高考中排列組合問題的解法歸類研究

張若琦 (云南師范大學,云南 昆明 650500)

引 言

近年來，雖然“統計與概率”知識在高考中的分值逐年遞減，可是排列組合問題在如今不分文理八省改革中仍作為單選題出現，它的得分往往是學生客觀題得高分的關鍵所在.課標中要求“理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數計算公式和組合數的性質，并能利用它們解決一些簡單的應用問題”.學生在學習性質意義的時候往往很輕松，可以將知識融會貫通，但是在知識的應用中卻存在各種各樣的問題.教師在此部分教學時應該多關注學生的認知水平，并注意課堂上例題和課下作業習題難度的遞進，將習題進行考點歸類，便于學生更好地理解.希望以下我總結的考點歸類能給學生和教師帶來新的靈感.

一、計數原理的應用

計數原理問題的掌握程度直接影響排列組合問題的解題靈活度，在此部分，一定要熟知計數原理的意義和性質，教師在教學過程中不要將計數原理和排列組合割裂開，它們之間的聯系是很緊密的，常常以兩者結合的形式出現在考題中.因此，在排列組合考點歸類中，我先列舉了計數原理的兩個例題，使學生在探究排列組合問題之前，回顧以下計數原理：分析此類問題時，如果判斷完成一個事件需要幾個方案，那么需要用到分類加法計數原理；如果判斷完成一個事件需要幾個步驟，那么需要用到分步乘法計數原理.

例1現有黑、白、紅三種顏色的小球各兩個，把它們放置到三行兩列的格子里，要求每行的顏色互不相同,每列的顏色也互不相同,則不同的放置方法共有( ).

A.12種 B.15種 C.24種 D.48種

例2現有6名同學可以選擇5個不同的興趣小組，每名同學可隨意選擇其中一個小組,共有( )種不同選法.

A.56B.65

解析利用分步乘法計數原理.首先觀察每名學生有幾種選擇，了解到每名學生都有5種選擇，故不同選法的總數有5×5×5×5×5×5=56(種)，故選A.

二、特殊元素問題——優先法

遇到這類問題時，學生常常一看到“特殊元素”就十分頭疼，因為如果沒有“特殊元素”，題目就是簡單的排列組合，只需要一個排列數或組合數就可得到結果.學生面對稍復雜的問題應該先冷靜思考，在心里給自己自信.其實“特殊元素”的融入無非就是需要分步計算，也就是需要將幾個步驟的排列數相乘.分析此類問題時，學生首先應該確定特殊元素的排列種數，然后確定剩余元素的排列種數，最后求出總的排列種數.做題時也需要注意，“特殊元素”的選擇在同一道題中也可以不同.

例3學校現有7名學生參加文藝演出，5名女生、2名男生，他們輪流上場.若2名男生都不在最初也不在最后上場,那么演出有( )種不同的上場順序.

兩種方法雖然在計算步驟上沒有任何區別，可是在分析上截然不同.

例4在2000到7000之間，有________個沒有重復數字且能被5整除的奇數.

例5現有6名學生站成一排,要求小明必須站在前兩位里，小紅不能排在第一位，小李必須排在最后一位,那么排列方式共有( ).

A.32種 B.42種

C.50種 D.56種

需要注意的是，不要因為有兩個特殊位置需要考慮就不知道從何下手.在審題時，我們可以發現小李的位置不需要排列.

三、相鄰問題——捆綁法

捆綁法的識別標志是“相鄰”.學生很容易理解捆綁法的意思，捆綁法對于學生的難點在于審題.在之前的高考題中，學生只要掃一眼題目就清楚地知道可以運用捆綁法.可是，這幾年高考題的內容讓學生總是云里霧里，雖然出現的題目可以應用捆綁法解決，但是學生在審題時根本沒發現，這就需要教師結合學生認知發展水平，引導學生活學活用，使其真切地了解題目的本原性，而不是一味地刷題，采用題海戰術.

捆綁法即先將相鄰元素捆綁起來，作為一個整體，使其成為一個新元素后再與其他元素進行排列，最后考慮“捆綁”內的元素是否需要排序.這種方法體現了整體思想，可以確保元素緊密相連，排列有序.在運用捆綁法解答相鄰問題時，學生要注意明確捆綁對象及排列的順序.

例6[2021年全國乙卷(理科)]將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺四個項目中進行培訓，冬奧會要求每名志愿者僅能分配到1個項目，并且每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.30種 B.60種

C.240種 D.360種

例7某社區安排3名志愿者完成疫苗接種的4項工作，要求每人至少完成1項工作，并且每項工作僅可以由一人負責，則不同的安排方式共有( )

A.6種 B.12種

C.24種 D.36種

例8有不同顏色的6張卡片，現將它們放在3個不同的信封里，如果每個信封放2張,而紅卡片和黑卡片放入同一信封，則共有( )種不同的放置方法.

A.12 B.18

C.36 D.54

四、不相鄰問題——插空法

和捆綁法正好相反，這類問題只是看起來很難，一旦參透其中，就會恍然大悟.面對此類問題，大部分學生審完題后不知道如何下手，然后就放棄了.可這正是它的“障眼法”.面對此類題，學生僅需要掌握方法，下次遇到的時候，就再也不會慌了.插空法就是先把題目中無要求的元素全排列，然后將題目中有要求的元素分析后插入其中.此類問題要求學生在審題時判斷出有限制條件的元素，再進行分析.在例題選擇時，我盡可能把此類題型統統列舉出來，希望學生認真思考后，面對此類問題能直接拿分，信心滿滿.

例9某次話劇演出結束后，要求8名女演員和2名男演員站成一排合影留念.有( )種可以安排2名男演員不相鄰的排法.

例10某地產公司邀請A，B兩個地區的企業參與答謝會，每個地區有三位企業代表.拍照時，若A地區的企業代表甲不站兩端，且B地區的三位企業代表有且只有兩位代表相鄰，則有( )種不同的排序方式.

A.180 B.288 C.432 D.192

例11某學校在演講比賽第一場過后，選出6名同學進入第二場比賽，其中甲與乙在同一個年部，所以甲、乙兩名同學的比賽順序不能相鄰,根據抓鬮情況得知甲在乙的后面進行演講,共有( )種不同的排法.

A.120 B.240

C.360 D.480

五、“至多”與“至少”問題——直接法或間接法

在解答有關“至多”與“至少”的問題時，通常有兩種方法：直接法或間接法.直接法是讓學生在解決相關的問題時，把重點放在對題目中每個元素的分析上面，這樣可以確定相關元素的限制性，更好地尋找其他的元素，結合更多元素進行問題的綜合考慮.而間接法則是先讓學生忽略題目中給出的一些附加條件，再進行整體的排列組合和相關的數量計算，這樣就可以得出一個結果，然后用這個附加條件來計算出一些不符合題目要求的結果，去除這些不合適的結果，這樣就可以通過減法得出最后的答案.但需要注意的是，此類題型的做法有很多，學生在審題時，一定考慮好做題的入手角度，在做題過程中，不要忽略任何一種情況，因為是客觀題，所以結果是得分的關鍵.如果在審題時你就發現不只有一種方法，那么選你最拿手的方法來思考，之后在檢驗時用其他方法.

例12現有13個除顏色外完全相同的小球，其中紅色小球8個，白色小球5個.從紅色小球和白色小球中各任選出一個，在上面標記月亮的圖案.將這13個小球都放在一個大箱子里，任意抽取5個小球，至少有一個小球上有月亮圖案的有________種方法.

故填825.

例13(2017年天津高考題)用數字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數字,且至多有一個數字是偶數的四位數，這樣的四位數一共有________個.(用數字作答)

故填1080.

結 語

在排列組合的學習中，學生應該在夯實基礎知識的基礎上，對排列組合的解題方法多鉆研、多思考.遇到難題時，首先，我們應該根據問題的本身要求進行判斷，確定題目是屬于哪一種排列組合題型，即是排列問題，組合問題，還是排列組合問題.其次，確定題型之后，我們要搞清楚題型所采用的計數原理，是分類加法計數原理，還是分步乘法計數原理，進而有針對性地選擇解題的方式方法.最后，我們應該認真閱讀題目，仔細研究、分析題目中的一些附加條件，明確附加條件是否受到一些元素位置的限定，以防在解決問題時，出現不必要的重復或者遺漏，提高做題的準確性.這樣，學生既提高了解題速度和學習質量，也會對數學學習更加感興趣.