從《數(shù)學(xué)思考》談歸納推理能力的培養(yǎng)

余亞兵

歸納推理是由特殊的具體事例推導(dǎo)出一般原理、原則的推理方法，是探究未知事物的重要方法。

人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《數(shù)學(xué)思考》的第一個(gè)問(wèn)題是這樣的：

表格第一行是對(duì)點(diǎn)數(shù)和連線方式的表示，第二行是每增加一個(gè)點(diǎn)，增加的線段條數(shù)，第三行是線段總條數(shù)。為了輔助學(xué)生思考，教科書(shū)在表格下方給出如下內(nèi)容：

3個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2=3（條）

4個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3=6（條）

5個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3+4=10（條）

6個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：

8個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：

根據(jù)規(guī)律，你知道12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)能連多少條線段嗎？請(qǐng)寫出算式。想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？

教科書(shū)呈現(xiàn)的推理方式是歸納推理的方式，即從點(diǎn)數(shù)分為3、4、5時(shí)線段條數(shù)的計(jì)算規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生歸納出點(diǎn)數(shù)為6、8或更多的點(diǎn)數(shù)時(shí)，線段條數(shù)的計(jì)算方法，讓學(xué)生初步體會(huì)歸納推理的思想。

如果教師照本宣科，學(xué)生按照課本的引導(dǎo)是可以解決這個(gè)問(wèn)題的，但筆者認(rèn)為這樣做少了數(shù)學(xué)探究的味道。筆者思考：如果沒(méi)有書(shū)中的引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)如何思考這個(gè)問(wèn)題。于是，筆者對(duì)教科書(shū)呈現(xiàn)方式進(jìn)行了改編，嘗試先設(shè)置兩個(gè)簡(jiǎn)單的相關(guān)例題，讓學(xué)生自主探究解決問(wèn)題的方法，從而獲得對(duì)推理過(guò)程的體驗(yàn)，再來(lái)解決上述例題。

例1：按照規(guī)律寫出下列數(shù)的第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)，你是依據(jù)什么寫的？你能寫出第n個(gè)數(shù)嗎？

2，5，8，11，14……

例2：下面第5、第6個(gè)圖形各有多少個(gè)點(diǎn)？第10個(gè)圖形呢？你能寫出第n個(gè)圖形點(diǎn)數(shù)的算式嗎？

例1比較簡(jiǎn)單，學(xué)生分析前面幾項(xiàng)的規(guī)律：依次增加3，容易得到一般規(guī)律，喚醒學(xué)生用歸納法解決問(wèn)題的意識(shí)。例2中的每一個(gè)（從第2個(gè)開(kāi)始）圖形，都包含了它前面的圖形，依據(jù)相鄰兩個(gè)圖形的關(guān)系，可以依次寫出各圖形的點(diǎn)數(shù)。例1、例2的練習(xí)讓學(xué)生形成解題思路：從簡(jiǎn)單的情況入手，注意分析相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系，從而形成一般規(guī)律。

隨后，筆者將教科書(shū)上的例題作為例3，以文字的形式呈現(xiàn)給學(xué)生。

例3：如表格所示（見(jiàn)上表），6個(gè)點(diǎn)可以連多少條線段？8個(gè)點(diǎn)呢？你知道12個(gè)點(diǎn)、20個(gè)點(diǎn)能連多少條線段嗎？請(qǐng)寫出算式。想一想，n個(gè)點(diǎn)能連多少條線段？

學(xué)生解決例3時(shí)，受例1、例2的正遷移，分析相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而形成教科書(shū)上的解法。6個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3+4+5=15（條），7個(gè)點(diǎn)連成線段的條數(shù)：1+2+3+4+5+6=21（條）;以此類推，8個(gè)點(diǎn)時(shí)為28條，12個(gè)點(diǎn)時(shí)為66條，20個(gè)點(diǎn)時(shí)為190條;n個(gè)點(diǎn)時(shí)用算式表示為：1+2+3+……+n-1條。筆者引導(dǎo)學(xué)生用如下方法進(jìn)一步歸納一般公式。

例2中第n-1個(gè)圖形的點(diǎn)數(shù)為1+2+3+……+n-1，將例2中的每個(gè)圖形倒置，與原來(lái)的圖形構(gòu)成一個(gè)平行四邊形（如下圖）。第n-1個(gè)圖形（n>1）有（n-1）行，每行有n個(gè)點(diǎn)，共有n（n-1）個(gè)點(diǎn)。所以1+2+3+[……]+n-1=[n（n-1）2]。通過(guò)對(duì)公式的探討，進(jìn)一步鞏固歸納推理的思想方法。

還有學(xué)生運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)線段條數(shù)的方法，從而得到如下解法。6個(gè)點(diǎn)分別記作1，2，3，4，5，6，點(diǎn)1與點(diǎn)2連線段記作（1，2），以點(diǎn)1為端點(diǎn)的線段有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）共5條;以點(diǎn)2為端點(diǎn)不含點(diǎn)1的線段有（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共4條……以點(diǎn)5為端點(diǎn)不含點(diǎn)1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4的線段有（5，6）有1條;因此共有線段的條數(shù)為：1+2+3+4+5=15（條），從而總結(jié)出：解題時(shí)應(yīng)有條理地把問(wèn)題分為幾類進(jìn)行計(jì)數(shù)。通過(guò)分類計(jì)數(shù)的解法，學(xué)生也能歸納出一般結(jié)果，避免因?yàn)閱?wèn)題復(fù)雜使思維受阻。

（作者單位：黃岡市黃梅縣孔龍鎮(zhèn)殷灣小學(xué)）

助理編輯? 劉佳