極值點(diǎn)偏移的題型發(fā)展

蘇凡文 王志豪

(1.山東省泰安寧陽(yáng)一中 271400;2.山東省寧陽(yáng)縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué) 271400)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)在一定程度上可以認(rèn)為是數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的發(fā)散性學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)題目的命制也是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的發(fā)散性應(yīng)用．

極值點(diǎn)偏移的題目在目前已形成了固定的解題模式，此類(lèi)題目在高考與各種模擬考試中擔(dān)當(dāng)壓軸重任，成為函數(shù)題目中的一道靚麗風(fēng)景．

一、極值偏移的內(nèi)容本質(zhì)

1.代數(shù)定義

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大(小)值點(diǎn)x0，方程f(x)=0的解分別為x1,x2，且a

2.圖象解釋

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在闡述直觀想象素養(yǎng)時(shí)指出：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力；增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)；形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)．”借助直觀的圖象解釋抽象的代數(shù)定義是數(shù)學(xué)教學(xué)的常用手段．極值點(diǎn)偏移源于函數(shù)圖象的偏對(duì)稱(chēng)，常見(jiàn)以下四種偏對(duì)稱(chēng)圖象．

(1)極值點(diǎn)左移

(2)極值點(diǎn)右移

二、題型發(fā)展

1.基本的極值點(diǎn)偏移題目

極值點(diǎn)偏移的題目經(jīng)廣大一線教師的細(xì)致研究，早已形成了固定的解題模式．以 “已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)=f(x2)(x12x0”為例．

(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點(diǎn)，確定x1x0；

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x)，x

(3)求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)，確定g(x)在x

(4)由x1

(5)由x2>x0，2x0-x1>x0及f(x)在x>x0時(shí)的單調(diào)性得到x2與2x0-x1的大小關(guān)系，進(jìn)而得到x1+x2>2x0．

例1 (2010年天津·理21)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)；

(3)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2．

例2 (2016年新課標(biāo)Ⅰ·理21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn)．

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1+x2<2．

2.化歸法在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用

化歸是數(shù)學(xué)解題中常用的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題．有時(shí)可將所證不等式通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的極值點(diǎn)偏移的形式，并構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)，有時(shí)可以根據(jù)方程將所證不等式轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.

例3 已知函數(shù)f(x)=ax-lnx(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

例4 已知函數(shù)f(x)=xlnx-x．

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

3.兩次極值點(diǎn)偏移在題目中的應(yīng)用

對(duì)于先增后減再增或先減后增再減的函數(shù)，若其圖象滿(mǎn)足兩個(gè)偏對(duì)稱(chēng)，則可以構(gòu)造如下類(lèi)型的題目．

滿(mǎn)足圖5的函數(shù)，a,b為兩個(gè)極值點(diǎn)，其中x1+x2>2a，x2+x3<2b，則x3-x1<2b-2a；

滿(mǎn)足圖6的函數(shù)，a,b為兩個(gè)極值點(diǎn)，其中x1+x2>2a，x2+x3<2b，則x3-x1>2a-2b．

(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)方程f(x)=m有三個(gè)實(shí)根x1,x2,x3(x1

分析(1)a=-3，單調(diào)增區(qū)間(0,1)，(2,+)，單調(diào)減區(qū)間(1,2)．

(2)由題意可得02，x2+x3<4，所以x3-x1<2．

4.內(nèi)嵌于導(dǎo)函數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

對(duì)于先增后減再增或先減后增再減的函數(shù)來(lái)說(shuō)，若其導(dǎo)函數(shù)圖象滿(mǎn)足偏對(duì)稱(chēng)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)中的極值點(diǎn)偏移，構(gòu)造不等式x1+x2<2x0(x1+x2>2x0)，得到x1<2x0-x2(x1>2x0-x2)，進(jìn)而構(gòu)造與f(x1)及f(x2)相關(guān)的不等式題目．

例6 (2019-2020泰安上學(xué)期期末第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax．

(1)當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，證明：g(a)≤1；

5.單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

單調(diào)函數(shù)看似與極值點(diǎn)偏移沒(méi)有關(guān)系，其實(shí)也有著緊密的聯(lián)系．將單調(diào)函數(shù)的圖象關(guān)于與其相交的平行于橫坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱(chēng)翻折，即可建立起先增后減或先減后增的偏對(duì)稱(chēng)圖象，從而構(gòu)造極值點(diǎn)偏移的題目．

在圖9中，函數(shù)是單調(diào)遞增的，f(x0)=m，且f(x1)+f(x2)=2m，將x>x0時(shí)的圖象沿直線y=m對(duì)稱(chēng)翻折得圖象如圖10所示，從而建立起偏對(duì)稱(chēng)圖象，可證明x1+x2>2x0．

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x1)+f(x2)=-1(x1≠x2)，證明：x1+x2>2.

不妨設(shè)x12，只需證x2>2-x1.因?yàn)閤2>2-x1>1，只需證f(x2)

因?yàn)閒(x2)=-1-f(x1)，只需證-1-f(x1)0．

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+f(2-x)+1(00即可．

例8 已知函數(shù)f(x)=x-alnx-1(a為常數(shù))的圖象與x軸有唯一的公共點(diǎn)A．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)曲線y=f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為a2-a-3，若存在不相等的正實(shí)數(shù)x1,x2，滿(mǎn)足|f(x1)|=|f(x2)|，證明：x1x2<1．

分析(2)中，易得a=-2，f(x)=x+2lnx-1.由(1)知f(x)在(0,+)上為增函數(shù)．不妨令x12，構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-f(2-x)(0

自恢復(fù)高考以來(lái)，教材內(nèi)容不斷更新完善，一些經(jīng)典題目卻歷久彌新，即使不斷更換馬甲，但其本質(zhì)內(nèi)容幾十年沒(méi)有改變，就像陳年的老酒，放得時(shí)間越長(zhǎng)，越值得細(xì)細(xì)品味．作為一線數(shù)學(xué)教師，講透數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性是提高學(xué)生解題能力的根本．