例說分類討論思想在解題中的一些應用（一）

陳顯華

【摘要】分類討論，又稱分情況討論，當一個數學問題在一定的題設下，其結論并不唯一時，我們就需要對這一問題進行必要的分類.將一個數學問題根據題設分為有限的若干種情況，在每一種情況中分別求解，最后再將各種情況下得到的答案進行歸納綜合，這種研究問題的思想方法就是“分類討論的思想方法”.分類討論法是根據問題的不同情況分類求解，它體現了化整為零和積零為整的思想與歸類整理的方法，所以它是極為重要的思想方法.

【關鍵詞】分類討論思想;解題;應用

一、用分類討論思想求數軸上的點對應的數

例1 點A在數軸上距離原點有3個單位長度，將點A向右移動4個單位長度，再向左移動7個單位長度，此時點A表示的數是.

解 當點A在數軸正半軸上時，點A在數軸上距離原點有3個單位長度，將點A向右移動4個單位長度，再向左移動7個單位長度，此時點A表示的數是0;當點A在數軸負半軸上時，點A在數軸上距離原點有3個單位長度，將點A向右移動4個單位長度，再向左移動7個單位長度，此時點A表示的數是-6.

綜上所述，點A在數軸上距離原點有3個單位長度，將點A向右移動4個單位長度，再向左移動7個單位長度，此時點A表示的數是0或-6.

二、用分類討論思想求代數式的值

例2 已知|a|=2，|b|=3，求a+b+2012的值.

解 ∵|a|=2，|b|=3，

∴a=±2，b=±3.

∴當a=2，b=3時，a+b+2012=2+3+2012=2017;

當a=-2，b=-3時，a+b+2012=-2+（-3）+2012=2007;

當a=2，b=-3時，a+b+2012=2+（-3）+2012=2011;

當a=-2，b=3時，a+b+2012=（-2）+3+2012=2013.

綜上所述，已知|a|=2，|b|=3，式子a+b+2012的值為2017，或2007，或2011，或2013.

三、用分類討論思想求盈利或虧損額

例3 某商販在一次買賣中同時賣出兩件上衣，每件都以135元售出，若按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%，則在這次買賣中，該商販（? ）.

A.不賠不賺? B.賺9元

C.賠18元D.賺18元

分析 有些學生由于受思維定式的影響（忽略了兩件衣服的進價），錯誤地認為一件盈利25%，另一件虧本25%，盈利和虧本的百分數相同，并且每件上衣都以135元售出，所以總的盈利、虧本情況一定是不賠不賺.

解 設盈利25%的這件上衣的進價為x元，則由

135-x=25%x，得x=108.

設虧本25%的這件上衣的進價為y元，則由

y-135=25%y，得y=180.

∴總售價-總進價 =135×2-（108+180）=-18（元）.

綜上所述，該商販賠了18元.故本題選C.

四、 用分類討論思想求銳角三角函數值

例4 已知sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實數根，求sin α的值.

解 設一元二次方程3x2-7x+2=0的兩個實數根分別為x1和x2，且x1

∵sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實數根，

∴sin α=13或sin α=2.

當α為銳角，sin α=13時，這樣的α是存在的;

當α為銳角，sin α=2時，這樣的α不存在，因為當α為銳角時，0

綜上所述，sin α（α為銳角）是方程3x2-7x+2=0的實數根時，sin α的值只能等于13.

五、用分類討論思想求線段的長度

例5 已知線段AB=10 cm，C是線段AB所在直線上的一點，且BC=4 cm，M是線段AC的中點，則線段AM的長為.

解 （1）當點C在線段AB上時（如圖1所示），

∵M是線段AC的中點，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB-BC=6 cm.

∴AM=3 cm.

（2）當點C在線段AB的延長線上時（如圖2所示），

∵M是線段AC的中點，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB+BC=14 cm.

∴AM=7 cm.

綜上所述，線段AM的長為3 cm或7 cm，故填3 cm或7 cm.

六、用分類討論思想求三角形的周長

例6 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（? ）.

A.42B.32

C.42或32D.37或33

解 如圖3所示，當高AD在△ABC的內部時，△ABC的周長等于AB+AC+BC=15+13+（9+5）=42;

如圖4所示，當高AD在△ABC的外部時，△ABC的周長等于AB+AC+BC=15+13+（9-5）=32.

綜上所述，△ABC的周長為42或32.故本題選C.

七、用分類討論思想求三角形內角的度數

例7 在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，則∠BAC的度數是.

解 如圖5所示，當BC邊上的高在△ABC內部時，過點A作AD⊥BC，垂足為點D.

根據AB=2，∠B=30°可得∠BAD=60°，AD=1.

根據勾股定理可得CD=1，

即△ADC為等腰直角三角形，所以∠DAC=45°，于是∠BAC=60°+45°=105°.

如圖6所示，當BC邊上的高在△ABC外部時，過點A作AD⊥直線BC，垂足為點D.

因為∠BAC+∠B=∠ACD，所以∠BAC=45°-30°=15°.

綜上所述，在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，則∠BAC的度數是105°或15°.

例8 等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個等腰三角形的頂角的度數.

解 三角形的高的位置是由三角形的形狀所決定的.對于等腰三角形而言，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內部;當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外部.所以應該分兩種情況進行討論.

如圖7所示，在△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，過點C作CD⊥AB，垂足為D，則∠ACD=45°，

根據直角三角形的兩個銳角互余可知∠A=45°.

如圖8所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC為鈍角，

過點C作BA延長線的垂線，垂足為D，

則由題意知∠ACD=45°.根據直角三角形的兩個銳角互余可知∠CAD=45°，

于是∠BAC=135°.

綜上所述，等腰三角形一條腰上的高與另一腰所成的夾角為45°時，這個等腰三角形的頂角的度數為45°或135°.

例9 等腰三角形的一條腰上的高與腰長之比為1∶2，則該等腰三角形的頂角為.

解 如圖9所示，在△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，過點C作CD⊥AB，垂足為D.根據DCAC=12，可得sin A=DCAC=12，所以∠A=30°.

如圖10所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC為鈍角，過點C作BA的延長線的垂線，垂足為D.

根據DCAC=12，

可得sin∠DAC=DCAC=12，所以∠DAC=30°，于是∠BAC=150°.

綜上所述，等腰三角形的一條腰上的高與腰長之比為1∶2，則該等腰三角形的頂角為30°或150°.故填30°或150°.