基于DIMA平臺的高中生“四能”培養策略研究

摘 要：文章問題來源于一道常見錯題，為了提高學生的四能，文章引入“否定屬性策略”，結合具體問題進行問題提出。同時，基于DIMA平臺，將圖形計算器作為探究的輔助工具，幫助學生更直觀地觀察函數圖像。

關鍵詞：DIMA平臺;問題提出;否定屬性策略

《普通高中數學課程標準》（2017年版，2020年修訂）提出，數學教育需關注立德樹人，數學學科的立德樹人體現在學生獲得“四基”、提高“四能”的過程中。“四能”指的是學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。然而，教學實踐中，筆者發現多數學生采用的是以解題為導向，以題海為策略的學習方式，四能中的“提出問題”尤為薄弱。因此，筆者借用1969年美國學者Brown和Walter為了提出問題而創設的否定屬性策略，結合例題展開研究，以期為學生提供一種提出問題的方法，為學生探究問題創設條件。

DIMA平臺是指以計算機和計算器為支撐，擁有智能軟件和豐富課件，連接信息網絡，能夠開展現代信息技術的數字化數學活動的數學教學軟硬件設備系統。常見的數學教學工具有TI圖形計算器、GeoGebra和幾何畫板等，本研究使用TI-nspire CAS圖形計算器作為學生學習數學、探究數學、創新數學的載體，以下簡稱為TI。

一、 問題描述

已知函數f（x）=x+1x，

①判斷函數的奇偶性;②判斷函數在（0，+∞）的單調性;③求函數在（0，+∞）的值域。

二、 問題解決

（一）問題探索

1. 做圖猜想

運用TI的圖像分析功能，結合函數圖像，學生很容易猜測出該函數的奇偶性、單調性和值域。

2. 表格猜想

運用TI的表格功能，通過函數的列表法，學生結合x與y的對應關系，可以猜測得出：①奇偶性。根據特殊點的對應關系，猜測為奇函數。②單調性。從特殊兩點的函數值著手。③值域。直接讀圖，猜想結論。

3. 結論驗證

根據TI的直觀顯示，學生對于問題已經初步建立了“形”的理解，很容易猜測出結論，然后用代數方法去驗證。根據定義，易證得f（x）是奇函數、在（0，1）上是嚴格減函數，在（1，+∞）上是嚴格增函數。又因為x>0，有x+1x≥2，當且僅當x=1時，等號成立，因此f（x）在（0，+∞）上的值域是[2，+∞）。

（二）解題反思

變式：求x+1x的取值范圍。學生易得結論[2，+∞），若是對于基本不等式應用條件掌握扎實，或者把問題轉化為函數f（x）=x+1x的值域，通過數形結合都能避免錯誤。因此，不妨引導學生通過解題反思，提出問題，明確問題本源，尋找探究點。

否定屬性法步驟如下：確定問題、屬性分析、否定屬性、問題設定、問題分析。以此題為例，結合這種策略提出問題：

1. 確定問題

以f（x）=x+1x為背景，提出問題。

2. 屬性分析

屬性1：y=x和y=1x的指數是整數1，這兩個函數結構對稱，故只討論正數冪的情況。

屬性2：y=x和y=1x的指數都相同。

屬性3：y=x和y=1x的系數是正數1。

屬性4：函數f（x）是一次函數和反比例函數的和函數。

3. 否定屬性

屬性1：指數相同，都不是1;指數相同，都不是整數。

屬性2：指數不都相同。

屬性3：系數不都是正數。

屬性4：不是一次函數和反比例函數的和函數。

4. 問題設定

（屬性1）1：若函數y=x和y=1x指數相同，都是正奇數，即研究函數f（x）=xn+1xn（n是正奇數）的圖像與性質。

（屬性1）2：若函數y=x和y=1x指數相同，都是正偶數，即研究函數f（x）=xn+1xn（n是正偶數）的圖像與性質。

（屬性1）3：若函數y=x和y=1x指數相同，且都是正有理數，即研究函數f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互質的正整數）的圖像與性質。

（屬性2）：若函數y=x和y=1x指數是不相同的整數，即研究函數f（x）=xa+1xb（a≠b，a，b是正整數）的圖像與性質。

（屬性3）：若函數y=x和y=1x系數不都為正，即研究函數f（x）=ax+bx（ab≠0）的圖像與性質。

（屬性4）：研究函數f（x）=g（x）+kg（x）（k是常數）的圖像與性質。

（三）問題分析

根據以上問題設定，整理為以下的探究方向。每個探究過程的步驟是：作圖——猜想——證明，證明方法與f（x）=x+1x類似，因此省略。

1. 含參的齊次正整數冪

（1）含參的齊次正奇數冪

如圖1，利用游標功能，研究函數y1=x+1x，y2=x3+1x3，y3=x5+1x5，……的圖像，并猜想f（x）=xn+1xn（n是正奇數）的性質：

圖像性質

定義域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域（-∞，-2]∪[2，+∞）

奇偶性奇函數

單調性（-∞，-1），（1，+∞）上是嚴格增函數（-1，0），（0，1）上是嚴格減函數

備注無零點，恒過定點（-1，-2），（1，2）

（2）含參的齊次正偶數冪

類比（1）的步驟和方法，利用游標，研究函數y1=x2+1x2，y2=x4+1x4，y3=x6+1x6，……的圖像，發現 f（x）=xn+1xn（n是正偶數）類似y1=x2+1x2的圖像與性質。

2. 含參的齊次正有理數冪

研究函數f（x）=xn+1xn（n=pq，p，q是互質的正整數）的圖像和性質。

（1）p奇q偶

研究函數y1=x12+1x12，y2=x14+1x14，y3=x32+1x32……的圖像，猜想性質：①定義域為（0，+∞）;②值域為[2，+∞）;③非奇非偶函數;④（1，+∞）上是嚴格增函數，（0，1）上是嚴格減函數;⑤無零點，恒過定點（1，2）。

（2）p奇q奇

研究函數y1=x13+1x13，y2=x15+1x15，y3=x53+1x53，……的圖像，類似函數f（x）=x+1x的圖像和性質。

（3）p偶q奇

研究函數y1=x23+1x23，y2=x25+1x25，y3=x43+1x43……的圖像，類似函數f（x）=x2+1x2的圖像和性質。

3. 含參的正整數冪

不妨選取較有代表性，高考試題出現過的函數f（x）=x2+1x作為研究對象，如圖2：

圖像性質

定義域（-∞，0）∪（0，+∞）

值域R

奇偶性非奇非偶函數

單調性312，+∞上是嚴格增函數，（-∞，0），0，312上是嚴格減函數

證明：函數無最值。x>0，f（x）=x2+1x=x2+12x+12x≥3·3x2·12x·12x=3314，當且僅當x2=12x，即x=312時，等號成立，在（-∞，0）上是嚴格減函數。

推廣1：根據f（x）=x2+1x與g（x）=x2-1x關于y軸對稱，得到g（x）=x2-1x的圖像。

推廣2：通過游標功能，觀察函數f（x）=x2+ax的圖像變化，猜想函數性質。

4. 含參的系數

函數f（x）=ax+bx，ab≠0，分四類：a>0，b>0;a<0，b<0;a>0，b<0;a<0，b>0。因此，問題轉化為研究函數f（x）=x+1x，g（x）=-x-1x，h（x）=x-1x，e（x）=-x+1x。另外，根據函數f（x）與g（x）關于y軸對稱，得到函數g（x）的圖像;根據函數h（x）與e（x）關于y軸對稱，得到函數e（x）的圖像，故只需討論函數h（x）=x-1x。

5. 復合函數

求x2+3x2+2的取值范圍，學生的易錯點為：x2+3x2+2=x2+2+1x2+2≥2，這也是沒有把基本不等式“一正、二定、三等”的應用前提掌握扎實。不妨把這個問題轉化為求函數y=x2+2+1x2+2的值域。通過TI的圖像分析和表格功能，不難發現結論出現了矛盾。隨后，運用換元法，可以求解此函數的值域。

推廣：研究函數f（x）=sinx+1sinx，g（x）=3x+13x，h（x）=log3x+1log3x，e（x）=|x|+1|x|的圖像與性質。

（四）應用實踐

研究函數f（x）=x2+ax（牛頓三叉函數），g（x）=lgx2+1|x|（x≠0）的圖像和性質。

三、 研究感悟

1994年，著名學者Silver指出，問題提出是探究學習的特征，是改進問題解決的方法，是明確數學理解的橋梁。“否定屬性策略”，能幫助學生擺脫提不出問題的窘境，開拓學生探究的思路，走出“題海刷題”學數學的模式，從而培養學生的“四能”。基于DIMA平臺的TI工具，直觀形象，在經歷觀察、猜想和證明的探究過程中，學生提升了數學核心素養。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版本2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]王苗.利用否定屬性策略的問題提出[J].數學教學，2018（5）：15-18.

[3]朱偉衛.基于DIMA平臺的高中數學實驗課程建設與實施[J].教育傳播與技術，2020（1）：57-63.

[4]汪曉勤，柳笛.使用否定屬性策略的問題提出[J].數學教學通訊，2008，17（4）：26-29.

作者簡介：

陸雅靜，上海市，上海師范大學附屬中學。