電學搭臺 力學唱戲 數學幫腔
——異曲同工的兩道力、電問題進階式分析

李 昱 楊天才

(重慶市第三十七中學校 400000)

看似運動性質不同的兩道力、電題，但物理本質相近，采用進階式的分析，對解動力學問題的三把金鑰匙有很好的復習鞏固作用，同時也能正確區分它們之間的關系，以及在什么條件下優先選用哪條思路更簡潔.解動力學的三把金鑰匙列表如下：

例1 如圖2所示，質量為m的鐵塊(可視為質點)以水平初速度v0滑上原來靜止在水平光滑地面上質量為M的木板上，它們之間的動摩擦因數為μ，木板足夠長，求：

(1)鐵塊、木板達共同速度之前各自的受力；

(2)鐵塊、木板達共同速度之前運動的加速度；

(3)畫出它們大致運動過程的v—t圖象；

(4)鐵塊和木板的共同速度及達到共同速度所需的時間和位移；

(5)整個過程鐵塊、木板的速度改變量；

(6)摩擦力對鐵塊、木板做的功及它們動能的變化；

(7)摩擦力對鐵塊、木板做功的平均功率；

(8)整個過程產生的內能及木板至少多長；

(9)摩擦力對鐵塊、木板的沖量及動量的變化.

解析(1)對鐵塊和木板，受力分析如圖1所示，鐵塊和木板運動的示意圖如圖2所示.

(2)鐵塊和木板所受的摩擦力等大反向，大小為μmg，方向與相對運動方向相反.對m，由牛頓第二定律，-μmg=ma1，解得：a1=-μg，對M，由牛頓第二定律，-μmg=Ma2，解得：a2=μmg/M

(3)二者大致運動過程的v-t圖象如圖3所示.

點評通過回答進階式的問題，可以體會這三把金鑰匙的特點及其關系，在具體問題時就能找到最簡便的方法.一般來說，(1)如果要列出各物理量在某一時刻(或恒力持續作用)的關系式，優先選用牛頓第二定律；(2)研究某一物體受到力的持續作用發生運動狀態改變時，優先選用動量定理(涉及時間的問題)或動能定理(涉及位移的問題)去解決問題；(3)若研究的對象為一物體系統，且它們之間有相互作用，一般用動量守恒定律和能量守恒定律(機械能守恒定律)去解決問題，但需注意所研究的問題是否滿足守恒的條件.(4)在涉及相對位移問題時則優先考慮能量守恒定律，系統克服摩擦力所做的總功等于系統機械能的減少量，即轉變為系統內能的量.(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現象時，需注意到這些過程一般均隱含有系統機械能與其他形式能量之間的轉換，這種問題由于作用時間都極短，因此用動量守恒定律去解決.

而且，以上問題都可以用v-t圖像來表示，圖中CB的斜率表示a1，BO的斜率表示a2，t是時間，v是共同速度，梯形OABC的面積在數值上等于x1，三角形OAB的面積在數值上等于x2，三角形OBC的面積在數值上等于L，三角形OBC的面積乘以摩擦力μmg在數值上等于系統產生的內能Q，同理用圖像中的其他關系可表示上述所有物理量.

例2 如圖4所示，兩根足夠長的固定的平行金屬導軌位于同一水平內，兩導軌間的距離為L，導軌上面橫放著兩根導體棒ab和cd構成矩形回路，已知它們的質量分別為m1和m2，電阻分別為R1和R2，磁感應強度為B，設兩導體棒均為沿導軌無摩擦地滑行，開始時，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若兩導體棒在運動中始終不接觸，求：

(1)兩棒的運動情況如何；

(2) 畫出兩棒大致的運動過程的v-t圖象；

(3) 當ab棒的速度變為初速度的3/4(還未達到勻速運動)時，cd棒的加速度；

(4)兩棒運動穩定后的速度分別為；

(5)兩棒在運動中產生的焦耳熱Q最多是多少，各占多少；

(6)通過兩棒某一橫截面的電量q是多大；

(7)兩棒之間的最小距離Δx；

(8)若兩棒從開始運動到共速的時間為t0，這個過程中ab棒、cd棒各自的位移大小.

解析(1)ab棒向cd棒運動時，兩棒和導軌構成的回路面積變小，磁通量發生變化，于是產生感應電流.ab棒受到與運動方向相反的安培力作用做減速運動，cd棒則在安培力作用下做加速運動，在ab棒的速度大于cd棒的速度時，回路中總有感應電流，ab棒繼續減速，cd棒繼續加速．兩棒速度達到相同后，回路面積保持不變，磁通量不變化，不產生感應電流，最后兩棒以相同的速度v做勻速運動.∴棒ab做加速度減小的減速運動，棒cd做加速度減小的加速運動.

(2)如圖5所示.

此時回路中感應電動勢和感應電流分別為：

(5)由能量守恒定律，焦耳熱