含內(nèi)熱源復(fù)合平板等效導(dǎo)熱系數(shù)研究

劉子平， 孫俊

(清華大學(xué) 核能與新能源技術(shù)研究院， 北京 100084)

復(fù)合材料廣泛運(yùn)用于能源工業(yè)領(lǐng)域，通常由兩相或者多相材料混合而成。由于復(fù)合材料幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在對(duì)其進(jìn)行傳熱分析時(shí)存在一定的困難，因此通常采用等效均勻化方法將復(fù)合材料看作具有等效導(dǎo)熱系數(shù)的均勻材料進(jìn)行分析。常規(guī)的復(fù)合材料不含內(nèi)熱源，通過(guò)在邊界上施加熱流，通過(guò)保證等效前后的熱流一致來(lái)研究等效導(dǎo)熱系數(shù)，比較經(jīng)典的模型包括熱阻串并聯(lián)模型[1]、Maxwell模型[2]等。在電容器、航天器、太陽(yáng)能熱存儲(chǔ)、核反應(yīng)堆、鈾礦的開(kāi)采、煤的堆放等[3-6]特殊場(chǎng)景中，也存在大量復(fù)雜的復(fù)合材料傳熱問(wèn)題。由于含有內(nèi)熱源，復(fù)合材料內(nèi)的熱流分布規(guī)律不同于僅有外加熱流的情況，傳統(tǒng)基于外加熱流得到的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型可能不再適用于含內(nèi)熱源復(fù)合材料的傳熱分析[7]，需要深入研究?jī)?nèi)熱源對(duì)熱流分布的影響，重新選取等效前后的守恒量來(lái)研究等效導(dǎo)熱系數(shù)[8]。文獻(xiàn)[9-11]通過(guò)數(shù)值的手段計(jì)算了含內(nèi)熱源復(fù)合材料的等效導(dǎo)熱系數(shù)，將復(fù)合材料的最高溫度或平均溫度作為等效前后的守恒量，計(jì)算得到了預(yù)測(cè)最高溫度或平均溫度的等效導(dǎo)熱系數(shù)結(jié)果，說(shuō)明了含內(nèi)熱源時(shí)的等效導(dǎo)熱系數(shù)不同于無(wú)內(nèi)熱源時(shí)的傳統(tǒng)等效導(dǎo)熱系數(shù)模型。采用等效導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)最高溫度可用于研究核反應(yīng)堆中的熱點(diǎn)，與安全性相關(guān)；采用等效導(dǎo)熱系數(shù)預(yù)測(cè)平均溫度可用于計(jì)算核反應(yīng)截面，用于反應(yīng)堆物理熱工耦合計(jì)算和設(shè)計(jì)分析。數(shù)值分析方法可針對(duì)特定工況開(kāi)展含內(nèi)熱源復(fù)合材料的等效導(dǎo)熱系數(shù)研究，對(duì)于影響等效導(dǎo)熱系數(shù)的規(guī)律研究還比較少，理論模型研究還不充分。

為建立復(fù)雜的核燃料[12-13]等效導(dǎo)熱系數(shù)模型，本文從幾何結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的無(wú)限大復(fù)合平板入手，采用格林函數(shù)法[14]的思想，推導(dǎo)得到了發(fā)熱材料均勻分布時(shí)的復(fù)合平板等效導(dǎo)熱系數(shù)理論模型，可用于預(yù)測(cè)含內(nèi)熱源復(fù)合平板的平均溫度。通過(guò)與不含內(nèi)熱源時(shí)的熱阻串聯(lián)模型進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明內(nèi)熱源存在時(shí)等效導(dǎo)熱系數(shù)的特殊性及影響因素。

1 發(fā)熱板均勻分布的復(fù)合平板

本文研究的無(wú)限大復(fù)合平板如圖1所示黑色部分是發(fā)熱彌散板，白色部分是基體板。

圖1 無(wú)限大復(fù)合平板Fig.1 Infinite composite plate

無(wú)限大復(fù)合平板由兩相材料組成，其中，彌散相為同一種材料，分布在圖1中的黑色區(qū)域，寬度一致、熱源大小相同，另一相材料為基體相。無(wú)限大復(fù)合平板可在厚度方向建立一維坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取為平板中心處，板厚為δ，左端和右端邊界分別為-δ/2和δ/2。彌散在平板中的發(fā)熱板有n塊，寬度均為x0，發(fā)熱板中心的坐標(biāo)從左至右依次為x1，x2，…，xn，每個(gè)發(fā)熱板的熱源功率線密度均為φ。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，發(fā)熱板的導(dǎo)熱系數(shù)λ1和基體的導(dǎo)熱系數(shù)λ2均認(rèn)為與溫度無(wú)關(guān)。

發(fā)熱板均勻分布在復(fù)合平板內(nèi)，即：相鄰發(fā)熱板的中心間距均相等，且所有發(fā)熱板間基體材料的寬度相等，任意選取2塊發(fā)熱板為例，如圖2所示。

圖2 發(fā)熱板均勻分布的復(fù)合平板Fig.2 Composite plate with evenly distributed heating plates

相鄰2塊發(fā)熱板之間基體材料的寬度Δ為：

(1)

相鄰2塊發(fā)熱板的中心間距為：

(2)

2 等效導(dǎo)熱系數(shù)的推導(dǎo)

本節(jié)主要推導(dǎo)復(fù)合平板的等效導(dǎo)熱系數(shù)，關(guān)注不含內(nèi)熱源情況下的復(fù)合平板在外加熱流條件下的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型，并討論含內(nèi)熱源復(fù)合平板的等效導(dǎo)熱系數(shù)。

2.1 無(wú)內(nèi)熱源

針對(duì)圖1所示的無(wú)限大復(fù)合平板模型，當(dāng)彌散板不發(fā)熱時(shí)即為常規(guī)的復(fù)合平板，將復(fù)合平板中的不同材料等效成一種材料，同時(shí)保證等效前后的邊界條件不變，取復(fù)合平板的等效導(dǎo)熱系數(shù)為λe，等效過(guò)程如圖3所示陰影部分是不發(fā)熱的彌散板。

圖3 復(fù)合平板等效示意Fig.3 Equivalence of composite plate

在復(fù)合平板上施加熱流q，邊界溫度分別為t1和t2(t2>t1)，由于熱流q在截面上處處相等，基于傅里葉導(dǎo)熱定律以及熱阻的概念，q為：

(3)

式(3)化簡(jiǎn)可得：

(4)

令每個(gè)彌散板的無(wú)量綱尺寸μ為：

(5)

則復(fù)合材料中彌散材料的填充率φ為：

(6)

填充率是指彌散相材料的寬度占總復(fù)合平板寬度的份額。同時(shí)，令無(wú)量綱導(dǎo)熱系數(shù)κ為：

(7)

則式(4)可化簡(jiǎn)為：

(8)

等效導(dǎo)熱系數(shù)模型與經(jīng)典的熱阻串聯(lián)模型一致，等效導(dǎo)熱系數(shù)的大小與材料的填充率及其材料導(dǎo)熱系數(shù)有關(guān)。

2.2 有內(nèi)熱源

同樣對(duì)于圖1所示的復(fù)合平板，如果彌散板含內(nèi)熱源，幾何均勻化的方法一致，將不同材料等效成一種材料，同時(shí)，熱源也需要進(jìn)行均勻化，可按照總熱源不變的原則將熱源均勻分布到復(fù)合平板上，同時(shí)保證等效前后的邊界條件不變，簡(jiǎn)單起見(jiàn)，邊界溫度均設(shè)為t0，含內(nèi)熱源復(fù)合平板的等效過(guò)程如圖4所示。

圖4 含內(nèi)熱源復(fù)合平板等效示意Fig.4 Equivalence of composite plate with inner heat source

由于復(fù)合平板內(nèi)部含分布式內(nèi)熱源，不同位置處的熱流不再處處相等，與圖3中不含內(nèi)熱源的情況不同，因此，不能采用熱阻法直接得到等效導(dǎo)熱系數(shù)，需要建立能量守恒方程重新推導(dǎo)。等效過(guò)程中，選取平均溫度作為守恒量。如圖4所示，等效后平板的等效導(dǎo)熱系數(shù)λe,s，線功率密度減小為φφ，邊界溫度維持不變?yōu)閠0，控制方程為：

(9)

容易求得其溫度分布為：

(10)

對(duì)整個(gè)平板上的溫度分布進(jìn)行幾何平均，得到其平均溫度為：

(11)

化簡(jiǎn)得到可預(yù)測(cè)復(fù)合平板平均溫度的等效導(dǎo)熱系數(shù)為：

(12)

由式(12)可知，獲得復(fù)合平板的平均溫度，即可得到其等效導(dǎo)熱系數(shù)。

針對(duì)圖1所示復(fù)合平板模型，可以分別建立基體材料和彌散發(fā)熱材料各個(gè)部分的控制方程，從左至右依次為：

(13)

根據(jù)邊界條件，以及發(fā)熱彌散相和基體相材料界面處的熱流和溫度連續(xù)條件，可以逐一求解方程并聯(lián)立解得整個(gè)復(fù)合平板的溫度分布，通過(guò)沿x方向上的幾何平均，即可得到復(fù)合平板的平均溫度。

本文從另外一種思路來(lái)求解。根據(jù)格林函數(shù)法，含分布式內(nèi)熱源復(fù)合材料的溫度場(chǎng)等于每個(gè)熱源以及邊界條件單獨(dú)作用時(shí)溫度場(chǎng)的疊加。以含3塊發(fā)熱板的復(fù)合平板為例進(jìn)行說(shuō)明，如圖5所示，陰影部分是不發(fā)熱時(shí)的彌散板，黑色部分是發(fā)熱的彌散板。因此，求解整個(gè)含內(nèi)熱源復(fù)合平板溫度分布的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為先求解某一塊彌散板帶內(nèi)熱源時(shí)的溫度分布，然后再將所有彌散板單獨(dú)發(fā)熱時(shí)的溫度分布進(jìn)行疊加。

圖5 含內(nèi)熱源復(fù)合平板疊加等效示意Fig.5 Additive process of inner heat sources in composite plate

對(duì)于含多塊彌散材料的復(fù)合平板，當(dāng)僅有一塊彌散板發(fā)熱時(shí)，可分解為3個(gè)部分，對(duì)于該發(fā)熱板兩側(cè)的部分，可以分別看作是無(wú)內(nèi)熱源的復(fù)合平板，仍然可以利用熱阻串聯(lián)模型分析，對(duì)于發(fā)熱板可單獨(dú)求解含內(nèi)熱源的控制方程，其等效過(guò)程和思路如圖6所示。該復(fù)合平板的溫度分布示意如圖7所示。

圖6 只有一塊彌散板發(fā)熱的復(fù)合平板的等效Fig.6 Equivalence of composite plate with one heating dispersion plate

圖7 一塊彌散板發(fā)熱的復(fù)合平板的溫度分布示意Fig.7 Temperature distribution of composite plate with one heating dispersion plate

假設(shè)發(fā)熱板中心坐標(biāo)為xi，則發(fā)熱板左側(cè)和右側(cè)的彌散板個(gè)數(shù)分別為nl和nr，共有n-1塊，數(shù)量多少與左右兩側(cè)的厚度成正比，具體為：

nl+nr=n-1

(14)

(15)

求解得到：

(16)

(17)

同時(shí)，發(fā)熱板左右兩部分的彌散板填充率為：

(18)

(19)

參考式(8)的熱阻串聯(lián)模型，結(jié)合式(18)和式(19)，即可得到發(fā)熱板左右兩端復(fù)合平板等效導(dǎo)熱系數(shù)λe,l、λe,r。此時(shí)可以列出拼接板的溫度分布控制方程：

(20)

當(dāng)邊界溫度為0，根據(jù)3部分界面處的溫度和熱流連續(xù)條件，可以解得拼接板的溫度分布：

(21)

式中：

(22)

將溫度分布在復(fù)合平板的厚度上進(jìn)行積分并取幾何平均，化簡(jiǎn)即得到一塊彌散板發(fā)熱時(shí)的平均溫度為：

(23)

由式(23)可以看出，只有一塊彌散板發(fā)熱時(shí)的復(fù)合平板平均溫度與總彌散板的塊數(shù)、兩相材料的導(dǎo)熱系數(shù)、彌散板和復(fù)合平板的寬度以及熱源的位置有關(guān)。

根據(jù)疊加原理，含分布式內(nèi)熱源復(fù)合平板的平均溫度等于每塊彌散板單獨(dú)發(fā)熱時(shí)的平均溫度以及邊界條件t0的疊加，基于式(23)可以得到完整復(fù)合平板的平均溫度為：

(24)

由于發(fā)熱彌散板為均勻分布，結(jié)合式(1)和式(2)，則所有發(fā)熱板中心位置坐標(biāo)平方的求和為：

(25)

將式(25)代入式(24)化簡(jiǎn)后得到：

(26)

進(jìn)一步將式(26)代入式(12)，化簡(jiǎn)后可得含內(nèi)熱源復(fù)合平板等效導(dǎo)熱系數(shù)的無(wú)量綱形式：

(27)

由式(27)可知，預(yù)測(cè)含內(nèi)熱源復(fù)合平板平均溫度的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型，與不含內(nèi)熱源時(shí)復(fù)合平板的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型式(8)，有較大差異。含內(nèi)熱源時(shí)，等效導(dǎo)熱系數(shù)的表達(dá)式更加復(fù)雜，不僅與材料導(dǎo)熱系數(shù)相關(guān)，還與熱源的幾何尺寸μ和數(shù)量n分別相關(guān)，體現(xiàn)一定的分布效應(yīng)，主要來(lái)自分布式熱源的影響。而在式(8)無(wú)內(nèi)熱源的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型中，彌散材料的影響則體現(xiàn)出整體性，與彌散材料的填充率(即數(shù)量與尺寸的乘積)相關(guān)，主要由彌散材料的幾何比例決定。

同時(shí)，從式(27)可以看出，即使內(nèi)熱源的存在顯著改變了平均溫度及其等效導(dǎo)熱系數(shù)規(guī)律，但內(nèi)熱源的大小沒(méi)有直接影響等效導(dǎo)熱系數(shù)模型中。

3 結(jié)論

1)內(nèi)熱源的存在改變了復(fù)合材料中的熱流分布，其等效導(dǎo)熱系數(shù)的研究不應(yīng)再選擇熱流作為守恒量，可選擇平均溫度作為守恒量。

2)預(yù)測(cè)含內(nèi)熱源復(fù)合平板平均溫度的等效導(dǎo)熱系數(shù)模型與兩相材料導(dǎo)熱系數(shù)大小、發(fā)熱材料數(shù)量、發(fā)熱材料相對(duì)尺寸，即熱源的分布情況相關(guān)，與熱源的絕對(duì)大小無(wú)關(guān)。

本文提出了研究含內(nèi)熱源復(fù)合材料等效導(dǎo)熱系數(shù)的初步思路和方法，為今后研究?jī)?nèi)熱源分布更為復(fù)雜的傳熱問(wèn)題(如內(nèi)熱源分布非均勻、顆粒彌散型燃料球)奠定了基礎(chǔ)。