初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐

洪海文

【摘要】近年來，隨著中考數(shù)學(xué)科的不斷改革，數(shù)形結(jié)合思想題型已被廣泛應(yīng)用到初中數(shù)學(xué)中考考試中。為了適應(yīng)中考數(shù)學(xué)考試，并有效利用數(shù)形結(jié)合思想，教師使用數(shù)形結(jié)合思想開展教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生從中掌握解題策略，可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加具體形象，便于學(xué)生透徹地理解所學(xué)知識(shí)，在應(yīng)對(duì)中考數(shù)學(xué)試題時(shí)能更加得心應(yīng)手。本文對(duì)初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐作了探討。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合思想;解題策略;得心應(yīng)手

數(shù)學(xué)相對(duì)于其它學(xué)科來說，有著一定的邏輯性以及復(fù)雜性。數(shù)與形作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，通過數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換，能夠使學(xué)生的解題過程變得更加輕松，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)有著十分重要的作用。因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，須不斷提高自身的知識(shí)技能，豐富課堂教學(xué)的內(nèi)容，將數(shù)形結(jié)合思想靈活地應(yīng)用到課堂教學(xué)中，提高學(xué)生的解題能力，鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，增強(qiáng)解題意識(shí)，促使數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)有效展開。

一、初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想基本含義

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)領(lǐng)域兩大研究主題，“數(shù)”就是數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確、可操作、易于掌握，“形”則是空間形式，生動(dòng)、直觀、易于理解。數(shù)形結(jié)合可以把二者進(jìn)行轉(zhuǎn)化統(tǒng)一，從而結(jié)合二者的優(yōu)勢(shì)，達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)的效果。在初中數(shù)學(xué)課堂中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法進(jìn)行教學(xué)，不僅能讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)涵，還能提高課堂效率、優(yōu)化教學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，就是將數(shù)學(xué)中使用圖像或者圖形的方法，充分展現(xiàn)在學(xué)生的眼前，便于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)的理念，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想的實(shí)際應(yīng)用意義。

二、數(shù)變形，直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系

由于數(shù)與形本來就存在一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，把“數(shù)”轉(zhuǎn)換成“形”，利用圖形解決有關(guān)數(shù)量的問題。數(shù)變形的意義在于：一是將抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何直觀，可以避開復(fù)雜的計(jì)算或推理;二是通過直觀的幾何圖形幫助學(xué)生理解和闡述抽象、難懂的代數(shù)關(guān)系，從而簡化問題解決的過程;三是優(yōu)化教師的教學(xué)過程，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)習(xí)效率。下面以一道例題來說明如何在教學(xué)中實(shí)現(xiàn)數(shù)變形。

例如，求|x-5|的最小值。分析：對(duì)于剛學(xué)習(xí)完絕對(duì)值知識(shí)的學(xué)生而言，解這道題不是很難。這時(shí)，我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將其與已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)建立聯(lián)系。首先，提問：|x-5|有最小值嗎？最小值是啥？學(xué)生回答：|x-5|的最小值是0。此時(shí)，x=5。老師：是的，絕對(duì)值運(yùn)算的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)，這是什么原因？學(xué)生回答：絕對(duì)值代表的是一段距離，是兩點(diǎn)之間的距離，如：|-5|就是-5到原點(diǎn)的距離是5，|m|就是m到原點(diǎn)的距離，那么|x-5|可以看成兩點(diǎn)之間距離嗎？是哪兩點(diǎn)之間距離呢？可以看成x到5的最短距離呢？應(yīng)該是0.這是我們從幾何角度對(duì)|x-5|的最小值進(jìn)行分析。下面我們進(jìn)一步討論|x-5|+|x+8|的最小值。|x-5|+|x+8|的最小值就是|x-5|的最小值與|x+8|的最小值之和，也就是x到5的距離與x到-8的距離之和。這時(shí)我們可以借助數(shù)軸，在它上面找到5，-8的位置，記為A、B兩點(diǎn)。由于x可以看成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，可以在數(shù)軸上取任意一點(diǎn)，當(dāng)在數(shù)軸上標(biāo)出5和-8的位置時(shí)，觀察在x變化過程中，動(dòng)點(diǎn)C落在哪個(gè)位置時(shí)式子|x-5|+|x+8|的值最小。此時(shí)，可讓學(xué)生之間交流討論，根據(jù)數(shù)軸分析A、B兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)C，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C落在A、B之間任意位置時(shí)，點(diǎn)C到A、B的距離之和都等于點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離13，但當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C落在點(diǎn)A的左邊和點(diǎn)B的右邊位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之和都大于13，因此：|x-3|+|x+8|的最小值就是5與-8的距離13.解題過程中最重要的一步，便是將絕對(duì)值的運(yùn)算變成幾何方面的問題，借助圖形研究數(shù)量把數(shù)變形，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。

三、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決概念問題

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題思路，使學(xué)生遇到相關(guān)的概念問題時(shí)，能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，從而增強(qiáng)學(xué)生的解題效率，使學(xué)生樹立起學(xué)習(xí)信心。例如，在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《平行線與相交線》這一內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)要學(xué)生掌握公理：垂線段最短。教師若只是使用文字為學(xué)生講解，學(xué)生很難理解這一數(shù)學(xué)概念，多數(shù)學(xué)生會(huì)采取死記硬背的方式進(jìn)行記憶，一定程度上影響著學(xué)習(xí)效果。而教師運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行講解與驗(yàn)證，例如直角三角形的直角邊總是比斜邊短，就是應(yīng)用“垂線段最短”這一概念。將教學(xué)內(nèi)容更加生動(dòng)形象具體地展現(xiàn)出來，鞏固學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力以及理解能力。

四、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問題

學(xué)生在進(jìn)行練習(xí)及考試時(shí)，時(shí)常會(huì)遇到十分復(fù)雜的代數(shù)問題，若學(xué)生花費(fèi)大量的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算，會(huì)影響著學(xué)生的解題效率。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，當(dāng)遇到相關(guān)數(shù)學(xué)難題時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為幾何圖形，更加輕松得出問題的答案。例如，在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《反比例函數(shù)》這一內(nèi)容時(shí)，其中有一道例題：P是反比例函數(shù)y=2/x，在第一象限分支中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，PB垂直于y軸，垂足分別為A、B。并隨著x不斷變大，請(qǐng)問四邊形APBO的面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？這是一道典型的例題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，將其轉(zhuǎn)化為具體的幾何形象進(jìn)行解題。最終得知四邊形APBO是矩形，它的面積并不會(huì)隨P點(diǎn)的變化發(fā)生改變，接下來進(jìn)行驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)面積都等于2，從而得出答案。

五、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

教師在講解數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)時(shí)，可以將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用其中，當(dāng)學(xué)生遇到較為復(fù)雜的圖形時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已學(xué)知識(shí)，充分利用已知條件，并探尋出題目所包含的隱含條件，最終輕易破解數(shù)學(xué)難題。例如，在學(xué)習(xí)人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)《二次函數(shù)》這一內(nèi)容時(shí)，在解決習(xí)題二次函數(shù)y=x2-bx+c的圖像與x軸相交于A（1，0）C，交y軸于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x=2。（1）求拋物線的解析式。（2）點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使三角形PAB的周長最??？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到解題過程中，將圖形與代數(shù)方法有機(jī)整合，轉(zhuǎn)換它們之間的關(guān)系，尋找出最佳的解題思路，從而使學(xué)生的解題過程更加通暢。

六、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想拓展教學(xué)內(nèi)容

在教學(xué)的過程中，對(duì)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)的知識(shí)內(nèi)容，可以通過使用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，提高實(shí)際的教學(xué)效果，并突出數(shù)學(xué)教學(xué)課堂中的主要部分，讓學(xué)生正確掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容。例如，在講解人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《勾股定理》這一內(nèi)容時(shí)，教師可以通過多媒體教學(xué)的方法，將證明勾股定理的“趙爽弦圖”通過對(duì)圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，它充分體現(xiàn)我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，同時(shí)被選為2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。這樣使學(xué)生充分了解到勾股定理的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容及形成。通過這一數(shù)形結(jié)合的方法，不僅可以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，還將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用到實(shí)際生活中，從而解決更多的數(shù)學(xué)問題。

七、數(shù)學(xué)教師需要重視思想方法引導(dǎo)

教師在實(shí)際教學(xué)的過程中，需要將數(shù)形結(jié)合的思想充分運(yùn)用在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生逐漸習(xí)慣數(shù)形結(jié)合的思想，最終理解、吸收數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)內(nèi)容，尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)的初始階段，教師需要重視引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生充分掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法。例如，一種進(jìn)價(jià)為40元的衣服，若銷售單價(jià)為60元，則每周可賣出300件為了提高利益，需對(duì)該衣服進(jìn)行漲價(jià)銷售，經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件漲價(jià)1元時(shí)，每周要少賣出10件。請(qǐng)確定該衣服漲價(jià)后每周的銷售利潤y元與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每周銷售利潤最大。利用數(shù)形結(jié)和思想在日常生活中的實(shí)踐，才能充分體現(xiàn)出它的價(jià)值。

綜上所述，初中數(shù)學(xué)教師將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到教學(xué)活動(dòng)中，不但能提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，還能夠讓學(xué)生掌握所學(xué)知識(shí)，大幅度提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。同時(shí)，教師應(yīng)遵循以人為本這一理念，根據(jù)學(xué)生的不同特點(diǎn)，合理制定數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的深度，選擇符合學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容，使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力得到提高。另外，教師應(yīng)該循序漸進(jìn)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，適當(dāng)調(diào)整數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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