聚焦思維，整體構(gòu)建

錢建兵

筆者聽了特級教師許衛(wèi)兵的“用字母表示數(shù)”一課后，受益匪淺。為什么要由具體的數(shù)走向概括的字母表示？大家進(jìn)行不斷探索的動機是什么？筆者認(rèn)為，一個重要的原因就是人類與生俱來的求簡思維。也正是如此，教學(xué)中，許老師充分利用了這一點，激發(fā)學(xué)生不斷求簡的欲望，思維從具體向抽象跨越。從開始的字母表示概括的數(shù)，到著力體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，到最后的簡寫規(guī)則的學(xué)習(xí)以及用字母表示公式，一脈相承，體現(xiàn)了整體建構(gòu)的教學(xué)魅力。

【片段一】聚焦概括，思維由具體走向抽象

教師用小棒在黑板上擺三角形，邊擺邊讓學(xué)生觀察三角形的個數(shù)和小棒的根數(shù)，擺好4個三角形后——

師：擺不完，怎么辦？

生：用省略號。

師：一個省略號就把所有沒擺出來的情況都包括進(jìn)去了。

教師出示：擺（ ? ）個三角形用（ ? ）根小棒。

展示1：擺（1）個三角形用（3）根小棒。

擺（5）個三角形用（15）根小棒。

師：同意嗎？評價一下他們的水平。

生：我同意他們的填法，數(shù)字大了，水平高了。

師：哦，你的想法是，誰寫的數(shù)字大，誰的水平就高。

展示2：擺（n）個三角形用（n×3）根小棒。

師：這個同學(xué)用了英文字母n，請說一說你這個n想表示誰？

生（上臺指著1、2、3、4……）：n表示這里所有的數(shù)。

師：你的意思是說，寫這么多數(shù)，還要加省略號才能把它們寫全，太麻煩了，我直接寫個n不就好了嗎？

生：是的。

師：同學(xué)們，這種想法有沒有道理啊？

生：有。

師：那你們想想看，他后面寫的是什么？

生：n×3。

師：n×3啥意思？有人看懂了嗎？

生：因為1個三角形要用3根小棒來擺，所以n個三角形就要用n×3根小棒來擺。

師：你是這么想的嗎？

生：是的。

師：請問怎么知道是乘3的？剛才咱們碰到乘3了嗎？

生：碰到了。

師：哪里用上了？比如6是怎么來的？

生：2×3。

師：請問，n×3代表哪些數(shù)呢？

生：3、6、9、12……

師：俗話說，千金難買回頭看。我們回過頭來看看，一開始解決這個問題的時候，大家腦子里總是先想到什么呢？

師：跟一個個具體情況相比，這個同學(xué)的寫法最大的不同是什么？

生：這個n和n×3把所有的情況都包括進(jìn)來了。

師：一網(wǎng)打盡了是吧。

……

【賞析】字母表示數(shù)是系統(tǒng)學(xué)習(xí)抽象形式的代數(shù)的開端。在此之前，學(xué)生習(xí)慣于具體的數(shù)、具體的運算，雖然代數(shù)思維也有一些初步的萌芽，但具體算術(shù)思維根深蒂固。教學(xué)中，許老師能充分抓住學(xué)生這一思維特點，或者說思維習(xí)慣、思維水平，讓學(xué)生在具體的表達(dá)中實現(xiàn)思維向抽象躍升。當(dāng)學(xué)生意識到再多的具體數(shù)字也沒有必要全部寫下來，用字母表示數(shù)就呼之欲出。沒有反思，就沒有思維的提升。當(dāng)學(xué)生用字母表示了數(shù)之后，許老師通過引導(dǎo)學(xué)生對比，讓學(xué)生充分體會字母表示數(shù)的價值與背后蘊藏著的數(shù)量關(guān)系。這個反思包括兩個方面：不僅僅停留在由具體走向概括的單向的比較上，而是讓學(xué)生的思維行走于具體與概括之間的雙向通道上，由“一個個具體的數(shù)，最終一個字母、一個字母式就一網(wǎng)打盡”到“由這個字母、這個字母式還可以代表誰”。學(xué)生的思維在具體與抽象之間自由切換，并充分地體驗著、感悟著。學(xué)生的思維只有在兩者之間自由行走，才能得到充分發(fā)展，否則還是無法抹去教師牽引的痕跡，也無法見證學(xué)生思維的發(fā)展。

【片段二】著力關(guān)系，思維由表象走向深入

教師拿出一瓶飲料問：這瓶飲料有300毫升，如果我們喝掉一部分，就會剩下一部分。我們什么時候遇到過這樣的問題呢？

板書：300毫升飲料，喝掉（ ? ? ）毫升，還剩（ ? ?）毫升。

咱們一年級就學(xué)啦，比如，我有5個餅，吃掉2個餅，還剩——

（教師擰開瓶蓋，請一個學(xué)生上臺喝了一口）

師：好喝嗎？

生：好喝。

師：哈哈，那可不能白喝，請問：你喝掉（ ? ?）毫升，還剩（ ? ）毫升。

生：我用x表示，我喝掉x毫升，因為我們沒有測量到底喝了多少。

師：剩下的誰來填？

生：喝掉x毫升，還剩x毫升。

生：應(yīng)該是其他的一個字母，用y表示。

生：我認(rèn)為應(yīng)該是300-x。

師：哪個答案更好？

生：300-x。

師：為什么？我覺得y也蠻好的。

生：因為y沒能表示它們之間的關(guān)系。

師：是的，同學(xué)們。數(shù)學(xué)很奇妙——

生：關(guān)系最重要。

【賞析】在回顧、反思中品味具體與抽象的過程時，許老師迅速將學(xué)生的思維聚焦于字母式背后的數(shù)量關(guān)系。無論是一個個具體的算式，或是概括的字母式，只要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，就不難發(fā)現(xiàn)變化中不變的數(shù)量關(guān)系。可以說，許老師的教學(xué)觸及教學(xué)難點，時機掌握得恰如其分。“數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要。”正如許老師所預(yù)設(shè)的那樣，學(xué)生很自然地將思維聚焦于數(shù)量關(guān)系，這也是學(xué)生初次發(fā)現(xiàn)字母式背后的數(shù)量關(guān)系。用其他字母表示三角形的個數(shù)，那么怎么表示小棒的根數(shù)？在對比中，學(xué)生又一次發(fā)現(xiàn)，在表達(dá)時要將關(guān)系說清楚，數(shù)量關(guān)系再一次被推到前臺。

許老師創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境——300毫升的飲料，當(dāng)一個學(xué)生喝掉一口后，用字母表示喝掉的飲料與剩下的飲料時，有的學(xué)生用“喝掉x毫升，還剩x毫升”表示，有的學(xué)生用其他字母表示，還有的學(xué)生用“300-x”表示……在學(xué)生的爭辯中，數(shù)量關(guān)系再一次被推上前臺。因此也有了學(xué)生再一次的深刻感悟：數(shù)學(xué)很奇妙，關(guān)系最重要。在此過程中，學(xué)生由追求結(jié)果走向追求過程，逐步由算術(shù)思維走向代數(shù)思維。

【片段三】著眼整體，思維貫穿知識結(jié)構(gòu)

師：在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，咱們有沒有碰到過用字母表示數(shù)的情況呢？

生：我們學(xué)過加法交換律，a+b=b+a。

生：還有加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律，都可以用字母表示。

（教師出示字母表示的運算定律）

生：計算長方形周長和面積的時候，也用過。

（教師出示：長方形、正方形面積的文字公式和字母公式，由文字公式變成字母公式就變簡單了）

師：用今天所學(xué)的方法，我們還可以把這幾個字母公式寫得再簡單一點：S=ab，S=a2。如果不這么寫行不行？

師：既然面積公式可以這樣寫，你們就想到了什么？

……

【賞析】無論是引導(dǎo)學(xué)生的思維由具體走向抽象，還是聚焦關(guān)系用字母式表示數(shù)，或是字母簡寫規(guī)則的學(xué)習(xí)，許老師都是將其置于“人類思維總是求簡”這種思維方式之中的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)順應(yīng)了“把復(fù)雜的問題變得簡單，把簡單的問題變得更簡單”的需求，數(shù)學(xué)能將這一需求、這一理想變成現(xiàn)實，并趨于完美，因而學(xué)習(xí)變得如此自然。這也體現(xiàn)了教者整體構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)思想。

當(dāng)教學(xué)的立意達(dá)到更高層次時，學(xué)生就有了領(lǐng)略更高遠(yuǎn)風(fēng)景的視角，一種內(nèi)在的學(xué)習(xí)力自然得到激活與喚醒。把簡單的事做得更簡單，尋求更簡單的表達(dá)，成為學(xué)生內(nèi)在的需求，成為有意義的事情。用字母表示公式這些知識也能很自然地融入學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)中。

總之，這節(jié)課的教學(xué)因求簡的思維而生，也因求簡的思維成為整體，在整體構(gòu)建中實現(xiàn)思維的跨越。在反思中對具體與概括進(jìn)行比較，在反思中不斷體會概括中關(guān)系的重要性，體會字母表示數(shù)的價值，在此過程中也形成了凸顯整體性的板書設(shè)計，脈絡(luò)清晰，一目了然，整體感強，彰顯了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的魅力。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué)）