新高考數學應用能力考查研究*

趙 軒 任子朝 翟嘉祺

(教育部考試中心 100084)

《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》(下稱《實施意見》)中明確指出，要“著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力”[1]，為高考內容改革指明了發展方向.為落實《實施意見》的要求，近幾年的高考數學試題中，通過多種形式加強了對于應用性的考查，并取得了積極的成效.2020年新高考全國卷(供山東、海南兩省使用的新高考試卷)中提高了應用型試題的比例，2021年1月在八省新高考測試中更是在考查方式和試題呈現形式上有所創新.其變化創新之處主要體現為，一是突出對邏輯推理、信息獲取和加工、數學閱讀等方面的考查，強調對于思維能力和表達能力的培養；二是通過設置真實的問題情境，考查學生發現問題、分析和解決實際問題的能力，促進學生真懂會用；三是通過新穎的題目和設問方式的設計，增強試題的開放性和探究性，引導學生拓寬思維廣度，主動分析思考，促進創新應用能力的提高.本文將基于高考評價體系的理論框架，進一步梳理和總結這些舉措，并對新高考關于應用能力的考查路徑及方法提出建議.

1 數學應用能力是數學教育的本質要求

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課程標準》)中提出，要“強調數學與生活以及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力”[2].“數學應用”是一個比較寬泛的概念，不應簡單地將數學應用等同于數學知識在日常生活中的應用.除了生活實際中的應用之外，數學作為工具學科，和其他學科有著緊密的聯系，在自然科學乃至人文社會科學中都有廣闊的交叉應用領域，這種理論研究情境下的應用也是數學應用的重要組成部分.事實上，《課程標準》中規定的高中課程內容的每個模塊都能夠和其他學科建立起關聯，因此在中學階段打好數學基礎就是在為未來學習和工作中的數學應用筑牢根基.從更廣義的角度來說，數學學科內部知識之間的關聯與交互可以看作數學應用的一種延伸，這里我們談的數學學科不僅限于中學數學，更包括未來學習中高等數學的各個分支學科.數學的學習具有很強的連續性，前階段學習所掌握的知識與能力是后階段學習必備的基礎，對于新知識學習的效果、新概念掌握的程度往往受到以前積累的數學基礎的密切影響，因此理解新信息、解決新問題等情境在這種廣義的視角下也可以視為數學知識、能力和思想方法在數學學科的內部應用.

《課程標準》中“用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界”的課程理念集中體現了中學階段數學應用能力的重要表現.數學科高考落實應用性的考查要求，就要引導學生通過數學學習，在日常生活中以及學習過程中，能夠發現身邊事物或者新的課程學習情境與數學的關系，針對這些關聯提出問題，并能夠將這些問題抽象成為可以解釋的數學模型，用數學語言進行描述和表達，進而體會和認識數學廣闊的應用領域，真正做到學懂數學、會用數學.

2 高考評價體系中應用性考查要求的內涵

按照國家新一輪高考內容改革的要求，教育部考試中心研制完成了中國高考評價體系.高考評價體系遵循新時代黨的教育方針，基于高等教育人才選拔要求和國家高中課程標準，體現各類高校對人才的共性需求，銜接高中育人方式改革，確立了“一核”“四層”“四翼”的整體框架，是高考命題的理論基礎[3].其中，“四翼”是“基礎性、綜合性、應用性、創新性”的考查要求.應用性作為重要的考查要求，強調高考要突出學以致用的導向，在知識、能力以及學科素養的培養過程中，關注國家社會發展、生產生活實際與學科的聯系，避免考試內容與生活實踐脫節，讓學生充分體會到所學知識的應用價值.

高考評價體系中將問題情境作為高考的考查載體[4]，以此來承載考試內容，實現考查要求.高考數學科將試題的問題情境分為三類：課程學習情境，探索創新情境和社會實踐情境.課程學習情境主要關注學生通過學習掌握的知識基礎，包括數學概念、原理、運算、邏輯推理等問題情境.探索創新情境主要關注學科知識的深入探索與思想方法的創新，包括數學探究、數學創新、數學實驗等問題情境.社會實踐情境主要關注數學與其他學科和社會生活實際的關聯，包括生活生產實際、科學研究等問題情境.高考數學科的應用性主要指的是數學知識與其他學科知識、生活生產實際等方面的外部聯系，強調數學在其他領域的應用價值.這三種情境都可以作為應用性的有效考查載體，通過建立數學模型等方式，建立數學知識、思想方法等與理論問題或實際問題之間的聯系，將數學作為解決問題的工具.

3 新高考數學應用的考查路徑與方法研究

數學在人類社會發展的過程中起到了極其重要的作用，我們身邊的各種社會經濟、生產活動都與數學有著密不可分的聯系.在當今的信息化社會，數學實力已經影響著一個國家的綜合實力[5]，勞動者數學素養的提高會對經濟發展起到重要的促進作用.站在立德樹人的角度來看，數學素養對于個人的未來發展有很重要的影響，重視數學素養的數學教育在培養創新意識和創造力方面起到獨特而關鍵的作用.高考數學科重視對于數學素養的培養，數學應用作為重要的數學素養，是高考考查的重點內容.近年來，高考數學試題進一步加強對于數學應用的考查，取得了良好的效果.

3.1 強調對思維和表達能力的考查

3.1.1 綜合考查數學思維

思維能力在數學學習中起到最本質、最核心的作用，對于思維能力的考查是高考數學科考查目標中的重中之重.思維能力包括觀察、猜想、類比、抽象、概括、證明等推理能力，還包括信息獲取、加工等認知能力，創新意識、創新方法、創新能力也是思維能力的高層次表現，這些能力都是影響學生個人終身發展的關鍵能力.在理論聯系實際，結合具體實踐中的問題綜合運用數學知識的過程中，這些關鍵能力起到至關重要的作用.為此，新高考數學將繼續貫徹“多考一些想的、少考一些算的”這一原則和理念，著重在數學應用和探究等方面突出體現對思維能力的考查[6]，從根本上引導學生提升數學應用的素養.

例如2018年全國I卷理科數學第20題和2019年全國I卷理科數學第21題，兩題都是有實際背景的應用型試題，將概率統計知識分別與函數導數、數列的內容相結合，綜合考查學生的思維能力，尤其是不同知識模塊交叉運用的能力.這兩個題目都有一定難度，所涉及的數學模型比較復雜，思維量較大，考查的知識范圍較廣，涉及到數學學科內部各知識模塊之間的綜合與應用，對培養學生的數學應用意識與數學思維能力起到了很好的促進作用.再如2021年八省聯考第16題以物理測量誤差為背景，將物理問題與其中蘊含的數學原理相結合，綜合考查正態分布的相關知識與問題分析能力，強調數學思維跨學科的運用，對學生拓寬思維廣度具有良好的導向作用.

3.1.2 注重考查數學表達

《課程標準》中“用數學語言表達世界”的課程理念體現在數學應用的各個方面，數學表達能力不僅包括能用口頭語言或書面語言溝通交流的基本能力，還包括能通過數學語言表達數學思維與現實世界的重要能力.能夠準確、嚴謹地用數學語言表達數學思想，描述現實事物，是數學應用能力的重要組成部分.數學科高考落實應用性的考查要求，就要引導學生通過數學學習，在日常生活中以及學習過程中，能夠發現身邊事物或者新的課程學習情境與數學的關系，針對這些關聯提出問題，并能夠將這些問題抽象成為可以解釋的數學模型，用數學語言進行描述和表達.

近年高考試題中，通過對數學模型的分析、解釋、描述等形式，不斷強化對于數學表達能力的考查.例如2018年全國II卷文、理科數學第18題，給出了關于同一組數據的兩種數學模型描述，要求通過計算和分析來比較哪一種模型更符合實際，預測更有效.2019年全國I卷理科數學第21題要求通過計算結果解釋題目中給出的試驗方案的合理性.2020年全國II卷文、理科數學第18題要求根據實際情況判斷抽樣方式的合理性.這些題目的共同點在于要通過運用數學知識能力對問題進行分析，進而利用分析結果來解釋和回答問題.不同于傳統的數學證明或計算問題，這類題目的考查重點在于運用數學語言進行表達和說明，通過這種形式很好地體現了新課標“用數學語言表達世界”的教學理念.

3.2 試題情境的真實化

高考評價體系在應用性的考查要求中強調“真懂會用”，這就要求高考試題情境要更加貼近學生生活實際，讓學生體會到身邊的數學，認識到所學知識是有用的.在試題中通過使用真實背景，真實統計數據等方法，能夠有效提升學生對于題目真實性的感受度，進而有助于學生了解數學工具在解決實際問題時的使用方法和適用范圍，對提升數學建模素養，加強數學應用能力有著積極的引導作用.

在高考數學科一些涉及實際生活背景的試題中，往往采用真實數據和真實情境，使題目更加真實可信.例如2018年全國II卷文、理科數學第18題中給出的環境基礎設施投資額數據來源于統計局公布的真實數據；2020年新高考II卷(供海南省使用的新高考全國卷)第9題中的復工復產指數數據來源于地方政府公布的稅電復工復產指數.2020年高考數學科關注時事，“戰疫”科學入題，全國III卷文、理科數學第4題和新高考I卷(供山東省使用的新高考全國卷)第6題都是有關新冠肺炎傳播的數學模型，試題素材取自于我國學者基于實際數據的研究成果，具有完全真實的情境，相關參數真實可靠.

3.3 試題形式的動態調整

2020年10月，中共中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》中明確指出，要“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題’現象”.在近年的數學科高考中，采取多種形式對試題形式進行了調整.在實際問題中，解決問題的方式方法經常是多樣的，答案與結論也沒有一定之規.因此在面臨實際問題時，思維的靈活性、多樣性往往起到重要的作用.為使應用型問題更加貼合實際，高考數學近年在增強題目開放性與探究性上做出了一些探索，對中學教學中培養學生應用意識、提高學生數學應用能力等方面產生了積極的影響.同時，新高考中將進一步加強對命題技術和評分量表的研究，在進行試題形式創新、提高解答主觀性的同時，也要保證構建的科學性和可操作性，以保障試題的區分和考查效果.

例如2018年全國III卷文、理科數學第18題要求根據統計圖表判斷哪種生產方式效率高，2020年全國II卷文、理科數學第18題要求根據實際情況給出一種合理的抽樣方法并說明理由，這類題目的答案往往沒有一定之規，學生需要根據自己對于知識的理解對問題進行說明，這實際上考查了更為高階的知識理解、運用與遷移的能力.2021年八省聯考第20題以大興機場為背景，將高等數學中的著名定理遷移到中學知識內容的范圍，著重強調學生對新概念的理解能力，拓展了立體幾何問題的考查方式與形式，打破常規套路，引導學生注重數學思維和數學理解能力的培養.

此外，2020年新高考全國卷在題型上進行了新的探索，引入了結構不良試題，這是新高考全國卷增強題目開放性與探究性的一個重要舉措.結構不良試題的開放程度更高，要求學生在題目所給的多個條件中選取一個，或是補充條件，亦或去掉冗余條件進行作答，不同的選擇可能會得出不同的結論.學生在解答這類問題時，能夠根據自身的知識儲備，選取適合自己的形式和方法作答.從功能上看，這類問題不僅能夠考查思維的多樣性和靈活性，而且有利于引導學生從多角度來思考問題.

4 結語

高考作為素質教育的關鍵環節，強調培養學生支撐未來學習、工作的關鍵能力.學科知識應用能力是聯接高中所學知識和未來學習、工作的關鍵能力，在高考內容中應得到充分的體現.高考評價體系中明確提出將應用性作為重要的考查要求，數學科以高考評價體系為指導，越來越重視對于數學應用的考查和引導.應用型試題作為高考數學科應用性考查的最主要方式，在近年的高考題，尤其是新高考全國卷中所占比重有所增加，其考查方式與呈現形式也愈加多樣，這些改革舉措取得了良好的成效，產生了積極的影響.今后，隨著新高考的逐步落地，數學科應不斷研究探索，通過創新試題情境設置等手段更好實現應用性的考查要求，為落實立德樹人的教育根本任務，實現高考考查的核心功能提供更加科學的評價手段.