淺談數(shù)學分析中極限的求法

馬金玲 (吉林師范大學，吉林 長春 130000)

在數(shù)學分析的學習中，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列和函數(shù)極限的形式很復雜，因此,求解極限的方法也多種多樣，當然，對于不同的方法有其各自的優(yōu)勢及適用范圍.本文通過對典型例題的探究求解，歸納總結(jié)出一些常用的求解方法，以探究數(shù)學中的技巧性，提升學生對數(shù)學知識體系的梳理能力.另外，本文旨在通過應用無窮小量、重要極限、洛必達法則等方法，在求解極限的過程中體會數(shù)學思維的轉(zhuǎn)化，感受數(shù)學知識的緊密聯(lián)系，構(gòu)建條理清晰、邏輯嚴謹?shù)臄?shù)學知識框架.

一、極限的定義

數(shù)列極限的ε—N定義設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有

|an-a|<ε，

則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作

函數(shù)極限的ε—δ定義設(shè)函數(shù)f在點x0的某個空心鄰域U°(x0；δ′)內(nèi)有定義，A為定數(shù).若對任給的ε>0，存在正數(shù)δ(<δ′)，使得當0<|x-x0|<δ時有

|f(x)-A|<ε，

則稱函數(shù)f當x趨于x0時以A為極限，記作

二、極限的求解

1.單調(diào)有界定理

定理1在實數(shù)域中，若數(shù)列{an}單調(diào)且有界，則數(shù)列{an}一定存在極限.

注(1)在應用單調(diào)有界定理求解極限時，首先要滿足數(shù)列{an}是單調(diào)數(shù)列，即滿足an≤an+1(或an≥an+1)，其次要保證數(shù)列{an}有界.

(2)證{an}的單調(diào)性：

① 考察an+1-an的符號；

③ 若得到一個一元可導函數(shù)的遞推公式an+1=f(an)，則可求導，然后根據(jù)f′(x)的符號來確定其單調(diào)性.

證{an}的有界性常利用數(shù)學歸納法或已知不等式推證.

歸納小結(jié)在應用單調(diào)有界定理求解數(shù)列極限時，首先要證明的是數(shù)列存在極限，也就要證明數(shù)列滿足單調(diào)性和有界性.證明單調(diào)性的過程考查了學生對初等數(shù)學中數(shù)列知識的掌握，其證明方法的選用要根據(jù)具體問題而定；而在證明有界性時常應用數(shù)學歸納法.在證明極限存在時應分兩步走，且將高等數(shù)學的問題轉(zhuǎn)化為初等數(shù)學的知識，讓難題迎刃而解，最后依據(jù)極限的唯一性求出極限值.值得注意的是，單調(diào)有界定理只適用于滿足條件的數(shù)列求解極限問題.

2.迫斂性

所以，由迫斂性得

歸納小結(jié)在應用迫斂性求解數(shù)列或函數(shù)極限時，可將對極限的直接求解轉(zhuǎn)化為先對極限變量進行放縮，再找出易求得極限的上下界，從而間接求得原極限.值得注意的是，在遇到極限變量可以進行放縮的求解極限問題時可以優(yōu)先考慮迫斂性.

3.兩個重要極限

注在應用重要極限求解極限時，首先要進行初等變形.這里的初等變形是指用初等數(shù)學的方法將數(shù)列或函數(shù)轉(zhuǎn)化成上述兩個重要極限的形式.

解將原式中的函數(shù)湊成如下形式，

于是有

注歸結(jié)原則在數(shù)列(離散變量)極限與函數(shù)(連續(xù)變量)極限之間建立起了橋梁，使二者在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，這對處理極限問題起到了重要的作用.

由歸結(jié)原則，得

歸納小結(jié)在應用兩個重要極限求解極限問題時，首先要應用初等數(shù)學的方法將數(shù)列或函數(shù)化成兩個重要極限的形式之一，再進行求解.應用該方法的關(guān)鍵就在于將原極限形式“湊成”上述兩個重要極限.值得注意的是，在遇到三角函數(shù)形式和“1∞”形式的極限問題時要優(yōu)先考慮應用兩個重要極限.另外，在求解“1∞”形式的數(shù)列極限時，要結(jié)合歸結(jié)原則將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題，再進行求解.

4.洛必達法則

洛必達法則是求不定式極限的重要方法，它將兩函數(shù)之比的極限求解問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)導數(shù)之比的極限求解問題.其幾何意義是：兩曲線上的點的縱坐標之比的極限可轉(zhuǎn)化為兩曲線上的點的切線斜率之比的極限.

定理3若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(ⅱ)在點x0的某空心鄰域U°(x0)上，f(x)與g(x)都可導，且g′(x)≠0；

則

故由洛必達法則求得

定理4若函數(shù)f(x)與g(x)滿足條件：

(ⅰ)在U°+(x0)上二者皆可導，且g′(x)≠0；

則

歸納小結(jié)應用洛必達法則求解極限問題，其實質(zhì)在于將求解兩個函數(shù)之比的極限轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)導數(shù)之比的極限，使得復雜函數(shù)的求極限問題轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)的求極限問題.但在應用洛必達法則時有些需要注意的問題：

(1)不是所有比式極限都可以應用洛必達法則求解，一方面必須注意它是不是不定式極限，另一方面要看是否滿足洛必達法則的應用條件；

(2)在求解極限的過程中，有時可能需要對f′(x)與g′(x)再應用洛必達法則，甚至有時需要對f(x)與g(x)的高階導數(shù)反復使用洛必達法則.

5.定積分

利用定積分求極限，通常有兩種類型：一種是應用定積分的定義求解數(shù)列極限，另一種是應用變限積分和洛必達法則求解極限.

(1)用定積分定義求解數(shù)列極限

解做如下變形：

解做如下變形:

(2)應用變限積分求解極限

恒等變換后有

于是有

歸納小結(jié)應用變限積分求解極限的過程中，主要是將原函數(shù)存在定理與洛必達法則相結(jié)合，進而求得原極限.

三、結(jié) 語

本文主要介紹了求解極限的多種方法.在極限理論中，求解極限問題占據(jù)著重要地位，由于極限的類型復雜繁多，我們根據(jù)對典型例題的探究，歸納總結(jié)了求解極限不同方法的適用條件及其中所蘊含的轉(zhuǎn)化思想.因此，在面對極限求解問題時，我們首先要判斷所求極限的類型，再選取合適的方法進行求解.當然，在選擇方法時，要注意其適用條件，這一過程是非常重要的，否則會得出錯誤的結(jié)論.另外，在求解極限的過程中，數(shù)學思維的多樣轉(zhuǎn)化也讓我們體會到了數(shù)學知識之間的緊密聯(lián)系，從而建立了邏輯清晰的數(shù)學知識體系.