排列組合解題策略研究

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

在解決排列組合問(wèn)題過(guò)程中，常出現(xiàn)的問(wèn)題是：解完題后自我感覺(jué)良好，但答案卻是錯(cuò)的.這是因?yàn)榇祟?lèi)問(wèn)題比較抽象，不知從何下手；題型較多，不知用何方法；易重復(fù)，常遺漏，卻不知重漏于何處.排列組合各類(lèi)型題的解題方法幾乎不通用，很有必要?dú)w類(lèi)總結(jié)，形成技能.下面依托部分高考題介紹一些常見(jiàn)的策略.

一、特殊元素優(yōu)先

例1 從6人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一個(gè)人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有( ).

A.300種 B.240種 C.144種 D.96種

評(píng)注使用這個(gè)策略務(wù)必選準(zhǔn)特殊元素，并對(duì)其利用兩大計(jì)數(shù)原理合理處理，否則，易導(dǎo)致重復(fù)或遺漏.

二、特殊位置優(yōu)先

例2 在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被5整除的數(shù)共有____個(gè).

評(píng)注特殊位置是需要一定背景才能產(chǎn)生的，解題時(shí)需要對(duì)題意準(zhǔn)確把握，找準(zhǔn)特殊位置，否則易導(dǎo)致重復(fù)或遺漏.

三、準(zhǔn)確分類(lèi)

例3 不共面的四個(gè)點(diǎn)到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有( ).

A.3個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.7個(gè)

解析滿(mǎn)足條件的平面分為兩類(lèi)，第一類(lèi)是三棱錐的高的中垂面，有4個(gè)；第二類(lèi)是三棱錐對(duì)棱的公垂線段的中垂面，有3個(gè).故共有7個(gè)，選D.

評(píng)注類(lèi)似本題的立體幾何問(wèn)題難以找準(zhǔn)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，并且分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)受空間位置關(guān)系影響較大，特別容易遺漏，務(wù)必謹(jǐn)慎思考.

四、恰當(dāng)分步

例4 安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ).

A．12種 B．18種 C．24種 D．36種

評(píng)注這類(lèi)題容易這樣錯(cuò)誤操作：先安排一項(xiàng)工作給某人，再給每人安排一項(xiàng)工作.這個(gè)分步不恰當(dāng)，某人兩次接受工作，不合情理,必重復(fù).

五、先選后排

例5 若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同工作，則選派方案共有( ).

A.180種 B.360種 C.15種 D.30種

六、正難則反

例6 在100件產(chǎn)品中有6件次品,現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是( ).

A. 26226 B.29106 C.27656 D. 836156

評(píng)注當(dāng)問(wèn)題的正面情形較多，反面情形較少時(shí)，最好從反面解答，本解法又稱(chēng)排除法.

七、相鄰捆綁不相鄰插空

例7 用1,2,3,4,5,6,7,8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰,3與4相鄰,5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數(shù)共有____個(gè).(用數(shù)字做答)

評(píng)注當(dāng)已知中有相鄰的條件或相鄰的含義時(shí)，需用捆綁策略，先處理捆綁后的整體，再處理被捆綁的元素；當(dāng)已知中有不相鄰的條件或不相鄰的含義時(shí)，需用插空的策略，先把其他元素排好，再將這些元素插入.解題中貫穿分步計(jì)數(shù)的乘法原理.

八、轉(zhuǎn)行拉直

例8公交車(chē)上現(xiàn)有最后兩排的6個(gè)位置，剛好有6名中學(xué)生來(lái)乘車(chē)，他們有____種坐法.

評(píng)注這種題出現(xiàn)了干擾條件，理論上與排數(shù)，位置無(wú)關(guān)，直接視為一排，各位置一樣對(duì)待.

九、定序分類(lèi)

例9 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為( ).

A.42 B.30 C.20 D.12

十、圓排列分類(lèi)

例10 4人圍坐在一張圓桌上就餐，共有____種坐法.

十一、平均分組分類(lèi)

例11 四支球隊(duì)，兩強(qiáng)兩弱，現(xiàn)把他們平均分成兩組，共有____分法.

評(píng)注這類(lèi)問(wèn)題屬于平均分組，處理它的一般方法是：先按要求分組，再除以組數(shù)的階乘.對(duì)于部分平均分組的，第一步不變，第二步的組數(shù)為參與平均分組的組數(shù)，而不是全部組數(shù).

十二、構(gòu)造模型

例12 體育老師讓學(xué)生把10個(gè)籃球分裝到6個(gè)籃球筐內(nèi)，要求每筐不空，共有____種分裝方法.

評(píng)注這種方法又稱(chēng)隔板法.使用時(shí)要注意是否允許隔板相鄰，這對(duì)問(wèn)題影響較大.在實(shí)際問(wèn)題中，抽象出這種模型是關(guān)鍵，如下面一個(gè)例題.

例13已知集合A={a1,a2，…，a50}與集合B={b1,b2，…，b50}，則能建立多少個(gè)映射f：A→B，使得B中每個(gè)元素都有象，且滿(mǎn)足f(a1)≥f(a2)≥…≥f(a50).

十三、對(duì)稱(chēng)分類(lèi)

例14 如圖1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可以選擇，則不同的著色方法有____種.(以數(shù)字作答)

評(píng)注對(duì)于區(qū)域1而言，2與4，3與5均屬于“對(duì)稱(chēng)”位置，因?yàn)榍罢邔?duì)后者計(jì)數(shù)有制約性影響，所以務(wù)必分類(lèi)研究.事實(shí)上，這種對(duì)稱(chēng)位置有時(shí)也較隱蔽，需要抽象處理.

十四、定向分配

例15 現(xiàn)有3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校去開(kāi)展體檢工作，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士，共有____種分配方法.

十五、依次插入

例16 在一次文藝演出中，有3小品，2個(gè)歌舞和1個(gè)獨(dú)唱等節(jié)目，要求同類(lèi)節(jié)目不排在一起，共有____種排法.

所以同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是48+72=120種.

評(píng)注本題在第二步中極易出錯(cuò)，籠統(tǒng)地將三個(gè)節(jié)目插入，表象上滿(mǎn)足了條件，實(shí)際上有很多同類(lèi)節(jié)目相鄰的情形.務(wù)必依次插入，步步為營(yíng).

排列組合問(wèn)題多數(shù)都是應(yīng)用題,多以選擇或填空形式出現(xiàn),小巧靈活,有很強(qiáng)的獨(dú)立性、抽象性和綜合性；同時(shí)對(duì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想有著較高要求,學(xué)生不易掌握,為歷年高考?？純?nèi)容.因此以上思維方法和解題策略十分重要.同時(shí)靈活應(yīng)用兩個(gè)原理:分類(lèi)問(wèn)題用加法,完成一件事的幾類(lèi)方法之間是獨(dú)立的,計(jì)數(shù)時(shí)不重不漏；分步問(wèn)題用乘法,完成一件事的幾步之間是連續(xù)的,計(jì)數(shù)時(shí)缺一不可.觸類(lèi)弄通，各個(gè)擊破，高考時(shí)，我們就胸有成竹了.