做數學：學科育人方式的實踐創新*

董林偉 石樹偉

(1．江蘇省教育科學規劃領導小組辦公室 210013；2．江蘇省揚州市廣陵區教師發展中心 225006)

改革開放后，我國義務教育從基本普及逐漸走向優質均衡，為了讓更多的孩子喜歡數學、學好數學，基礎教育階段的數學教育逐漸從“精英數學”向“大眾數學”轉變．基于數學的嚴謹性，現代數學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，“大眾數學”觀下的數學教學過程應當反其道而行之，給學生創造直觀思維的機會，給學生的“悟”留有充分的時間和空間：雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應當是有具體背景的；雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應當是直觀的；雖然邏輯的基礎是基于公理的，但思維的過程應當是歸納的[1]．世紀之交開始的新課程改革對數學教育不斷提出更高的目標要求，從過去的雙基目標到三維目標、“四基四能”，再到現在的數學核心素養，這些目標的達成僅僅依賴教師的講授是不行的，更主要的是需要學生親自參與其中，需要學生的獨立思考和深刻感悟，在發展能力的同時，品格和觀念也得到相應的發展.“做數學”就成為數學教學的應然選擇．

1 “做數學”的內涵特征

“做數學”起源于上世紀中后葉美國科學學科為改變傳統的以傳授為主的教學方式而實施的“Hands-on”(動手做)學習計劃，后逐步在美國、法國科學教育界得到推廣．上世紀九十年代先在我國幼兒園和小學的科學教育中引進嘗試[2]，后被引入中小學數學教育．

許多數學教師對于“做數學”的認識停留在對“Hands-on”(動手做)字面意義理解的階段，片面的認為“做數學”僅是動手操作的一些活動．某雜志曾經刊登過一個小學數學加法交換律的“做數學”案例：活動一讓學生相互交換位置，但沒有讓學生感悟得到人數不變的結論；活動二讓學生看動畫：兔子和鴨子交換任務，兔子摸螺螄，鴨子拔青草，仍然沒有讓學生感悟其中的不變性；活動三讓學生用柄很長的勺子喝水，自己喝不到，唯有互相幫助，相互用勺子喂水，但始終只有交換，沒有讓學生感悟到不變的規律．因此，“做數學”除了動手做，還要動腦想，“做數學”做的對象是數學，主體是學習者，要通過做，建立與已有數學知識和經驗的密切聯系，引發數學思考和自主探究，感悟理解數學規律，揭示數學本質.

“做數學”強調的是從實際生活中取材，引導學生注意觀察周圍的事物，鼓勵學生自己提出問題；引導學生自己去探索問題的答案，教師不是直接給出問題的答案，而是設計操作、實驗、實踐等活動，讓學生親身經歷概念、規律的形成過程，通過動作思維和邏輯思維感悟知識發生過程、理解知識結果，學生獲得的除了結果性數學知識，更多的是過程性知識，包括數學的基本思想、基本活動經驗、發現提出問題、分析解決問題的能力和數學學科素養．

“做數學”是學生運用材料和工具，在動手動腦相協同的過程中，通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，理解數學知識、探究數學規律、解決問題的一種數學學習方式．“做數學”具有以下顯著特征：

1.1 主體性與交互性

主體性即“做數學”的學習主體是學生．教育的終端是學生，知識、技能、能力、情感的獲得，最終都要依靠學生自己的內化，因此“做數學”必須明確學生主體．當然，強調學生主動操作與發現的同時并不否認或削弱教師的主導作用，正好相反，教師主導作用的發揮就體現在確保學生的主體性，它對教師提出了更高的能力要求[2]．好的“做數學”活動，應是學生主體地位和教師主導作用的和諧統一．一方面，學生主體地位的真正落實，依賴于教師主導作用的有效發揮；另一方面，有效發揮教師主導作用的標志，是學生能夠真正成為學習的主體，得到全面的發展．

交互性強調“做數學”的過程中學生間的交互合作與經驗共享，即學生個體進行意義建構的同時，還需注重學生之間的合作、交流與經驗的共享．這種學生間的交互合作與經驗共享的過程，既有利于學生充分展示與表現自我，使他們因自己富有創意的做法或觀點得到他人的認同而產生強烈的心理滿足感與成就感；又有利于不同意見或見解在相互碰撞中產生新的思想火花，激發學生的創造性思維，以進一步修正或完善某些尚有偏頗的觀點；還有利于學生在互動的過程中學會競爭與合作，增強團隊互助的精神[2]．

1.2 情境性與實踐性

情境性強調“做數學”的學習素材與現實生活的聯系．“學習中的建構過程總是與知識賴以產生意義的背景及環境關聯在一起的，即知識與學習總是具有情境性的”．以學生熟悉的生活或數學現實為背景開展“做數學”活動，旨在引發學生的共鳴，讓學生產生自主探索的需求，從而主動參與學習，培養學生的問題意識，使學生樂學、好學，培養學生積極的數學信念．情境性一方面體現在數學學習資源的選擇利用應具有現實性，它強調活動所需設備與材料的可取性與簡易性，鼓勵學生從周圍的日常生活中選取唾手可得的簡易材料[2]；另一方面體現在數學知識的探究與應用過程也要結合實際情境，探究過程強調讓學生親自觀察各種生活中的真實現象，或在現實情境中進行多種可能的操作、實驗與實踐活動，應用過程注重讓學生綜合運用知識以創造性思維解決各類現實情境中的問題，體現現實的重要性．

實踐性強調“做數學”的過程中問題探究與實踐活動的開展，讓學生圍繞著某個具體問題的解決，親自開展一系列的動手操作、實驗、觀察、記錄、探究等實踐活動[2]．“做數學”活動學習主體不是直接從書本上或教師講授中獲取知識，而是主動探究解決問題、感悟數學基本思想、積累數學基本活經驗的操作實踐性學習，有利于激發學習主體的求知欲．值得注意的是，這時的實踐活動不單純是簡單、機械的動手操作，而是同時伴有深刻的觀察、想象、假設、推理、探究等高層次的思維活動；也不是僅憑學生的抽象思考、演算推理就能完成的，而需借助一定的操作與實踐活動．

1.3 開放性與教育性

開放性即“做數學”的形式、內容、結果等都是開放、多元的．“做數學”活動注重學生的體驗和實踐，所以“做”的形式是多樣的，“做”的內容是開放的，“做”的結果又是動態、可誤的數學知識．無論哪種形式的“做數學”都要容許學生“犯錯”，允許不同的想法出現，引發大家的思考，發展學生的創新思維和學習能力，在學生的交流合作中發現數學本質，建構新知．

教育性即“做數學”的目的除了通過活動過程得到知識、思想和方法，還有活動過程中所蘊含的素養、能力、情感態度和價值觀．“做數學”的過程僅是載體，學生操作與實踐活動等行為的最終目的不只是滿足于完成某一任務或獲取某些數學原理與知識，而更注重培養學生探究與應用數學的各種能力、認識現實世界的一般方法以及隨之而來的對數學價值的體悟認識和積極的情感態度等，從而促使學生的全面和諧發展．

2 “做數學”的實踐模型

“做數學”的教學實踐模型可以從實施途徑和目標指向兩個維度進行建構．

2.1 從實施途徑看“做數學”的實踐模型

從實施途徑看，“做數學”的實踐模型包括操作體驗、數學實驗、綜合實踐三類．

操作體驗類指通過操作、觀察、感悟、理解等實踐活動使學生獲得大量的感性認識，同時提高學生的學習興趣，激發學生求知欲的一類“做數學”活動．如通過紙上圓規畫圓、黑板上短繩粉筆畫圓、操場上皮尺畫圓讓學生感悟圓“一中同長”的特性和“圓心—半徑”兩要素，促進學生對圓的概念的理解；通過拋硬幣、摸球、轉轉盤等游戲活動讓學生感悟隨機的意義及可能性的大小，體會隨著試驗次數的增加事件發生的頻率逐漸趨于穩定的規律．

數學實驗類指學生在教師指導下，利用一定的工具(實物或軟件)，通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程建構數學概念、驗證數學結論、探索數學規律、解決數學問題的一類“做數學”活動．如學生通過具體運算歸納出完全平方公式后，可以安排拼圖實驗，引導學生通過建立圖形的面積關系來驗證完全平方公式，進而形成公式的幾何直觀．

綜合實踐類指以實際問題為載體，學生自主參與并綜合運用數學知識和方法解決實際問題的一類“做數學”活動．如由生活中常見的各種各樣的規則或不規則地磚鋪設圖案，引導學生研究平面鑲嵌問題；通過親歷實際的統計活動，綜合運用統計知識研究確定某一區域范圍內初中畢業男生引體向上項目的測試評價標準．

2.2 從目標指向看“做數學”的實踐模型

從目標指向看，“做數學”的實踐模型包括驗證理解、探索發現、應用實踐三類．

驗證理解類指學生通過操作實踐等活動幫助驗證、理解某些抽象概念和原理的一類“做數學”活動．如通過翻牌(或茶杯)游戲幫助學生驗證、理解“不講道理”的有理數乘法符號法則；利用直觀形象的多米諾骨牌游戲幫助學生理解抽象的數學歸納法．

探索發現類指學生通過操作實驗、觀察猜想、推理論證、合作交流等探索活動主動建構數學知識的一類“做數學”活動，類似于荷蘭數學家弗賴登塔爾提出的“再創造”．如學生通過折疊等腰三角形紙片自主探索等腰三角形的性質；利用轉筆探索發現多邊形的內角和和外角和．

應用實踐類指學生通過實踐操作等活動應用數學知識解決實際問題，發展學生綜合運用知識的實踐能力，培養學生積極數學信念的一類“做數學”活動，如學生通過月歷游戲，經歷用數學符號建立方程表示實際問題中的數量關系和變化規律、求出結果并討論結果意義的過程，切實體會用方程解決問題的優越性．

3 “做數學”的育人價值

“做數學”所具有的主體性、交互性、情境性、實踐性、開放性、教育性等特征，充分說明“做數學”具有發展學生核心素養從而實現數學學科育人的價值．

3.1 “做數學”有利于數學關鍵能力的提升

“做數學”讓抽象的數學知識變得形象直觀，內隱的數學思維變得可視化，枯燥的技能訓練變得有趣、有意義，有利于基礎知識、基本技能目標的達成，特別是難點知識、重要技能的掌握；“做數學”不是結果性知識的直接灌輸，而是一個讓學生動手操作、動腦思考的主動學習的過程，在此過程中學生主動發現和提出問題、分析和解決問題，為學生感悟基本思想、積累基本活動經驗提供了時空和機會．“做數學”有利于“四基四能”目標的全面實現，而“四基四能”則是培養學生數學關鍵能力的沃土，是發展學生數學關鍵能力的有效載體[3]．

“做數學”還為數學關鍵能力的培養提供了必要的現實情境或數學情境、科學情境，提供了發現和提出問題、分析和解決問題的機會．“做數學”通過操作體驗、數學實驗、綜合實踐等活動，從直觀、想象到發現、猜想，最后得到驗證，從感性到理性掌握數學概念和命題，使學生親歷數學知識的建構過程；或通過演算、推導發現數學規律，解決實際問題；或通過親歷統計活動過程感悟隨機現象，作出正確推斷和決策，這些都有利于學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等關鍵能力的提升．

3.2 “做數學”有利于必備思維品格的培養

中國學生發展核心素養以培養“全面發展的人”為核心，包括文化基礎、自主發展、社會參與三個方面，綜合表現為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創新等六大素養，“做數學”在發展上述素養品格方面有力地體現了數學學科的責任擔當，特別是在學生必備思維品格的培養方面發揮了數學作為一門思維學科應有的作用．

“做數學”是一個動手操作與動腦思考緊密結合、證偽與證實和諧統一、主動探究與意志努力相互促進的數學學習過程，有利于培養學生的理性思維能力、批判質疑的意識和勇于探究的精神，從而促進科學精神素養的培育；有利于培養學生樂學善學、勤于反思的優良學習品格和現代公民必須具備的信息意識，從而促進學會學習素養的培育；有利于培養學生的動手實踐意識、問題解決能力和技術運用水平，從而促進實踐創新素養的培育[3]．

3.3 “做數學”有利于正確價值觀念的形成

“做數學”從具身體驗性出發，動腦“做”輔之以動手操作實驗，手腦協調，在信息的輸入輸出和存儲過程中，突出并延長體驗環節，通過學習者的感受、覺知及“做中學”等不同的方式，將傳統的視聽學習轉變為操作性的體驗過程，將“脖子以上的學習”發展遷移為全身心融合的學習，有利于改善學生的學習體驗，增強學生對學習的興趣．

“做數學”為學生創設了熟悉的現實情境或數學情境、科學情境，為學生提供了發現和提出問題、分析和解決問題的機會，有利于學生充分感悟到數學來源于生活又服務于生活，充分領略到數學的科學價值、應用價值和文化價值，增強學生學習數學的動力和學好數學的信心．“做數學”可以改變學生學習的數學知識形態，化抽象為形象，化結果為過程，化靜態為動態；“做數學”可以改善學生的數學學習方式，變被動接受為主動探究，變統一化學習為個性化學習，變“離身”思辨為具身體驗，變“半腦”學習為全腦學習，從而有利于改變學生數學抽象難學的刻板印象，獲得數學學習的成就感，增強繼續學好數學的信念[3]．

聯合國教科文組織在上個世紀九十年代提出了“四個學會”，其中之一就是學會共處，即學會共同生活，學會與他人共同工作．類似的，世界經合組織及美國、歐盟的學生發展核心素養框架也都共同強調了“能在異質社會團體中互動”的素養，要求學生學會與他人合作．學生在“做數學”的過程中，與老師、同學的合作交流是必不可少的，甚至有時還需要與社會、企業、行業專家打交道．因此，“做數學”還有利于學生合作意識和能力的培養，增強對合作交流重要性的認識．