從一道考題的多解看初中數學幾何解題能力的培養

黃江泉

(廣西桂平市南木鎮第一初級中學 537226)

在2019年廣西貴港市中考的數學試題中，有下面這道題目：

已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，將△ABC繞點C順時針方向旋轉得到△A′B′C，記旋轉角為α，當90°<α<180°時，作A′D⊥AC，垂足為D，A′D與B′C交于點E．

(1)如圖1，當∠CA′D=15°時，作∠A′EC的平分線EF交BC于點F．

圖1 圖2

①寫出旋轉角α的度數；

②求證：EA′+EC=EF；

這題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，三角形的三邊關系等知識，綜合性強，難度大，方法靈活，有多種不同解法.

(1)②的思路一：在EF上截取EG=EC，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路二：過C作CG∥A′D交EF于G，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGF≌△CEA′即可.

(1)②的思路三：延長ED到G，使DG=DE，先證△CEG為等邊三角形，再證△CGA′≌△CEF即可.

(2)的思路一：連結A′F，由△CGF≌△CEA′可知CA′=CF，從而可證△A′CF為等邊三角形，進而可證A′E同時平分∠FEB′和∠FA′B′，從而△A′EF≌△A′EB′，于是得B′與F關于A′D對稱，只要求出AB′即可.

(2)的思路二：過A′作A′M⊥B′E，得△A′ME和△A′MB′分別為含有45度和30度角的特殊直角三角形，通過計算證明B′E=EF，進而可得到B′與F關于A′D對稱，只要求出AB′即可.

(1)②的思路一、思路二用到了數學中最常用的截長法，其中思路二用到了“角平分線+平行線”得到的隱含等腰三角形，(1)②的思路三用到了數學中最常用的補短法，(2)的思路一用到了角平分線、全等三角形等基本圖形(模型)，(2)的思路二用到了特殊直角三角形的基本圖形(模型)，并且所有的思路中都用到了角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、全等三角形等基本圖形的判定和性質.通過對本題多種解法的分析不難發現，培養和提高初中生的幾何解題能力要從以下幾方面入手：

一、熟悉幾何基本圖形和基本結論是培養幾何解題能力的前提

幾何基本圖形和基本結論是幾何知識的重要組成部分，是所有幾何解題的前提，角平分線、中線、高、點到直線的距離、動點到兩定點距離之和的最小值、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、垂徑定理、過圓外一點作圓的切線、全等三角形、相似三角形等基本圖形及其結論，既是考試考查的重點，也是所有解題的基本依據，我們要熟練掌握.如：

例1(廣西貴港2016-12)如圖3，ABCD的對角線AC，BD交于點O，CE平分∠BCD交AB于點E，交BD于點F，且∠ABC=60°，AB=2BC，連接OE．下列結論：①∠ACD=30°；②S=AC·BC；③④S△OCF=2S△OEF成立的個數有( ).

圖3 圖4

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

A．2 B．3 C．4 D．5

這些題目表面看起來很復雜，但實質都是考查幾何基本圖形及其結論.例1考的是角平分線、平行四邊形、等邊三角形等圖形的性質，例2考查的是相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質以及正方形的性質．只要掌握相似三角形和全等三角形的基本圖形，問題不難解決

二、理解定義、定理、公理、判定、性質是培養幾何解題能力的基礎

理解定義、定理、公理、判定、性質，就是不僅要熟記定義、定理、公理、判定、性質的結論，還要熟記定義、定理、公理、判定、性質的條件、適用范圍、注意事項等，它是幾何解題的基礎.如:

圖5

本題中，不少考生因沒有在意弧長公式中圓心角的意義，結果將120度直接代入計算，答案當然錯了.

三、善于發現圖中的隱含圖形是培養幾何解題能力的關鍵

隱含圖形是指等腰三角形、等邊三角形、平行四邊形等特殊的圖形在整個圖形中表現出來的一部分，如“角平分線+平行線”隱含有等腰三角形，“中點+垂直”也隱含有等腰三角形，“角平分線+等腰”隱含有垂直平分，三角形含有30度和45度角則隱含可構造特殊直角三角形等等.解題中如果我們能夠充分發現這些隱含圖形，會非常有利于問題的分析和解決.如:

例4(廣西貴港2019-24)如圖6，在矩形ABCD中，以BC邊為直徑作半圓O，OE⊥OA交CD邊于點E，對角線AC與半圓O的另一個交點為P，連接AE．

圖6

(1)求證：AE是半圓O的切線；

(2)若PA=2，PC=4，求AE的長．

本題中，條件出現了“中點+垂直”，隱含有等腰三角形，因而可以通過“延長AO、DC相交于M，或延長EO、AB相交于N”這樣的輔助線，幫助解決問題.

例5(廣西貴港2017-26)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處．

(1)如圖7，若點D是AC中點，連接PC．

圖7 圖8

①寫出BP，BD的長；

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形．

(2)如圖8，若BD=AD，過點P作PH⊥BC交BC的延長線于點H，求PH的長．

本題(2)的關鍵是 “角平分型全等三角形隱含著BD是等腰三角形的高”，從而想到連結AP并延長BD交AP于E，然后過P作PF⊥AC于F即可構造“雙垂直型相似”，利用相似列比例式即可把問題解決.

例6(1)(廣西貴港2015-10)如圖9，已知P是⊙O外一點，Q是⊙O上的動點，線段PQ的中點為M，連接OP，OM．若⊙O的半徑為2，OP=4，則線段OM的最小值是( ).

圖9 圖10

A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

(2)(廣西貴港2017-11)如圖10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM．若BC=2，∠BAC=30°，則線段PM的最大值是( ).

A．4 B．3 C．2 D．1

上述兩題均隱含有兩邊為定長的三角形這樣的隱含圖形，因而問題實際上是“已知兩邊求第三邊的范圍”,這樣利用三角形的三邊關系即可解決.

圖11

本題中隱含兩個最常用模型(圖形)——將軍飲馬模型和點到直線模型，因此，作E關于AC的對稱點F，過F作FM⊥AB，則FM即為所求.

四、掌握基本的幾何變換是培養幾何解題能力的橋梁

幾何變換是平面幾何的重要內容之一，是研究幾何關系的基本方法.平移、旋轉、軸對稱是初中幾何的基本變換，熟練掌握這些變換是培養和提高幾何解題能力的橋梁.

例8(廣西貴港2018-26)如圖12，已知：A、B兩點在直線l的同一側，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交于點P．

圖12 圖13

(1)當P與O重合時(如圖13所示)，設點C是AO的中點，連接BC．求證：四邊形OCBM是正方形；

請直接寫出AB和PB的長．

本題(2)的關鍵是進行平移變換，過B作BC⊥AO于C，即得△ABC∽△PBM，由對應邊成比例即可；(3)的關鍵仍然是利用“雙垂直型相似”列比例式解決，只是要注意不同位置的存在，要分類討論.

例9(廣西貴港2016-26)如圖14，在正方形ABCD內作∠EAF=45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，過點A作AH⊥EF，垂足為H．

圖14 圖15 圖16

(1)如圖15，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG．

①求證：△AGE≌△AFE；

②若BE=2，DF=3，求AH的長．

(2)如圖16，連接BD交AE于點M，交AF于點N．請探究并猜想：線段BM，MN，ND之間有什么數量關系？并說明理由．

本題(2)的關鍵是進行旋轉變換構造全等三角形，將△ABM繞點A逆時針旋轉90°得△ADM′，即可證明△ADM′≌△AMN，M′N=MN，M′D=BM，且△M′DN為直角三角形，故問題順利解決.

五、掌握數學基本方法是培養幾何解題能力的突破口

數學基本方法論是數學解題的突破口，幾何解題更是離不開數學基本方法.幾何變換法、面積法、割補法、截長法、補短法等都是幾何解題中最常用的數學方法.如：

圖17 圖18

(2)(廣西貴港2018-17)如圖18，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，將△ABC繞點B順時針方向旋轉到△A′BC′的位置，此時點A′恰好在CB的延長線上，則圖中陰影部分的面積為____(結果保留π)．

圖19

這些與面積有關的問題，都要用到割補法等數學基本方法.其中(1)還要注意到圖中的隱含圖形——等邊△AOD，才能求出有關的圓心角；(2)要分割成兩個扇形和兩個三角形面積的和與差；(3)用到的是非常典型的平行軸分割的方法以及二次函數最大值的模型.

例11(廣西貴港2019-12)如圖20，E是正方形ABCD的邊AB的中點，點H與B關于CE對稱，EH的延長線與AD交于點F，與CD的延長線交于點N，點P在AD的延長線上，作正方形DPMN，連接CP，記正方形ABCD，DPMN的面積分別為S1，S2，則下列結論錯誤的是( ).

圖20

A．S1+S2=CP2

B．AF=2FD

C．CD=4PD

本例可用反證法的思想，答案A明顯正確，假設B正確，很容易推導出C也正確，即B與C同對同錯，所以只能選D.

六、掌握幾何證明的常見分析方法是培養幾何解題能力的重點

幾何證明的常見分析方法很多，如綜合法、分析法、反證法、枚舉法(窮舉法)、完全歸納法、不完全歸納法……等等，但最常用的方法有綜合法、分析法和分析綜合法.熟練掌握這些常見的分析方法是我們探求解題途徑的重點和關鍵.

分析法是從求證的結論入手，以公理、定理為根據，尋求所必須的條件，再從所需條件出發，一步一步地尋求到所需的條件為已知條件時，命題即得證，這種方法也叫“執果索因”法；而綜合法是從已知條件為出發點，以公理、定理為依據，一步步推導出欲證的結論，這種方法也叫“由因導果”法；分析綜合法將分析法和綜合法結合起來，即先從結論入手看需要什么條件，再從已知出發看可導出什么結論，如果這兩者正好一致，問題即可解決，這種方法也叫“兩頭湊”的方法，通常情況下我們都用這樣的分析方法.如前面例4的(1)：

從結論(求證)入手，要證AE是半圓O的切線，就要過O作OF⊥AE于F，證OF=OB，于是要證△AOF≌△AOB，這就要證∠BAO=∠OAF(E)，進而要證△ABO∽△AOE或△ABO∽△AFO.

這個分析問題的方法就是分析綜合法.

在培養學生幾何解題能力的過程中，除了加強學生對幾何基本圖形和基本結論的熟悉程度，對幾何定義、定理、公理、判定、性質的理解，引導學生善于發現圖中的隱含圖形，掌握好數學基本方法和基本的幾何變換以及常見的分析方法外，還要學會對幾何結論進行分類，掌握幾何難題突破的一般程序等.如對幾何結論，我們可以從線段平行、垂直、相等、不等以及角相等、不等等方面進行分類；而對幾何難題的突破，可從完善圖形(重新畫圖)、標識等量、發現隱含圖形、挖掘圖形關系(全等或相似)等方面入手.

下面通過一個具體例子來體會一下：

例12(包頭2018-25)如圖21，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一個動點．

圖21 圖22 圖23

(1)如圖21，連接BD，O是對角線BD的中點，連接OE．當OE=DE時，求AE的長；

(2)如圖22，連接BE，EC，過點E作EF⊥EC交AB于點F，連接CF，與BE交于點G．當BE平分∠ABC時，求BG的長；

(3)如圖23，連接EC，點H在CD上，將矩形ABCD沿直線EH折疊，折疊后點D落在EC上的點D'處，過點D′作D′N⊥AD于點N，與EH交于點M，且AE=1．

②連接BE，△D′MH與△CBE是否相似？請說明理由．

再看一例：

例13(宜昌2018-23)在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把ΔPBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F.(1)如圖24①，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；(2)如圖24②，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE

圖24

問題(1)的思路比較具體、簡單，是一對“一線三垂直型”全等；(2)中的①只要注意到翻折隱含著角平分線，由“角平分線+平行線”即可；(2)中的 ②相當于要求PC，從何入手？只要注意到圖中含有“一線三垂直”型相似三角形，即可求得EC=20，BE=15，再注意到PG=BP=BF，用“平行”型相似(△CEF∽△CGP)即可求得BP，進而求得PC；(2)中的③則要注意到PG與BF平行且相等，連結FG即可得BPGF為平行四邊形，故GF=BP且∠EFG=∠FBP，所以△GEF∽△EAB，由相似成比例即可解決.

當然，我們強調對數學圖形、數學結論、數學方法和幾何變換的掌握，不是簡單的把它們背下來就可以了，而是要在實際應用中去理解、去體會，學會舉一反三、觸類旁通，才能不斷形成和提高解題的能力.