有界區域內相互作用的Forchheimer-Darcy流體方程組解的結構穩定性

石金誠，李遠飛

（廣州華商學院數據科學學院，廣東廣州511300）

0 引 言

近年來，偏微分方程解的結構穩定性引起廣泛關注。傳統穩定性主要研究解對初始數據的穩定性，而結構穩定性主要研究模型本身的穩定性。有關結構穩定性的本質，可參考文獻［1-2］中介紹的連續流體力學模型的結構穩定性。在模型建立過程中，誤差時刻存在，因此，探究方程本身結構系數的細微變化是否會導致解的急劇變化意義重大。

關于結構穩定性的研究主要集中在多孔介質中的 Brinkman，Darcy，Forchheimer方程組，文獻［3-13］考慮了區域中只有以上3個方程組中一個方程組的情況。文獻［14-16］研究了其他方程的結構穩定性。

文獻［17］給出了Brinkman方程組和Darcy方程組在同一界面相互作用的結構穩定性結果，研究了方程組的解對界面邊界系數α1的連續依賴性。在此基礎上，LIU等［18-19］獲得一些新結果。如果將文獻［17］中的Brinkman方程組改為Forchheimer方程組，由于Forchheimer方程組中不包含Δu項，所以獲得梯度的界的難度將增加，因此，如何處理非線性項|u|ui是本研究的難點。

本文的目的是研究在多孔介質流中相互作用的Forchheimer-Darcy方程組的解對Forchheimer系數的收斂性。平面Z=x3=0的適當部分L是Ω1和Ω2中的共同邊界，其中，Ω1是x3＞ 0的區域，而Ω2是x3＜0的區域，即邊界 L 是 ?Ω1和 ?Ω2的共同接觸面。一方面，假設黏性流體在Ω1中是緩慢流動的，所以對應Forchheimer方程組。另一方面，假設黏性流體在Ω2中在多孔介質中滿足Darcy方程組。Ω1和Ω2的共同邊界用L表示，其余邊界部分用Γ1和Γ2表示，因此，?Ω1=Γ1∪L和?Ω2=Γ2∪L。

首先，在 Ω1×[0，τ]中，討論 Forchheimer流體方程組：

其中，ui，p，T分別為速度、壓強和溫度，gi(x)為重力向量函數，假設 gi滿足|g|≤ G1，|?g|≤ G2，Δ 為拉普拉斯算子，k為熱擴散系數，Ω1為R3中有界單連通的星形區域，τ為給定的且0≤τ＜∞的數。“，”表示求偏導，“，i” 表示對 xi求偏導，如，重復指標表示求和，如

在 Ω2×[0，τ]中，討論 Darcy流體方程組：

其中，vi，q，S分別為速度、壓強和溫度，kS為熱擴散系數，Ω2為R3中有界單連通的星形區域，邊界條件為

最后，在界面上假設L×{t＞0}滿足

1 先驗界

首先，估計關于T和S的界。方程組(1)第3式兩邊同乘 2rT2r-1(r＞ 1)，且在 Ω1×[0，t]上積分，可得

2 收斂性