2020年全國Ⅱ卷理綜第21題解法研究

楊 勇

(貴州省安順市關嶺民族高級中學 561300)

2020年全國Ⅱ卷理綜第21題為物理選擇題的壓軸題，是一道反復碰撞有關動量、沖量問題的相關應用，解決本題的關鍵是要分清及理解推出物塊過程遵循的物理規律，找到8次以后速度與質量的關系，即可找到解決方法.相對2019年全國Ⅱ卷理綜第21題來說，兩個題都是多過程問題，在考察學生的能力上來說，難度穩定，解決此問題都需要學生具備獨立的思考能力發散思維能力，因此本題具有選拔人的功能.

一、題目呈現

(2020年全國Ⅱ卷理綜第21題)水平冰面上有一固定的豎直擋板，一滑冰運動員面對擋板靜止在冰面上，他把一質量為4.0 kg的靜止物塊以大小為5.0 m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板，運動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞，速度反向，追上運動員時，運動員又把物塊推向擋板，使其再一次以大小為5.0 m/s的速度與擋板彈性碰撞.總共經過8次這樣推物塊后，運動員退行速度的大小大于5.0 m/s，反彈的物塊不能再追上運動員.不計冰面的摩擦力，該運動員的質量可能為( ).

A. 48 kg B. 53 kg

C. 58 kg D. 63 kg

本題的參考答案為：B、C

二、解法研究

本題對于大多數學生來說，由于要從題述中建立相應的物理模型，可能會存在一定的難度，同時也比較抽象.解決本題的關鍵是抓住題述中的冰面不計摩擦力，物塊與擋板的碰撞為彈性碰撞，所以物塊反彈時速度大小不變，也就是說物塊與運動員的相互作用以及物塊與擋板的相互作用只改變速度的方向，不改變速度的大小；其次要明確第8次推物塊后，速度大于5m/s，怎么從這個條件中尋找質量與題述含義的關系；這些是學生突破本題的關鍵，由于大多數學生對問題的分析不透，導致找不到條件，或者找到條件但是不全面.找到速度與質量之間的數學等式關系，即為本題找準正確答案的關鍵，筆者將從以下幾種方法對本題做相應的求解.

1.動量方法

據題意，由于冰面不計摩擦力，向前推物塊，則運動員要向后退，所以在推的過程中，運動員與物塊組成系統的動量守恒.設推出物塊后物塊的速度大小為v0=5m/s，物塊的質量為m0=4kg；每推物塊一次運動員的速度變為vn(其中n=1,2,3…8)，運動員的質量為m.規定運動員運動的方向為正方向，則：

第一次推物塊有：mv1-m0v0=0

第二次推物塊時，物塊的動量變化大小為Δp=2m0v0，方向向右；則運動員的動量變化大小也為Δp′=2m0v0，方向向左.由于每一次推出物塊時物塊獲得的速度大小不變，由于物塊與擋板間為彈性碰撞，則除了第一次推物塊外，以后的每一次推物塊，運動員都向左增加Δp′=2m0v0.因此第8次推出物體后，運動員動量的變化大小為：

Δp總=mv1+7Δp′

而物塊反彈后能追上運動員發生相互作用，則第7次推出后，運動員后退的速度v7<5m/s，由上述分析，運動員第7次推出物塊后動量為mv7=13m0v0，由于v7<5m/s，則m>52kg.

綜上所述，滿足題述要求的運動員的質量可能為52kg

2.列項相消

同理，假設甲的質量為m，每推物塊一次運動員的速度變為vn(其中n=1,2,3…8)，乙的質量為m0，推出的速度大小為v0.運動員推物塊的瞬間組成系統的動量守恒，同樣規定運動員運動的方向為正方向，則：

第一次推物塊有：

mv1-m0v0=0

①

第二次推物塊有：

mv1+m0v0=mv2-m0v0

②

第三次推物塊有：

mv2+m0v0=mv3-m0v0

③

……

第八次推物塊有：

mv7+m0v0=mv8-m0v0

⑧

由②+③+…+⑧得，

mv1+7m0v0=mv8-7m0v0，

所以mv8=mv1+14m0v0，

分析方法與上式方法一樣，同樣得到B、C正確.

3.等差數列求解

從方法2可以看出來mv7+m0v0=mv8-m0v0，則mv8-mv7=2m0v0，因此p8-p7=2m0v0，從此式子可以發現，運動員的動量的增量為一個等差數列，公差d=2m0v0.

當第8次推出物塊后，運動員的動量大小為p8=p1+(8-1)d，其中p1=m0v0，所以p8=15m0v0，由于p8=mv8，則有mv8=15m0v0，由于v8>5m/s，所以m<60kg.

當第7次推出物塊后，運動員的動量大小為p7=p1+(7-1)d，所以p7=13m0v0，因此mv7=13m0v0，v7<5m/s，則m>52kg.

綜述，本題的答案為B、C.

4.應用圖象直觀求解

根據題目的含義，滿足題述要求，除了第一次推出物塊外，以后的每一次推出物塊時，運動員的動量增量大小為Δp=2m0v0，為了減少復雜的數學運算，可以把對應題目的含義的物理量通過做題的形式來表達，更能形象地理解問題和求解答案.根據題述，建立運動員動量增量大小與推物塊次數的關系如圖1所示：

根據圖象與坐標的物理意義，圖線與坐標圍城的面積即為第n此次推出物塊運動員的動量的增量大小，則第8次推出物塊后，運動員的動量為mv8=m0v0+(8-1)2m0v0，則mv8=15m0v0；第7次推出物塊后，運動員的動量為mv7=m0v0+(7-1)2m0v0，mv7=13m0v0，根據題目的要求，運動員的質量取值范圍為：52kg

這是一道選擇題壓軸題，對于多數學生來說具有一定的困難，但是根據題目的地位和形式，思想和方法并不單一，我們知道高考題是具有選拔人才的作用，所以對一道高考題，我們要站在更高的角度思考問題.從本題的設計意圖和解題方法來看，在以后的課堂教學，復習備考中，對于物理問題的求解，我們應該從構建物理模型、應用適當的數學方法以及應用圖象等形式多維度進入教學，從而更有效地提升學生科學思維能力和解決問題的能力，同時有助于培養學生思維的縝密性和創造性.