例談解答零點問題的兩個技巧

張舒

零點問題在函數中比較常見，側重于考查函數的圖象和性質、導數的性質、方程的判別式、根與系數的關系、不等式的性質以及零點存在性定理等.在解答零點問題時，同學們要先明確函數的零點、方程的根、函數圖象與x軸的交點之間的等價關系，將三者進行等價轉換，然后靈活運用導數、函數、不等式、方程等相關知識來解題.下面重點介紹解答零點問題的兩個技巧，以幫助同學們拓寬解題的思路.

一、多次求導

對函數進行多次求導的目的是為了明確零點的所在區間，這就需用到零點存在性定理，或根據函數的單調性確定函數的大致圖象.因此在解題時，同學們一定要明確解題的思路和求解的目標.

二、構造函數

當遇到含有參數的函數零點問題時，可用運用構造函數的技巧來解題.首先可將函數式變形，使參數與變量分離，把不含參數的式子構造成新的函數，或者直接根據函數式的特點構造新函數.若遇到含有對數、指數的函數式，可對函數求導，通過分析導函數來確定函數的單調性和最值.若遇到較為簡單的函數式，可直接討論函數的圖象和性質，確定函數的單調性和最值，繼而結合參數的取值，對函數進行分類討論便可解題.

我們先將函數進行變形，然后構造出新函數h（x），通過研究h（x）的導函數來確定函數h（x）的單調性和最值，再根據函數在單調區間內的圖象確定函數零點的個數，進而求得a的值.

零點問題具有較強……