以高考卷談高三備考的易錯點分析

何正文

(廣東省肇慶市百花中學 526020)

高考卷往往能考查學生各個方面的能力，本文對2020年全國高考Ⅰ卷的易錯點進行分析，易錯往往由于沒有養成良好的數學思維而缺乏靈便的方法，因此在對試卷進行分析后，筆者歸類為核心概念、數據分析、空間想象、數學思維、建模能力五個方面的原因.

一、核心概念模糊

例1 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第1題)若z=1+i，則|z2-2z|=( ).

解析由題意，可得z2=(1+i)2=2i，則z2-2z=2i-2(1+i)=-2.

故|z2-2z|=|-2|=2.

故選D.

此題為試卷第一題，考查復數的運算法則和復數的模的求解等知識，屬于基礎題.由題意首先求得z2-2z的值，然后計算其模即可，容易錯選了C答案，錯誤地將復數的模與開方混為一談，這是典型的復數相關概念模糊.

圖1

故選C.

二、建模能力欠缺

例3 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第3題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( ).

圖2

圖3

故選C.

例4 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，

當b=1時，f(a)-f(b2)=2>0，此時f(a)>f(b2)，有a>b2

當b=2時，f(a)-f(b2)=-1<0，此時f(a)

故選B.

此題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，是一道中檔題.學生能否構造函數模型f(x)=2x+log2x是解決這道題的關鍵.

三、數據處理能力不足

例5 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第5題)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散點圖：

圖4

由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是( ).

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數函數的圖象附近，因此，最適合作為發芽率y和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.

故選D.

本題考查函數模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，應該屬于基礎題.表面上這是一道根據散點圖的分布選擇合適的函數模型，其實更加是一道數據分析題，學生能從散點圖讀出數據，與認識的函數圖象對比數據分析，找出答案.

(1)求甲連勝四場的概率；

(2)求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率.

(2)記事件A為甲輸，事件B為乙輸，事件C為丙輸，則四局內結束比賽的概率為

本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.

(1)根據獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；

(2)計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

(3)列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.

2020年的概率統計題目雖然從字數上比前兩年少，但是數據分析卻成為考查難點.2018,2019年概率統計題目字數多，但往往提供的信息也多，而2020年題目雖短，但要分析的內容也多，缺乏數據分析能力的學生往往就無從下手.

四、空間想象不足

例7 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第10題)已知A,B,C為球O球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1，則球O的表面積為( ).

A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

故選A.

圖5

本題考查球的表面積，應用球的截面性質是解題的關鍵，考查計算求解能力，屬于基礎題.需要學生的空間想象能力，由已知可得等邊△ABC的外接圓半徑，進而求出其邊長，得出OO1的值，根據球截面性質，求出球的半徑.

圖6

本題考查利用余弦定理解三角形，考查計算能力，屬于中等題.需要學生三維到二維的空間想象能力，在△ACE中，利用余弦定理可求得CE，從而可得出CF，利用勾股定理計算出BC，BD，可得出BF，這些都是從三棱錐空間中得到的等量關系.

五、數學思維缺失

例9 (2020年全國Ⅰ卷理科選擇題第11題)已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點，過點P作⊙M的切線PA,PB，切點為A,B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為( ).

A. 2x-y-1=0 B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0 D. 2x+y+1=0

則以MP為直徑的圓方程為(x-1)(x+1)+y(y-1)=0，即x2+y2-y-1=0，兩圓的方程相減，可得2x+y+1=0，即為直線AB的方程．

故選D.

本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關系的應用，以及圓的幾何性質的應用，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于中檔題．當學生遇到點P為l上的動點時，往往感覺很迷茫，缺乏辯證分析數學思維.通過點到直線的距離和半徑比較推出直線與圓相離，挖掘出四點A,P,B,M共圓，且AB⊥MP，根據|PM|·|AB|=2S△PAM=2|PA|可知，當直線MP⊥l時，|PM|·|AB|最小，求出以MP為直徑的圓的方程，根據圓系的知識即可求出直線AB的方程．從條件引結果，從結果找條件，步步為營，順藤摸瓜的數學思維是解決這道題的關鍵.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

解析(1)依據題意作出如圖7的圖象.

圖7

所以直線CD的方程為

從2020年全國Ⅰ卷理科數學試題發現，核心概念、數學建模、數據分析、空間想象、數學思維五個方面作為著力點，幫助高三學生理清自身數學體系，要知己，還要知彼，在數學思維的高度理解題目，找到解題的突破口、解題規律，分析解題思路，平時教師鼓勵學生談他們自己的想法和困惑，加強對數據分析、空間想象方面的能力.