分類討論思想的分類標準與應用

[摘要]分類討論思想作為重要的數學思想，是處理數學問題的主要方法之一.在初中數學教學中滲透分類討論思想能幫助學生更好地學習數學知識，拓展數學思維，提高解題能力.文章以數學概念、運算、位置關系與開放性條件為分類標準，具體談談分類討論思想在教學中的應用

[關鍵詞]分類討論;數學思想;標準

作者簡介：包致鵬（1978-），本科學歷，二級教師，從事中學數學教學工作

分類討論思想是指將待解決的問題以一定的要求或特點進行分類，并根據分類情況將一個個小問題逐個解決的數學思想.這種思想將貫穿于整個初中數學學習過程中，主要以化整為零或積零為整的方式存在，它既是一種數學思想，又是解決問題的一種常用方法.因此，深入分析分類討論思想的價值，準確理解分類討論思想的實際應用方法具有較強的實際意義.筆者將結合執教過程中的一些實例，對分類討論的標準和應用談一些粗淺的認識.

以概念作為分類標準

概念是學好數學的核心，有些數學概念的定義本身就涉及分類討論思想，對于此類概念的學習應順應其定義的分類原則，進行分類討論.例如有理數的概念、絕對值、一元二次方程根的判別式ax2+bx+c=0（a≠0）等.所有的數學概念均有自己的本質與內涵，學生在解題中常會涉及各種數學概念，若問題無法直接解決時，可考慮根據問題中涉及的概念進行分類討論，同時要特別注意概念中所強調的限制條件.

例1如果al=3，V62=5，a+b=

分析：根據ⅴ√2=b，可將問題轉化為絕對值進行討論，根據絕對值的概念，教師可提出“本題需要分幾類進行討論？”有學生認為要分別從取a、b的正負號這個思路進行分類，而題目是求a+b的結果，就沒有必要從分別取a、b的正負號進行分類討論，只要從a與b是否同號來考慮.

解：①若a與b是同號，則a+b=ab3+5=8

②若a與b是異號，則a+b=b

因此，本題的解有8或2兩種情況.由此可知，二次根式問題可首先考慮將問題轉化為與絕對值有關的問題來解決，由絕對值的概念逐步進行分類討論，再根據題意將問題逐一突破.分類討論的過程中要注意思路清晰且只能遵循一個標準嚴格進行分類，不可出現重復或遺漏的現象，特別注意概念中的限制條件.只有將分類討論思想夯實于最基礎的概念中，才能在解決問題時達到化整為零、化繁為簡的目的

以運算作為分類標準

運算是學好數學的基礎，運算決定了一個學生的數學學習能力.處于青春期的學生，運算能力與身心發展速度樣都處于飛速發展期.初中數學的有理數、整式、分式、根式、因式分解或解方程等的運算內容十分豐富，這也給學生的運算能力提出了更高的要求，用分類討論思想夯實運算的基礎是每個學生所面臨和待解決的實際問題.只有從思想上和行動上都高度重視運算的重要性，學會用分類討論思想解決運算問題，才能真正學好數學這門基礎學科.例2解關于x的不等式：av+3》2t+a.分析：根據題意進行移項可將不等式轉化成：（a-2）x》a-3，若直接計算出就過于草率了.從不等式的性質出發，本題應根據a-2》0，u-2《0和a-2=0分別進行運算，而這三種情況下的解是不一樣的.

解：①若a-2》0，則a》2，根據題意可求出此不等式的解為x》

②若a-2《0，則a《2，根據題意，可求出此不等式的解為x3）若a-2=0，則（a-2而O》-1，因此不等式的解為所有實數.

不少學生解此不等式時直接計算出x》這個答案，顯然是忽略了不等式的性質，考慮不周全導致漏解.由此可見，數學運算講究的是周密與嚴謹，解不等式或其他運算時需考慮全面，不能忽略掉任何可能存在的情況.而在以運算作為分類討論標準時也應注意適用的范圍及一些特定條件，如不等式兩邊同時進行運算時要注意正負號的問題，0不可為除數等.只有在掌握運算規則的基礎上進行嚴謹的分類運算，才能實現運算能力的可持續發展.

以位置作為分類標準

圖形與位置問題是數學中常遇到的，也是不少學生的弱點.其實，只要弄清楚圖形中涉及的線、面之間的位置關系，考慮到多種可能性，如線和面、面和面或線和線之間的位置關系，在逐對照中不遺漏地分類討論，那么，解決圖形與位置的關系的問題將更加簡單.尤其是一些形狀或圖形位置不確定的幾何問題，更適合運用分類的方法進行討論

例3已知∠BAC是⊙O中BC所對的圓周角，∠BOC為圓心角.求證∠BOC=2∠BAC.

分析：要證明圓周角的定理需要根據圓心的位置（分別在圓周角的內、外部或邊上）進行分類討論.圓心的位置在圓周角的邊上是比較容易理解的，要解決圓心在圓周角的內、外部，可作過圓周角頂點的直徑證明圓心在圓周角的一條邊上，問題則迎刀而解.

證明：①如圖1所示，當圓心O位于∠BAC的一邊時，此時點A，0，B在一條直線上

根據已知條件可知OA與OB是⊙O的半徑，根據等邊對等角的定理可證∠BAC=∠ACO，根據外角定理可證∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC.

②如圖2所示，當圓心O位于∠BAC的內部，將A0連接并延長，交0于點D.根據題意可知OA=OB=OC（半徑），根據等邊對等角的定理可∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO，根據三角形外角和定理可證∠BOC=∠BOD+∠COD=2（∠BAD+∠CAD）=2∠BAC.

③如圖3所示，圓心の位于∠BAC的外部，連接OA，OB，并延長AO交⊙O于點D根據題意可知OA=OB=OC（半徑），由等腰三角形的性質可知∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO，根據外角和定理可證∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD，∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD，因此∠BOC=∠DOC-∠BOD=2（∠CAD∠BAD）=2∠BAC.

此證明過程讓圓周角的定理逐漸清晰，此定理的證明是根據圖形的點和線的位置關系分類分析問題的過程，此過程反映了典型的以位置關系為分類標準的數學思想的運用情況.根據圖形中點、線、面的關系分類討論相應的關系，讓復雜的問題簡單化、條理化明朗化，這種分類討論思想的運用能深化學生對幾何圖形的證明能力，強化所學知識的同時獲得相應的分類討論數學思想

以條件作為分類標準

創新能力體現了一個民族的靈魂所在.尤其是在以推進素質教育為背景的現代化教育理念的指導下，為了拓展學生的思維，培養學生對數學的敏感性及創新意識，編者或出題者常會編擬些條件不完備或答案不唯一的試題，此類問題也有多種解決辦法.學生若將思維禁錮于傳統的條件完備且結論唯一而確定的解題模式，則會出現漏解或解題不完整的現象.鑒于此，分類討論思想的運用是完整解決此類問題的重要方法.

例4A，B兩地的距離是30千米，若甲和乙分別同時從A、B兩地出發相向而行，出發3小時后甲、乙之間的距離是3千米，又行2小時后，甲與B地所剩下的距離是乙與A地剩下距離的2倍，分別求出甲和乙的速度

分析：本題屬于開放性的行程問題，題干中給的已知條件存在兩種可能，因此需以條件為分類討論標準，分兩種情況進行思考.第一種情況是3小時后甲和乙并沒有相遇，他們之間是面對面地存在著3千米的距離;第二種情況是3小時后甲和乙已經相遇過了，他們之間是背對背地存在著3千米的距離.

解：①3h后甲和乙并沒有相遇，假設甲速為xkm/h，乙速為ykm/h，則3x+3y=30-3

甲速為4km/h，乙速

30-5x=2（30-5y）.

為5km/h

23h后甲和乙已相遇過，假設甲速為xkmh，乙速為ykm/h，則3x+3y=30+3，

甲速為kmh，乙30-5x=2（30-5y）.速為-km/h

部分學生遇到此題就想當然地認為甲、乙二人尚未相遇，只解出一種答案，而忽略了甲、乙二人相遇后繼續行走的情況.此類題目屬于條件開放題，主要在于考查學生的思維敏捷度與思考問題的全面性.在教師的分析與引導下將問題的條件進行分類討論，能全面地解決問題，學生在條件開放性的問題中打開思考問題的角度，拓寬思維的寬度，提高思維敏捷度的同時形成了良好的創新意識.

總之，分類討論是解決數學問題常用的一種數學思想，一般需要分類討論的問題都具有綜合性強、對邏輯要求高、具備一定探索性等特征，這類問題對訓練學生的思維能力和培養學生的創新意識具有不可替代的重要作用.因此，在教學中教師應不失時機地抓住每個分類討論的機會，引導學生根據數學事物的不同領域進行分類討論，在不斷地實踐、研究與探索中提高解題能力，促進數學思想的形成，從而有效地提高數學核心素養.