基于ESO的PMSM無差拍預測電流控制研究

毋少楠，史軍偉，李志新

（1.中國礦業大學電氣與動力工程學院，江蘇 徐州 221116；2.國網山東省電力公司東營供電公司，山東 東營 257000）

近年來，隨著現代控制技術的發展，越來越多的先進控制策略被應用到永磁同步電機（permanent magnet synchronous motor，PMSM）的控制當中。其中，無差拍預測電流控制（deadbeat prediction current control，DPCC）作為一種基于模型的預測控制算法，既具有預測控制算法普遍擁有的動態響應速度快和電流諧波小等特點，同時也有著開關頻率恒定、帶寬高和易于數字化實現等特有優勢[1]。其基本控制思想是：基于逆變器和電機的數學模型，根據本周期采樣得到的電流值，預測下一拍的控制電壓輸出值。

由于DPCC從根本上講還是一種基于模型的控制算法，其對模型參數尤其是電感的敏感度較高，參數失配會嚴重影響電流的控制效果[2]。針對此問題，文獻[3]在無差拍控制的基礎上，引入了基于Luenberger狀態觀測器的魯棒電流控制算法，補償電感誤差和電流采樣引起的相位滯后，提高了系統的魯棒性；文獻[4]采用了放松的電流偏差約束條件和平滑的輸出電壓預測方法，使系統在電機電感參數失配時保持穩定；文獻[5]設計了擾動觀測器對擾動進行估計并前饋補償，提高了系統對參數的魯棒性；文獻[6]采用了模型參考自適應算法對電機參數進行在線辨識，減小了電機參數偏差引起的電流誤差。

基于前述，設計了速度環采用PI控制器，電流環采用基于最小電流誤差的DPCC控制器的PMSM雙閉環控制系統。該控制系統具有DPCC策略電流控制精度高、諧波含量少的優點。同時，為了克服參數失配以及觀測擾動等引起的電流控制效果降低的問題，結合自抗擾技術[7]抗擾動能力強的特點，在無差拍控制中引入了擴張狀態觀測器（extended state observer，ESO），觀測擾動并進行補償，大大提高了系統的參數魯棒性和抗擾動能力。仿真及實驗結果驗證了所提控制策略的有效性。

1 永磁同步電機的數學模型

在同步旋轉（d-q）坐標系下，PMSM的電壓方程可以表示為

式中：ud，uq，id，iq分別為定子繞組的電壓、電流在d，q軸的分量；Ld，Lq分別為d，q軸的電感分量；Rs為定子電阻；Ψf為永磁體磁鏈；ωe為轉子電角速度。

對于表貼式永磁同步電機（SPMSM），有Ld=Lq=L0，式（1）也可化為如下形式：

2 基于ESO的DPCC策略

提出的基于最小電流誤差的DPCC策略控制流程如圖1所示。

圖1 DPCC策略控制流程圖Fig.1 Flow chart of DPCC

一般情況下，根據PWM逆變器開關狀態生成的8種空間電壓矢量（包含2個零矢量）將電壓矢量圓分為6個扇區。1個采樣周期內，在獲得第k次電流采樣后，首先根據轉子位置角判斷目標電壓矢量所在扇區N，然后根據該扇區內3個離散電壓矢量作用下電流的變化規律，構建目標函數，確定下一拍控制電壓矢量，進而求解得到各個離散電壓矢量的作用時間，再進行PWM調制，輸出開關脈沖信號。

2.1 基于最小電流誤差的DPCC策略

d-q坐標系下逆變器輸出電壓可由開關狀態函數表示為

式中：Sa，Sb，Sc分別為逆變器三個橋臂的開關狀態，上橋臂導通為1，下橋臂導通為0；θ為轉子電角度。

將式（3）代入式（2）中可得8個電壓矢量對應的電流變化率如下式：

在1個周期內近似認為電流變化率保持不變，則該周期內在同一個扇區對應的3個電壓矢量（設為u0，u1，u2；其中u0為零矢量）作用下的總的電流變化量為

式中：t0，t1，t2分別為u0，u1，u2的作用時間。

因此可得在第k個控制周期結束時，d，q軸電流為

式中：id，k，iq，k分別為上個控制周期結束時的d，q軸電流。

DPCC的控制目標為在每個控制周期結束時d，q軸電流誤差最小，可以采用最小二乘優化方法構建目標函數為

當式（7）中W取得最小值時，括號內的電流誤差量也為最小值。因此，可用求極值方法求得每個控制周期中三個離散電壓矢量的作用時間，其計算式為

由式（8）可求得兩個非零電壓矢量的作用時間t1，t2，零矢量的作用時間t0=Ts-t1-t（2Ts為單個采樣周期的時間）。求得作用時間后，按照七段式PWM的調制方式即可得到每個控制周期的開關序列。

2.2 擴張狀態觀測器基本原理

自抗擾控制技術（auto disturbance rejection control，ADRC）是由韓京清先生基于PID控制“基于誤差消除誤差”的核心思想提出的先進控制技術[7-8]。

作為ADRC的核心部分，擴張狀態觀測器（ESO）將被控系統的外部擾動和內部擾動擴張為新的狀態量——“總擾動”，并進行動態估計與反饋補償。相較于傳統觀測器，ESO不需要直接測量擾動，也不必知道擾動的精確數學模型，對于參數變化較大的預測控制系統，可以提高其參數魯棒性及抗擾性，進而提高系統的控制性能。

下面給出一階單輸入單輸出系統（single input and single output，SISO）的ESO設計方法。

一階SISO系統的狀態方程如下式所示：

式中：u為輸入；w（t）為外部擾動；f[x1,w(t),t]為系統總擾動函數。

將總擾動擴張為新的狀態量x2，即x2=f[x1,w(t),t]，同時令，那么式（9）的新狀態方程可以表示為

根據狀態方程式（10），將一階SISO的ESO構建為[7]

式中：b為控制量增益，可由被控系統參數確定；β01，β02為控制器參數；fal函數為誤差非線性函數。fal函數具體表達式為

其中，參數α滿足0＜α＜1時，fal函數具有小誤差大增益和大誤差小增益的特性。確定了合適的參數取值后，ESO就能很好地觀測出狀態量z2，即“總擾動”。

ESO的優勢表現在：在實際的控制系統中，無需知道擾動函數f[x1，w（t），t]是否連續或者已知，只要能確定其為有界函數，且保證增益參數b已知，就可以調整到合適的β01，β02取值，進而估計出狀態量z2并進行反饋補償。

2.3 DPCC的ESO設計

2.1節所述DPCC策略中，要求得準確的電壓矢量的電流變化率，需要精確的電流測量值，觀測誤差會導致計算偏差。同時，當電機參數發生變化時，仍使用標稱值進行計算，也會導致計算結果產生偏差。結合2.2節所述，可將ESO引入控制系統中，以補償觀測誤差以及參數變化帶來的擾動。

d，q軸的ESO設計思路相同，對于SPMSM控制器的結構以及參數是可以通用的，下述設計方法以q軸為例進行說明。

在式（4）中，將f2=-Riq/L0-ωeid-ωeΨf/L0視為總擾動，令b=1/L0，q軸電流方程可化為

按照前述ESO設計方法，可以得到電流環的ESO如下式所示：

其中

式中：z1，z2分別為電流iq和總擾動f2的觀測值。

結合式（5），將式（14）進行離散化可得：

式中：β1，β2為離散 ESO 的增益分別為k+1時刻的電流預測值和系統總擾動估計值。將進行反饋可得補償擾動后的電流變化率：

補償后的電流變化率再代入式（5）～式（8）進行計算，即可得到優化后的控制電壓矢量。

離散ESO的結構框圖如圖2所示[9]。從圖2中可以看出，q軸ESO與d軸ESO并無耦合關系，相互不影響。ESO閉環極點位置和增益β1，β2相關，因此β1，β2的取值會影響ESO的動態性能和穩定性。

圖2 離散ESO結構圖Fig.2 Discrete ESO structure diagram

2.4 ESO穩定性分析

采用文獻[9]所述方法進行參數穩定性分析。由圖2，在z域中q軸的ESO閉環函數為

特征方程為

通過對系統極點位置的計算，可得ESO的穩定條件為

當PMSM的參數發生變化時，參考電流和實際電流存在誤差。為了實現電流的無誤差跟蹤，基于ESO的DPCC的電壓值u（qk）要和通過式（2）計算出的控制電壓u（qk）相等。式（2）和式（15）得到基于ESO的策略給定電流值和實際值關系為

式中：L為實際電感值；ωr為轉子機械角速度。

當系統運行在較高的采樣頻率下（Ts較小）且采用id=0控制時，式（20）可以化簡為

變換到z域的表達式為

其中

根據以上分析可得基于ESO的離散域傳遞函數為

通過以上分析，得知基于ESO的DPCC策略需要滿足以下2個條件：

1）擴張狀態觀測器的收斂條件：0＜β1＜4，

2）離散域傳遞函數的閉環極點分布在單位圓內，即滿足不等式：

基于 ESO的 DPCC 算法的穩定性與β1，β2，L0/L三個參數有關。首先，需要選擇合適的β1，β2來保證ESO的穩定性和收斂性；然后，考慮L0/L的變化對其收斂性的影響。觀察式（26）可以發現在ESO穩定的前提下，其魯棒性強弱隨著L0與L的誤差的增大而增強。

下面對上述分析中參數β1，β2取值問題進行討論。假設系統中的參數沒有發生變化（L0=L）。當β2=700，β1在0～2范圍內變化時，系統極點分布如圖3a所示，其中，T為系統的離散步長。可以看出，當β1由0開始，以0.1為步長，逐漸增加到0.5時，系統兩個極點逐漸靠攏到β1=0.5附近；當β1由0.5增加到2時，一個極點向圓心靠近，另外一個趨向單位圓。因此，0.5≤β1≤1.5時系統的控制性能更好。β1=1.5，β2由0～10 000范圍內變化時，系統極點分布如圖3b所示。當β2逐漸趨向10 000時，極點逐漸向圓環靠近，系統趨向不穩定狀態。因此，β1=1.5，β2=700時可使控制策略具有良好的控制性能。

圖3 系統閉環極點分布圖Fig.3 Closed-loop pole map of system

確定使ESO處于穩定狀態的β1，β2的值之后，討論電感失配時所提策略的魯棒性。在β1=1.5，β2=700條件下，當電感失配度在0.455≤L/L0≤5時，系統閉環極點分布如圖4所示。當電感失配度在0.455≤L/L0≤ 5之間時，系統收斂；當L0＞2.2L時，系統發散。通過上述分析可以得出：基于ESO的DPCC策略具有較強的參數魯棒性，當電感在較寬的范圍內變化時，有著很好的抗擾作用。

圖4 電感失配時系統閉環極點分布圖Fig.4 Closed-loop pole map of system when inductance is mismatched

3 仿真和實驗驗證

3.1 仿真驗證

結合前述，轉速環采用PI控制器、電流環采用基于ESO的DPCC控制器的PMSM控制策略整體結構框圖如圖5所示（采用id=0控制策略）。

圖5 PMSM控制策略整體結構框圖Fig.5 PMSM control strategy structure block diagram

圖5中，N為電壓參考矢量所在扇區；θe為電機轉子電角速度；ω為電機速度反饋；ia，ib，ic分別為電機三相電流。仿真中采用的永磁同步電機參數為：額定電壓220 V，額定功率0.75 kW，交直軸電感6.552 mH，定子電阻0.901 Ω，極對數4，轉動慣量1.2×10-4kg·m2。

圖6為所設計控制策略的轉速響應仿真。轉速初始給定值為斜坡給定上升至1 000 r/min，空載啟動，0.1 s時加2 N·m負載，0.2 s時轉速給定為斜坡給定上升至2 000 r/min，0.3 s時撤負載。

如圖6所示，轉速響應在電機啟動以及轉速給定改變時均能快速跟蹤給定值，轉速超調較小，穩態運行平穩無靜差；當有負載擾動時，轉速有小幅波動并迅速跟蹤給定值。說明所提控制策略具有良好的靜動態特性和抗負載擾動的能力。

圖6 采用基于ESO的DPCC控制策略下的轉速響應曲線Fig.6 Speed response curves based on ESO-based current predictive control control strategy

圖7～圖9為傳統DPCC策略以及基于ESO的DPCC策略在與圖6相同的仿真條件下，d，q軸電流分別在電感參數為標稱值、0.8倍的標稱值以及0.5倍的標稱值時的響應曲線。

圖7 L=L0時d，q軸電流響應曲線Fig.7 d，q axis current response curves at L=L0

圖8 L=0.8L0時d，q軸電流響應曲線Fig.8 d，q axis current response curves at L=0.8L0

圖9 L=0.5L0時d，q軸電流響應曲線Fig.9 d，q axis current response curves at L=0.5L0

可以看出，當電感值準確時，兩種控制方式d，q軸電流均能快速跟蹤給定，且穩態時電流紋波小，有較好的電流控制效果。采用傳統DPCC策略，當電感參數有20%的誤差時，電流紋波有一定程度的增大；當電感參數誤差達到50%時，電流響應已明顯畸變，震蕩幅度較大。而在基于ESO的DPCC策略控制下的電流響應雖然也有一定的紋波，但控制效果明顯優于前者，說明該控制策略顯著提高了控制系統的參數魯棒性。

3.2 實驗驗證

為了驗證所提策略的控制效果，搭建了永磁同步電機對拖實驗平臺。實驗平臺示意圖如圖10所示，實驗樣機如圖11所示。

圖10 實驗平臺結構框圖Fig.10 Experimental platform structure block diagram

圖11 實驗平臺樣機Fig.11 Experimental platform prototype

永磁同步電機的功率等級為22 kW，電機參數為：定子電阻0.167 Ω，d軸電感4.5 mH，q軸電感31.7 mH，極對數3，永磁體磁鏈1.23 Wb，黏滯摩擦系數0.000 4 N·m·s。負載為一臺55 kW的直流電機，其控制器型號為SIEMENS 6RA7031。

圖12為永磁同步電機空載啟動到穩定運行的實驗結果，其中轉速給定為斜坡給定至n*=800 r/min。從圖中可以看出，電機啟動過程平穩且超調較小，d，q軸電流能夠無靜差地跟蹤給定值，在q軸給定電流發生變化時，q軸實際電流值能夠快速響應跟蹤給定值。圖13為當電機給定轉速由500 r/min變化到900 r/min時的轉速響應。可以看出，實際轉速可以快速地跟蹤跟定值，超調較小，過渡過程平穩。上述實驗結果表明，所提控制策略具有良好的穩態和動態性能。

圖12 空載啟動到穩態運行實驗結果Fig.12 No-load start-up to steady-state running experimental results

圖13 轉速給定變化時實驗結果Fig.13 Experimental results of PMSM when the speed reference changes

圖14 電感誤差在50%時的轉速響應Fig.14 Speed response at 50% inductance error

圖14為PMSM在L0/L=2條件下采用基于ESO的DPCC策略時的轉速響應曲線。轉速給定n*=800 r/min，在電機啟動過程完成后進行了突加負載與突減負載操作。從圖中可以看出，在突加負載時電機轉速略有跌落，突卸負載時電機轉速略有升高，但能夠快速跟蹤上給定值，電流過渡過程平穩。即使電感參數存在50%誤差，整個控制過程依然具有很好的d，q軸電流以及轉速的靜動態特性，表明該策略具有良好的參數魯棒性和抗負載擾動的能力。

4 結論

在PMSM雙閉環調速系統中，結合無差拍控制電流控制精度高以及自抗擾技術抗擾能力強的特點，設計了基于ESO的DPCC策略，并進行了參數穩定性分析。該控制策略不僅具有良好的轉速與電流控制效果，同時解決了傳統DPCC對模型參數依賴性強的問題。從仿真及實驗結果可以看出，該策略具有轉速跟蹤性能良好、抗擾動能力強、參數魯棒性強、算法簡單易數字化實現等特點。