當a=b=12時，a+1ab+1b取到的最小值為254.

師：這兩種解法的結果不一樣，大家怎么看呢？

生3：我認為生2的解法是對的，因為在他的解題過程中每一次等號都能同時取到，而生1的解法中，等號成立的條件是a=1a且b=1b，即a=b=1，這與條件a+b=1矛盾，所以a+1ab+1b取不到4.

師：思考得非常嚴謹！這道題提醒我們，在求多元函數(shù)最值時要時刻關注等號成立的條件.

【設計意圖】這道例題既讓學生明確配湊定值的方向性，又讓學生在多種解法的辨別中認識到等號成立的重要性.從教學效果來看，學生普遍意識到在運用基本不等式求最值時要規(guī)范地書寫解題過程.

例3 若x>0，y>0，z>0，求xy+yzx2+y2+z2的最大值.

學生的解法：因為x>0，y>0，z>0，

所以xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+y22+y22+z2≤xy+yz2x2·y22+2y22·z2=xy+yz2xy+2yz=22（當且僅當x=y2=z時等號成立）.

教師給出如下變式：若x>0，y>0，z>0，求2xy+yzx2+2y2+z2的最大值.

學生的解法：因為x>0，y>0，z>0，所以設2xy+yzx2+2y2+z2=2xy+yz（x2+λy2）+[（2-λ）y2+z2]≤2xy+yz2λxy+22-λyz，