淺談數學教學中大學生數學思維的培養

袁金銘 于書靖 朱 丹

在科技飛速發展的今天，每個人都應該學會思考并善于思考，思考的方式不同，視角也會不同。在應用于人類生產生活的各種思考方式中，數學思維作為“思維的體操”，一直占據著主導地位，為人類的思考方式做出了重要貢獻。因此，在大學數學教學中，傳授數學知識不僅是唯一目的，培養學生的數學思維，并使學生善于運用數學思維，更是新時代下高等數學教育追求的重要目標。

1 數學思維的內涵

思維是人腦對客觀事物屬性與事物之間聯系的規律性的概括的、間接的反映，思維的過程實際上就是對信息的接收，加工整合，儲備和表達的過程。擁有清晰的思維模式，可以讓我們在面對一個錯綜復雜的問題時，快速梳理脈絡結構，準確概括提煉重點；想要表達某一個觀點、想法時，思路清晰語言流暢，角度新穎溝通有效，可以使我們思考的深度和廣度呈螺旋式上升，提高我們思考能力的同時，也優化思考的路徑。

數學思維是以探索數學規律為目的的理性認識過程，它以嚴謹的數學符號和抽象的數學語言作為載體，深入研究數學知識中的數量關系、空間形式和結構關系，是思考世間萬物的一種獨特方式。它主要包括探索性思維、擴展性思維和創造性思維等等，如果我們把數學比作一棵參天大樹，那么數學思維就是這棵樹的龐大根系，埋藏于土壤中，為數學提供著不可或缺的營養源泉。和其他思維一樣，數學思維也具有間接性、概括性等一般特征。但也有其特殊性，主要表現在數學語言的簡練準確和數學形式的抽象化、符號化、結構化傾向，這也是我們常說的數學之美。

2 培養數學思維的重要性

很多大學生畢業之后都會有一種體會，在工作中真正用到學過的數學概念和定理其實并不多，有些甚至早已淡忘，但所受過的數學訓練，掌握的數學思維方法，將其內化為自身的思維方式，卻一直印在腦海中，發揮著重要作用。其實，數學教育的核心目的，除了為解決問題提供工具外，就是鍛煉學生的思維能力。

良好的數學思維不僅是學好數學的重要保證，也能啟發和磨煉學生的終身學習技能，如邏輯思維能力、創新思維能力、對問題的概括性和整體性的思考能力，而且這種能力的提升將會有效遷移到其他工程技術類課程的學習中去，提高他們將來在實際工作中的能力和水平。為此，充分研究如何培養強化學生的數學思維能力，并在教學過程中加以有效滲透，對于提高數學類課程的教學質量，提升學生的綜合素質具有重要意義。

此外，心理學研究表明，學生掌握正確的思維方法需要老師有意識地加強引導和有效培養，否則，即便到了高年級和生產生活的實踐中，多數人對思維方法還會缺乏足夠的重視，更不能靈活地加以運用。因此思維的培養，一直是高等教育的追求。

3 數學思維在課程中的體現

逆向思維，是指當運用常規思路和方法無法解決問題時，讓思維從對立的方向出發和延展，采取反向思維求解問題的方法。這種思維在高等數學課程中隨處可見，例如，導數與不定積分的相互轉換，無窮級數和函數的計算方法，命題與逆否命題的真假判定，反證法等，這些知識點的掌握都需要逆向思維來加強學生的理解，由于“有限與無限”“連續與間斷”“局部與整體”“靜止與運動”等這些對立統一規律普遍存在于自然科學的各個領域中，每一種矛盾關系就對應一種逆向思維的方式，在應用正向思維求解無果時，利用逆向思維從相反方向出發往往能發現一片新天地，因此應重視培養學生的逆向思維，提高學生的思維能力。

發散思維，是指從已有信息出發，從不同方向、不同層面呈擴散輻射式思考問題的思維方式，這種思維在數學活動中發揮著極其重要的作用，比如教學中的一題多解：在計算球冠面積時，除了可以利用微元法思想通過定積分計算出面積外，還可以利用直角坐標系下和極坐標系下二重積分法進行計算，為培養思維的創造性，克服思維定式，還可以把球冠看成是曲體圓錐體的底面，利用三重積分得到所要的面積。與此類似的還有一題多變、一式多變、一題多問等等，這樣安排不僅可以使學生將基礎知識融會貫通起來，還能促使學生從單一的思維方式中解放出來，有效地發展不同角度的多向思維，提高數學素養。

抽象思維，是指從客觀事物的具體形象和規律中發現共性，從而尋找事物本質特征的思維。高等數學課程中的很多定義和定理都是從實例出發，例如在引入極限的概念時，剖析古語“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，研究劉徽的割圓術，從而抽象出數列極限的直觀概念；在介紹導數的概念之前，通過觀察變速直線運動物體的瞬時速度，曲線上某一點的切線斜率，拋開具體內容，抽象出相同的數量關系：增量比的極限，從而得出導數的概念，與此類似的還有定積分、二重積分、曲線積分、曲面積分等等，這樣就能大大降低學生理解抽象性概念和定理的難度。

類比思維，是指本質不同的兩類事物的某些屬性相同或相似，通過比較，將一種掌握或熟悉的事物的知識推移到另一類事物上去的推理手段，在數學教學中，常見的有，類比變量取值范圍、類比定義式的結構、類比公式引發猜想等，比如講授多元函數的連續、二重極限、偏導數、全微分時，很多重要概念、公式和定理的條件、結論和幾何意義都可以和一元函數中的連續、極限、導數、微分作類比。通過類比，學生在學習新知識時，由被動變為主動，從已熟悉的舊知識引出新的知識，由“熟”解“生”，在欣然接受、輕松掌握數學知識的同時，也逐漸培養了他們的類比思維。

4 如何促進數學思維形成

4.1 在課前準備方面，提高教師的思維意識和素養是基礎前提

教師是培養學生數學思維的樞紐和領路人，發揮著不可替代的作用。但在現實教學中，只有為數不多的教師能擔此重任。這與教師自身數學思維的缺乏有關，但更多的是與教師的思維培養意識和素養相關。教育者先受教育，教師不僅要拓寬自身的知識面，具備扎實的專業學養，而且要透徹分析教材，善于挖掘與運用課程中的思維元素，提高自己的思維意識；然后了解分析學生的心理特點、興趣愛好、認知水平，因材施教，以學生的眼界設計教學思路，為學生提供有利于思維發展的“錨”；最后，預測學生可能的思維活動和問題，根據學生的實時反饋不斷調整改進，加強反思與總結，做到融會貫通、觸類旁通。此外，教師還要注意在課堂上的授課規范，在課堂上，教師只能有意識地傳遞顯性知識，而隱性知識只能通過教師的身體來感知和模仿，其自身展現出的一舉一動、一字一句都會對學生產生巨大的感染力，而嚴格的行為規范往往能對培養學員良好的數學思維起到事半功倍的效果，這個過程和風細雨、潛移默化。

4.2 在教學實施方面，重視數學思維的引導和培養是動力源泉

第一，俗話說：“興趣是最好的老師”。國內外眾多優秀數學家都曾表示，興趣是維持他們探究數學的強大動力。在教學過程中，教師可通過適當講解數學史，結合所學專業內容和生活中的相關實例，加強應用環節教學，化解學生疑難，建立融洽的師生關系等方法培育并保持學生學習數學的興趣，鼓勵學生積極思維。

第二，教師應根據學生不同的數學能力和水平，通過由淺入深、先正后反等方式，創設合適問題情境，給出不同的題型，以便給予不同層次學生思考、聯想、創新的思維空間，并重視培養學生討論與分析問題的積極性，在課堂上鼓勵學生同桌交流、小組討論、同學評論等，當學生遇到思維困難或認知錯誤時，教師可以耐心地從不同層次引導學生進行辯證分析，梳理思路，發揮學生主體地位，激發學生的成就動機，訓練學生思維技巧。

第三，數學是一個有機整體，各章節之間相互交錯，存在著緊密的內在聯系，在課堂上，教師除了要講明本節課的知識外，還應重視內容的橫向聯系與縱向聯系，使學生具有一個經緯交織的知識網絡，并引導學生有針對性地進行反思和總結，夯實薄弱環節，優化認知結構。

4.3 在課后拓展方面，加強數學思維的鞏固和運用是重要保障

課堂永遠只是有效學習的一個環節而不是全部，數學思維不是僅憑課堂上教師講解的內容和方式就可以形成，要想讓學生內化不同的思維方式，還要在課后的應用環節進行加強鞏固，關鍵是要形成一種運用數學思維解決問題的意識和學習風氣。數學建模是搭建理論與實踐之間的橋梁，它將數學知識與豐富多彩的現實生活緊密聯系起來，為學生提供了一個鍛煉數學思維的有效方式。因此，教師除了布置書面作業外，還應鼓勵同學積極參與數學建模實踐，在這一過程中，學生通過把錯綜復雜、隨處可見的實際問題抽象簡化為數學模型，然后利用各種理論和方法求解并將結果應用到實際中進行檢驗和修正，無形中就加強了數學思維的鞏固和運用。除此之外，庚子年春，舉國投入網絡在線教育中，高校師生、大小企業在云端進行形式多樣的溝通交流。在大數據的時代背景下，教師應充分借助互聯網等媒體技術，引進微課、翻轉課堂等現代化的教學手段，精選優質網絡教學資源，拓展學生數學思維培養的空間，使學生的學習不受時間和空間的限制，讓線上資源的直觀性和形象化使枯燥的數學知識更加趣味化，教學更有活力，最終實現綜合效益最大化。

5 結束語

數學思維凝聚著數學家們的思考問題方法和思維創造，這種思維方式符合學生認知成長的訴求，學生通過對生活數學的探索、對數學活動的感知、對數學問題的研究，逐漸學會運用其中蘊含的數學思維去更好地認識世界，學會自我反思和自我發展，最終達到教是為了不教的效果，為崗位實踐和個人的創新發展打下良好基礎。