數(shù)列求和常用方法綜述

◇ 甘肅 任 艷

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,高考中對這部分知識的考查方法多樣,解答題難度也較高,例如數(shù)列的求和問題需要一定解題技巧,本文對常用的數(shù)列求和方法進(jìn)行介紹．

1 公式法

一些常見數(shù)列的求和公式如下．

例1已知,求x＋x2＋x3＋…＋xn的值．

解析

2 分組求和法

有些數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列．若將此類數(shù)列適當(dāng)拆分,能變成若干個等差數(shù)列和等比數(shù)列,那么,可以分別對這些等差數(shù)列、等比數(shù)列求和后再相加,從而求得原數(shù)列的前n項和,這種方法稱為分組求和法．

例2已知數(shù)列{an},an＝n2－n,求前n項和Sn．

解析

3 倒序相加法

公差為d的等差數(shù)列,可用兩種方式表示Sn,

由①＋②,得

例3求S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．

解析

因為

由①＋②,得 2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89,所以

4 裂項相消法

裂項相消,即先“裂項”再“相消”．根據(jù)所求數(shù)列通項公式的特點,將數(shù)列的通項拆成兩項之差,即an＝f(n＋1)－f(n),然后累加使中間的一些項可以相互抵消,從而達(dá)到求和的目的．

例4已知an＝2n＋1,令,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

解析