考慮鐵損的永磁同步電動機有限時間模糊動態面控制

張肖平，于金飛，崔英英，于金鵬

(1. 青島大學 自動化學院，山東 青島 266071；2. 淄博市技師學院，山東 淄博 255025； 3. 山東勞動職業技術學院，山東 濟南 250022)

0 引言

永磁同步電動機(PMSM)憑借其體積小、功率密度高、動態性能好、可靠性強等優點在工業領域得到了廣泛應用[1]。然而PMSM多變量、強耦合、易受外部負載擾動影響等特性會影響控制性能，因此如何克服上述問題已經成為了研究熱點。隨著相關研究者對PMSM的深入研究，許多控制方法被提出并得到了快速發展。例如反步控制、滑模變結構控制、模糊控制、自適應控制和哈密頓控制等[2-6]。

文獻[7]提出了一種針對PMSM的有限時間動態面控制方法。有限時間控制[8]是一種簡單有效的控制方法，與漸近控制方法相比，不僅可以提高系統的響應速度，還能夠使跟蹤誤差在有限時間內收斂到原點的一個充分小鄰域內，從而提高控制精度。在實際應用中，當電動機在輕載條件下長期工作時，電動機會產生大量的鐵芯損耗[9]，從而嚴重影響控制性能。此外，傳統控制策略忽略了輸入飽和[10]問題，會導致輸入電壓過高，從而影響控制系統的控制性能和穩定性。

本文針對考慮鐵損的PMSM中存在的飽和問題，提出了一種有限時間自適應模糊動態面控制方法。首先采用有限時間控制技術提高了系統的收斂速度，縮短了系統的響應時間，減少了跟蹤誤差；然后引入動態面技術，有效解決了傳統反步法中存在的計算復雜性問題；最后利用一個光滑的分段函數g(v)來逼近飽和函數，解決輸入飽和問題，使電動機更加安全穩定。

1 同步電動機的數學模型

考慮帶有鐵損的同步電動機動態數學模型[9]如下:

為了簡化上述數學模型，將變量重新定義如下：

其中：id、iq代表d-q軸電流；ud、uq表示d-q軸電壓；iod和ioq分別代表d-q軸勵磁電流分量。其余參數的定義在文獻[9]中有具體說明。考慮鐵損的PMSM動態數學模型可表示為：

考慮同步電動機輸入飽和問題如下：umin≤v≤umax，其中umin和umax分別代表已知定子輸入電壓的最小值和最大值，即：

其中：umax>0和umin<0都為輸入約束限制的未知常數；v為實際的輸入信號。利用分段光滑函數g(v)來近似約束函數，定義為：

其中：u=sat(v)=g(v)+d(v)，d(v)是一個有界函數[10],表示為|d(v)|=|sat(v)-g(v)|≤D。結合中值定理可知，存在一個常數μ(0<μ<1)，有：

g(v)=g(v0)+gvμ(v-v0)

其中gvμ=((?g(v))/(?v))|v=vμ，vμ=μv+(1-μ)v0。選取v0=0，則以上函數可以寫為：g(v)=gvμv，因此u=gvμv+d(v)。故有：

其中存在一個未知常數gm，使得0≤gm≤gvμd≤1并且0≤gm≤gvμq≤1。

引理2[2]：設f(Z)是定義在緊集Ωz上的連續函數，對任意的ε>0，存在一個模糊邏輯系統WTS(Z)使得f(Z)=WTS(Z)+δ(Z)，其中Z∈Ωz，δ(Z)為逼近誤差且|δ(Z)|≤ε。

2 有限時間動態面控制器設計

結合反步法構造永磁同步電動機的有限時間動態面控制器。定義跟蹤誤差變量為：

定義正參數εj，lj(j=2,3,4,6)，由引理2及楊氏不等式可知：

(1)

(2)

(3)

(4)

實際系統中，負載轉矩TL是有界的，其范圍為|TL|≤d，其中d>0。

(5)

選取虛擬控制函數

應用引理2和式(1)并將α2代入式(5)可得：

(6)

(7)

其中：增益k3>0；常數s3>0。則應用引理2和式(1)并將α3代入式(7)可得：

(8)

(9)

d1z4uq=d1z4g(vq)+d1z4d(vq)

(10)

其中常數Dq>0。

應用引理2和式(1)，結合vq、式(9)和式(10)可得：

(11)

(12)

令f5(Z5)=-c1x5-c2x2x3，Z5=[x2,x3,x5]T。

(13)

(14)

由輸入飽和可知，ud=sat(vd)=g(vd)+d(vd)。則有：

d2z6ud=d2z6g(vd)+d2z6d(vd)

(15)

(16)

由定義yi=αid-αi,i=1,2,3,5，則有：

(17)

(18)

構建自適應律為：

(19)

3 穩定性證明

將式(19)代入式(18)可得：

(20)

通過文獻[12]可知，|Bi|有一個最大值BiM在緊集|Ωi|,i=1,2,3,4上，其中|Bi|≤BiM，則有：

其中常數Γ>0。由楊氏不等式得：

由文獻[13]可推導出以下不等式：

將不等式代入式(20)可得：

(21)

其中：a0=min{2(k1-1),2(k2-1),2(k3-1),

2(gmk4-1),2(k5-1),2(gmk6-1),2(e1-1),2(e2-1),2(e3-1),2(e5-1),m1}；

b0=min{2,2s1,2s2,2s3,2gms4,2s5,2gms6,m1}；

由式(21)可得：

(22)

4 仿真結果分析

仿真結果如圖1-圖4所示，其中圖1表示角位置跟蹤信號x1以及相應的角位置期望信號x1d；圖2表示跟蹤誤差；圖3表示飽和環節之前的d軸電壓vd和飽和環節之后的d軸電壓ud；圖4表示飽和環節之前的q軸電壓vq和飽和環節之后的q軸電壓uq。由仿真結果可以看出，兩種方法可以把電壓限制在安全范圍內，保證了電動機的控制性能，然而本文提出的有限時間動態面控制方法相比動態面控制方法提高了系統的響應速度和收斂速度，減少了跟蹤誤差。

圖1 角位置跟蹤信號及期望信號

圖2 跟蹤誤差

圖3 飽和環節前后d軸電壓

圖4 飽和環節前后q軸電壓

5 結語

本文針對具有鐵損和輸入飽和問題的PMSM驅動系統，以自適應模糊反步法為基礎，結合有限時間技術和動態面技術構建了一種PMSM位置跟蹤控制器。與動態面控制方法相比，本文引入有限時間控制技術不僅提高了系統的響應和收斂速度，還減少了跟蹤誤差。仿真實驗結果表明，本文提出的控制策略實現了對PMSM快速有效的位置跟蹤，驗證了控制方法的可行性。