大學非數學專業的微積分教學探討

摘要：大學數學教學改革絕不僅僅是內容體系、難易程度的改革，而是要通過這種改革提高學生的數學眼界與素養。從這個意義上來說，將數學建模思想、數學文化融入數學課堂教學中是必要的。

關鍵詞：微積分;課堂教學;數學思想

微積分是大學里很多專業的必修課。國內使用最多的微積分教材是同濟大學主編的《高等數學》，該教材經過若干次修訂，在內容的深度與廣度方面都有所加強。該教材與西方教材存在著顯著的差別。以Steward的《微積分》為例，這套教材之所以獲得巨大成功，以致占領了北美大學微積分教材70%以上的市場，與該教材通俗易懂且具有濃郁的應用色彩不無關系。然而，作為一本取得巨大成功的教材，為什么國內很少采用它作為大學本科非數學專業的微積分教材？它有什么值得我們借鑒的地方？我國微積分教材以及微積分教學有什么可改進之處？這正是本文要探討的問題。

一、教什么樣的數學

很多教師認為，對于非數學專業的學生而言，會計算導數與積分、能簡單地應用它們解決問題就夠了，這種觀點深刻地反映在微積分課堂教學中。非數學專業的大學生該學什么樣的數學？教師該教什么樣的數學？或者準確點說，學生該如何學數學？教師該如何教數學？這涉及我們需要培養什么樣的大學生的問題。數學是一切科學的基礎，這個基礎不僅反映在學生將來能將課堂上學到的數學知識依樣畫葫蘆地運用到工作中，更重要的是能靈活運用數學思想與方法解決問題。對于創新型人才而言，最重要的能力不是掌握已經被人熟知的數學應用方法，而是發現未知的運用數學解決問題的方法。如以下公式求解：

從這個意義上說，掌握數學的思想方法比掌握數學的實際應用更重要，前者屬于更高境界的數學。從這個意義上來看，Steward的《微積分》并不是無可挑剔，該書對于數學在各個領域應用的介紹可謂酣暢淋漓，但或許出于淺顯易懂的緣故，對于微積分內在的思想與方法論的闡釋則稍嫌欠缺。該教材的內容對于大多數非數學專業大學生也許夠了，但對于相當一部分希望將來在科學研究上有所造就的學生來說顯然有些膚淺。該教材的另一個弱點是內容過于龐雜，很難在現有的課時內完成全部內容的教學。上述兩個原因或許正是我國大學很少采用該教材的原因，但瑕不掩瑜，它的確是一本難得的優秀的微積分教材。我們需要教什么樣的數學？這個問題并不難回答，簡而言之：教有用的數學！問題在于什么是有用的數學？知識本身無所謂有用與無用。學習者會用，知識對于他就是有用的;學習者不會用，知識對于他就是無用的

二、微積分教材及教學可以做哪些改進

中美教材相比各有千秋。我國的微積分教材理論性偏強，美國的教材實用性偏強。數學教育歷來有兩種不同的觀點：一種觀點是提倡數學化，數學課堂應該強調數學自身的理論，可以不必過多考慮應用性。持這種觀點者的理論依據是：數學作為一門思維科學，它的教育功能是培養學生的思維能力，具有相當廣泛的普適性。另一種觀點認為，數學教育應該注重數學的實用性，尤其對于非數學專業的學生更應如此。這種觀點的依據是：非數學專業學生學習數學的目的是為了用數學，他們只要知道怎么應用數學就夠了。這兩種觀點都有失偏頗。就微積分而言，它產生于自然科學，然而處理問題的方式又是純數學化的，單純地強調數學理論或數學應用都是片面的，應該在尊重歷史的基礎上兩者兼顧。此外，數學的理論性與思想性是不同的概念，理論化程度高不表示思想性高。所以，微積分教材可以從以下幾個方面進行改進：

（1）強化思想性。微積分的思想不僅對于解決實際問題具有舉足輕重的意義（如在應力分析中，往往局部地用切平面取代目標曲面），它對現代數學的影響也是深遠的。例如，局部“以直代曲”的思想不僅對于微分幾何、拓撲產生了重大影響（如切叢的概念、向量叢的概念都與此有關），也影響了代數（如李群的李代數、導子等）。教材與教師的課堂教學應該充分展示微積分的這一精髓。

微分與積分的辯證思想體現在數學的眾多分支中，也許是這種思想理論性較強的緣故，微積分教材通常避而不談。函數的連續性也蘊含著深刻的數學思想，特別是閉區間上連續函數的性質，一般的高等數學教材只介紹結論，不講證明。筆者不主張詳細講解這些定理的證明，但閉區間所反映出的重要思想應該對學生有所交代，況且這一思想并不難理解。

（2）適當強化應用性。在這個方面，Steward的《微積分》是一個很好的范本。這或許是它獲得成功的一個主要因素，它從一個方面說明應用性是多么受歡迎。強調應用性，并不意味著弱化教材的思想性，而是微積分思想在自然科學與社會實際問題中的延伸。如果能借鑒Steward編寫方式，適當將微積分在自然科學中的各種應用貫穿于教材的始終，不僅可以增加教材的趣味性與可讀性，也可以為讀者運用微積分提供一些范例與練習的機會。

（3）強化現代化技術的運用。微積分涉及許多計算，適當介紹一些數學軟件與數學機械化方法不無益處。例如，在運用連續函數介值定理求方程根時，完全可以引入機械化方法，因為求方程根過程本身就是一個程式化過程。又如，牛頓切線法也是一個程式化過程，通過這兩種求根方法的機械化過程，還可以直觀比較二分法與牛頓切線法運用于具有凹凸性的單調函數時的優劣。在微積分教學中，最困難的計算非積分莫屬，然而借助數學軟件計算積分已經不是難事。所以，微積分教材完全沒有必要在積分計算環節花費太多的篇幅，教師的課堂教學似乎也沒有必要過分強調積分技巧的訓練，適當介紹基本的積分方法就可以了。

三、學生是否需要掌握嚴格的極限語言

很多微積分教材都不介紹極限的δ-ε語言，這可能緣于該語言有些抽象，比較難以掌握。很多數學專業的學生在學完δ-ε語言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的內涵。國內外要求較高的微積分教材（如同濟大學編寫的《高等數學》）有所介紹，但僅限于初步了解。那么，作為非數學專業的大學生有沒有必要了解甚至掌握極限的δ-ε語言？要說清楚這個問題，首先需要弄清楚極限的δ-ε語言在微積分中發揮的作用。的確，直觀的極限概念并不難理解，學生不學習極限的δ-ε語言對于計算導數、積分并不會帶來太大的影響，也不妨礙對微積分概念的理解。然而，直觀的極限描述并非嚴格的數學語言，它無法參與數學論證，δ-ε語言是微積分的基本語言，說一個不懂δ-ε語言的人懂微積分是不可想象的。當年牛頓之所以遭到貝克萊大主教的質疑并引發歷史上著名的第二次數學危機，正是因為微積分缺少一個嚴格的科學語言，人們以形式邏輯來理解微積分從而導致危機的產生，直到柯西將極限概念嚴格化，也就是用今天所說的δ-ε語言定義極限，才使得爭論煙消云散。由此可見δ-ε語言對于微積分的重要性。δ-ε語言的確有一定的抽象性，但不能因為抽象就避而不談。事實上，只要方式得當，學生并非不能掌握δ-ε語言。這種語言的基本思想即使在日常生活中也是常見的它現實的模型就是在一定精度范圍內的誤差估計。例如要制造一個給定體積的球形產品，使得體積誤差不能超過一定的范圍，工人如何判斷誤差有沒有超過給定的精度？顯然是通過卡尺測量球的直徑，只要直徑的誤差在適當范圍內，就能保證體積的誤差在給定的誤差范圍內。如果從現實問題出發逐步引入δ-ε語言，而不是簡單地給出一連串的數值檢驗，學生是不難理解這種特殊的語言的。即使是一個基礎一般的普通學生，也不難理解生活中的這類誤差估計，問題在于當教師從現實問題出發概括抽象出嚴格的δ-ε語言時，學生往往很難逾越從現實到數學的抽象障礙。但只要從實際的問題情景出發，讓學生逐步感知、概括，最終是不難抽象出δ-ε語言的。不過作為非數學專業的大學生，確實沒有必要作過多的極限證明，掌握δ-ε語言的本質就足夠。

四、結語

本文闡述了非數學專業數學教材以及課堂教學應該注意的一些問題，指出非數學專業的微積分教學同樣需要體現其思想性，探討了如何在數學的理論性與實用性之間找到平衡。文章認為，將數學建模思想與數學文化融入數學課堂教學中是必要的。

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安建宇 2000年5月 男 ? ? 族別：漢族 新疆省哈密市 大連大學