不規(guī)則波激勵下磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉換裝置的能量捕獲特性研究

席 儒，張海成，陸 曄，徐道臨，吳 博

(1. 湖南大學 機械與運載工程學院，湖南 長沙 410082； 2. 中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082； 3. 湖南海浮科技有限公司，湖南 長沙 410082)

在數次工業(yè)革命的推動下，人類的生產力得到顯著提升的同時，對能源的需求量也在近百年來急劇增加。傳統(tǒng)的不可再生的化石能源如煤、石油、天然氣等在短時間內被過度使用，引發(fā)了一系列的環(huán)境問題如溫室效應、酸雨、霧霾等[1-2]，嚴重威脅了人類的健康與生存。尋求可再生的清潔能源作為化石能源的替代品成為了近年來熱門的研究課題。

海洋中蘊含豐富的能源，波浪能作為其中的一種形式，具有可再生、無污染、儲量巨大等特點，受到了許多能源領域研究學者的關注[3]。自波浪能利用被提出以來，已提出了大量的波浪能轉換裝置，如振蕩水柱式、點吸收式、越浪式、擺式、筏式、點頭鴨式等[4-6]。其中點吸收式波浪能轉換裝置由于其具有結構簡單、易于安裝維護和可靠性較好等優(yōu)點，得到了學者和工程人員的廣泛關注。由振動理論可知，線性點吸收式波浪能轉換裝置在波浪激勵下處于共振狀態(tài)時運動幅值最大，此時的波能捕獲效率最高。然而線性裝置的有效波能捕獲頻帶非常窄，即當波浪激勵頻率稍微偏離裝置固有頻率時，運動幅值明顯降低，導致波能捕獲效率銳減。而海洋中的波浪頻率時刻都在變化，呈現隨機波譜的特征，因此線性裝置在實際海域中的應用因其效率低下存在較大的局限性。

為了提高波能轉換裝置的效率，有學者提出采用主動控制的方法，如相位控制[7]、滑模控制[8]和短期波浪預測模型控制[9]等。相關研究表明，控制方法可以有效的提高波能捕獲效率，但前提是控制裝置需要提前盡可能詳細地預測和分析入射波的波況，一旦控制裝置在分析過程中出現誤差，波能轉換效率將可能急劇降低[10]。其次控制裝置在執(zhí)行過程中需消耗額外的能量、復雜的執(zhí)行機構增加安裝和維護成本，這些都制約了控制方法的應用。

不同于主動控制技術，利用被動的非線性捕獲機制來提高能量轉換效率成為近年來的研究熱點，其中雙穩(wěn)態(tài)機制作為一種典型的非線性機構已應用在不同的能量捕獲系統(tǒng)中。在波浪能捕獲系統(tǒng)中，已有一些學者開展了研究。Zhang等[11]首次將對稱斜彈簧雙穩(wěn)態(tài)機構引入到波浪能轉換裝置中用以提高波能捕獲效率，結果表明該裝置可以有效提高低頻范圍內的波能捕獲效率。采用氣彈簧，TodalShaug等[12]提出了一種“WaveSpring”負剛度機構應用于點吸收式波能捕獲裝置中。實驗研究結果表明，在不規(guī)則波激勵下，安裝該機構的波能轉換裝置的捕獲效率是線性系統(tǒng)的近3倍。除此之外，也有學者提出了磁彈簧[13]、多連桿[14]等不同類型的雙穩(wěn)態(tài)機構用于點吸收式波能轉換裝置。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)勢能曲線示意

雙穩(wěn)態(tài)機構的勢能曲線如圖1所示，由于系統(tǒng)存在兩個穩(wěn)定平衡點和一個不穩(wěn)定平衡點，故系統(tǒng)存在三種可能的運動形式：1) 單 阱小幅運動；2) 阱間復雜運動；3) 雙阱大幅運動。雙阱大幅運動即為所尋求的能量轉換的目標運動狀態(tài)，此時波浪能轉換裝置的捕獲效率最佳。而決定雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的運動形式最重要的參數即為圖1所示的勢壘高度ΔUp和穩(wěn)定平衡點間距z0。只有當系統(tǒng)外激勵大于一定值時，才能越過勢壘進行雙阱大幅運動，此時雙阱間大幅運動的幅值又由穩(wěn)定平衡點的間距決定，即大的平衡點間距對應大的運動響應幅值，因此為了適應不同的外部激勵條件，需要雙穩(wěn)態(tài)機構存在較寬的阱間距離同時勢壘高度較小。然而對于傳統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)裝置來講，通過調整機構參數只能達到單方面的效果，并不能同時降低勢壘高度和拓寬平衡點間距。所以在小幅波浪激勵條件下，雙穩(wěn)態(tài)波能轉換器的效率顯著降低，甚至低于等效線性系統(tǒng)的效率。

文中提出了一種新型磁力雙穩(wěn)態(tài)波能轉換裝置，通過在一對同向充磁的負剛度磁環(huán)基礎上附加一對異向充磁非線性正剛度磁環(huán)，選取合適的結構參數，可達到降低勢壘高度和拓寬平衡點間距的效果，提高點吸收式波浪能轉換裝置的捕獲效率，拓寬裝置應用頻帶，特別是改善在小幅波浪激勵條件下的捕獲效率。

1 動力學模型

為簡化起見，這里研究僅考慮浮子式點吸收波能轉換裝置的垂蕩自由度運動。點吸收式磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉換裝置簡圖如圖2所示，主要由半徑為R的浮球、連桿、磁力雙穩(wěn)態(tài)機構、電動機和支撐架組成。xoz笛卡爾坐標系的坐標原點與浮球的球心重合，其中x軸與浮球靜平衡時的水面重合，z軸豎直向上。

圖2 點吸收式磁力雙穩(wěn)態(tài)波浪能轉換裝置示意

圖3 新型磁力雙穩(wěn)態(tài)機構

1.1 磁力雙穩(wěn)態(tài)機構

如圖3所示，磁力雙穩(wěn)態(tài)機構主要由一對同向充磁的負剛度磁環(huán)和一對異向充磁的正剛度磁環(huán)組成。參數r表示內部磁環(huán)的內徑，δ表示磁環(huán)的磁隙寬度，l表示內外磁環(huán)的厚度，h和h0分別表示負剛度磁環(huán)和正剛度磁環(huán)的高度。考慮垂蕩方向的自由度，磁環(huán)間的軸向作用力函數Fm表達式如下[15]

(1)

(2)

式中：σ=J·n表示磁極表面密度，J和n分別表示磁極化向量和磁體表面單元法向量，μ表示磁導率，Rm=r+l+δ/2表示內部和外部永磁環(huán)的平均半徑。

1.2 動力學方程

基于Cummins方程[16]，建立系統(tǒng)時域動力學方程如下

(3)

式中：m和A∞分別表示浮子的質量和其在無窮大頻率處的附加質量。由浮子靜力平衡可知m=2ρπR3/3，其中ρ為海水密度。對于僅考慮垂蕩自由度的浮子可知A∞=0.5 m[17]。其中靜水恢復力Fr=-ksz(t)，對于在垂蕩位移較小的條件下可知靜水恢復剛度滿足ks=ρgπR2，g為重力加速度。

系統(tǒng)的控制方程中的卷積積分項表示波浪的輻射力，表征了流體的記憶效應。其中脈沖響應函數hz(t)可以通過浮子的輻射阻尼系數Bz(ω)求出

(4)

動力學方程等號右邊f(xié)ir(t)表示不規(guī)則波激勵下的波浪激勵力。

1.3 不規(guī)則波模型

在波浪研究中，通常采用不規(guī)則波模型來模擬復雜隨機的真實海浪。在滿足波浪譜的分布規(guī)則前提下，使用無限多個不同的規(guī)則波疊加來實現不規(guī)則波模型的效果。文中計算所采用的波浪譜為Jonswap譜[18]，其譜密度表達式如下

(5)

式中：Hs表示有效波高，ωp表示譜峰頻率，Tp=2π/ωp表示譜峰周期。譜峰因子γ設定為3.3，當激勵頻率低于譜峰頻率即ω≤ωp，譜峰形狀參數χ設定為0.07，大于激勵頻率時χ為0.09。菲利普參數αJ表達式如下

(6)

為了通過疊加法獲得不規(guī)則波的時間序列，首先需要將Jonswap譜離散成無限個不同振幅不同頻率的規(guī)則波。第i個規(guī)則波成分的頻率ωi可以表示如下

ωi=ω0+i·Δω

(7)

式中：ω0表示計算最低頻率，Δω表示頻率間隔。

第i個規(guī)則波成分的幅值Aωi可以通過如下表達式計算

(8)

浮體所受到的不規(guī)則波作用力fir(t)可以采用無限個不同頻率和不同隨機相位的規(guī)則波成分疊加來表示

(9)

(10)

為了開展數值仿真分析，同時考慮波浪的有效頻段，選取了N個規(guī)則波成分來近似模擬上述的無限個規(guī)則波成分疊加的效果。數值計算中設定N=40，最低初始頻率為ω0=0.04 rad/s，頻率間隔為Δω=0.04 rad/s。

1.4 狀態(tài)空間模型

直接計算系統(tǒng)的動力學方程將會由于其中存在的卷積積分項導致運算量非常大，給數值分析帶來不便。而根據Taghipour的研究發(fā)現[19]，使用狀態(tài)空間模型方法替代處理卷積積分項將比直接計算后者提高了將近8倍的計算速度。

對于一個動力學系統(tǒng)，其激勵u(t)與響應y(t)之間的關系可以用以下三種方式來表示

(11)

(12)

(13)

第一種為帶高階導數的常微分方程(11)，第二種為卷積積分方程(12)，第三種狀態(tài)空間模型表達式(13)。以上三種方式對時域內的動力學系統(tǒng)進行了等價描述[19]。

對比方程(11)與方程(12)，可得

hz(t)=CeAtB

(14)

對比方程(13)與方程(14)，可得

(15)

(16)

(17)

對方程(11)進行拉普拉斯變換可得

(18)

考慮傳遞函數H(s)，并對脈沖響應函數hz(t)進行傅里葉變換可得

(19)

式中：j為虛數單位。對于動力學方程(3)而言，垂蕩速度與脈沖響應函數是該動力學系統(tǒng)的輸入，因此利用狀態(tài)空間模型方法近似替代卷積積分項后的表達式如下

(20)

為了確定系數A,B,C，參考了Taghipour所提出的方法[19]，即基于浮子的水動力系數，采用頻域識別方法。通過傅里葉變換，可以將脈沖響應函數hz(t)寫成頻域內浮子的附加質量Az(ω)和輻射阻尼Bz(ω)的函數，表達式如下

(21)

(22)

式中：s=jω，且系數θ=[pn-1,pn-2,……,p1,qn-1,qn-2,……,q0]可以通過使用最小二乘法求解獲得，再根據表達式即可確定系數A,B,C。

1.5 波浪能捕獲寬度

計算求解動力學方程(3)后即可獲得系統(tǒng)的動力學響應，波浪能捕獲裝置單位時間內捕獲的波浪能Er可表示為

(23)

其中，T0表示時間間隔。根據線性波浪理論[16]，對于規(guī)則波而言，單位寬度入射波波前單位長度的入射波浪能可表示為

(24)

對于不規(guī)則波，利用譜分析法可得其入射波浪能為

(25)

在波浪能轉換特性研究過程中，捕獲寬度常被作為評價波浪能轉換裝置轉換效率的參考值，它表示波浪能轉換裝置吸收能量與入射波波浪能的比值[21]。表達式如下

(26)

1.6 勢能函數

設動力學方程(3)中的靜水恢復力Fr和磁力Fm的合力為Frz=-Fr-Fm，則系統(tǒng)在垂蕩方向上的勢能函數Up表達式如下

(27)

其中，函數ψ為式(2)中函數φ的原函數。函數ψ的表達式如下

(28)

2 數值計算結果分析

在分析過程中，選取了R,ρ,g作為特征量對各參數進行無量綱化處理

其中，選取計算的模型參數為R=5 m,ρ=1 025 kg/m3,g=9.81 m/s2。結合Zhang等[22]的研究工作，發(fā)現磁環(huán)參數中相比于內磁環(huán)內徑r*、磁環(huán)厚度l*以及磁隙寬度δ*，磁環(huán)高度h*對軸向磁力影響最大。因此在其研究基礎上選取計算的磁力雙穩(wěn)態(tài)機構結構參數如表1所示。

表1 雙穩(wěn)態(tài)機構磁環(huán)參數表

在利用狀態(tài)空間模型實現浮球輻射力卷積替代過程中，采用了四階的狀態(tài)空間模型近似替代，如圖4所示，可知替代結果與文獻近似解析方法求解的水動力系數結果二者擬合效果良好，驗證了狀態(tài)空間模型的可靠性。

圖4 浮球水動力系數的卷積替代結果驗證

圖5 不同結構參數下磁力雙穩(wěn)態(tài)裝置的勢能曲線變化

圖6 雙穩(wěn)態(tài)機構勢壘高度與穩(wěn)定平衡點間距隨結構參數變化云圖

圖7 不同裝置的捕獲寬度隨阻尼系數變化曲線和勢能曲線

圖8 捕獲寬度隨結構參數變化云圖

圖9 捕獲寬度隨不同波浪和結構參數的變化曲線

圖10 三種不同裝置捕獲寬度隨波況參數變化云圖

3 結 語

提出了一種可用于波浪能轉換裝置的新型磁力雙穩(wěn)態(tài)機構，該機構主要由兩對不同充磁方向的磁環(huán)串聯組成，可通過調整磁環(huán)參數來實現改變系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)特征的效果。數值分析中采用Jonswap波浪譜來模擬真實海域下的不規(guī)則波，分析了不同不規(guī)則波激勵下波浪能轉換裝置的波能捕獲效率隨結構參數的變化規(guī)律。結果表明，相比于線性波能轉換裝置，新型的磁力雙穩(wěn)態(tài)裝置能有效提高波能轉換效率，拓寬轉換頻帶，尤其可顯著提高在小幅波浪激勵下的波能效率。本研究對于波浪能的工程應用具有重要的理論借鑒意義。