使用最小二乘迭代相移方法測量透明元件*

李涇渭，辛 青，郁 杰，侯昌倫

(杭州電子科技大學 電子信息學院，浙江 杭州 310000)

0 引言

光學元件面形最主要的檢測方法是相移干涉法，在傳統(tǒng)情況下，被檢測的光學元件只有一個光滑表面，使用傳統(tǒng)的相移干涉算法，能檢測到高精度的光學元件面形[1-2]。但是，當傳統(tǒng)的相移干涉算法檢測前后兩個表面都光滑的光學元件時，由于被測元件前后兩個表面都會產(chǎn)生反射光，所形成的干涉圖像由多表面干涉形成，傳統(tǒng)的相移干涉無法分離各自的干涉條紋，故無法測得此時的光學元件的面形。

目前常用的消除多表面干涉的方法是使用折射率匹配的消光漆或凡士林涂抹在被測光學元件的后表面，抑制后表面的反射，或者使用多模激光器[3]使后表面的反射光與測試光不相干。但是前者方法需要接觸測試面，可能導致其面形遭到破壞；后者方法使用的實驗裝置過于復雜，其受環(huán)境影響較大，其結(jié)果不夠精確。TSURUTA T等學者使用白光干涉儀測量多表面面形[4]，此后其他作者也使用了白光干涉測量法[5-6]，此方法可以使多個表面引起的干涉條紋交替分離，由分離的干涉條紋可以測量出測試元件的面形現(xiàn)狀。但是，由于此測量方法使用白光LED作為光源，其相干長度允許范圍小于2 μm，并且，當測試樣品的厚度大于1 mm時，由于透射光的光程差的零位置隨每個波長不同而不同，測量精度會降低。此外，徐建程等提出了一種單幅三表面干涉條紋空域傅里葉分析方法[7]，此方法基于多表面干涉時每個面反射率不同，在頻譜域中各個面的反射條紋將被分離，但是需要引入空間載波且精度較低。

使用波長調(diào)諧干涉儀[8-10]，可以解決上述問題。如果波長調(diào)諧干涉儀的光源波長根據(jù)時間線性變化，其與干涉光束的光程差成比例，當掃描時的波長變化小于1 nm時，其表面面形將以納米精度確定[11-13]。由于使用單色光作為光源，干涉圖像由不同表面形成的干涉條紋組成，為了在干涉圖像中正確地提取特定干涉信號的相位，需要使用一個特殊的相移算法。本文基于最小二乘擬合算法，使用最小二乘迭代的方法對多表面干涉圖進行分析，并使用窗函數(shù)對不同表面的干涉圖進行分離。

1 原理

1.1 多表面干涉原理

圖1為用泰曼格林干涉儀測量透明板的干涉條紋圖。如圖所示，波長可調(diào)諧的激光器首先經(jīng)過一塊準直透鏡將光束準直，由準直透鏡發(fā)出的平行光進入到分光鏡中，反光鏡將激光分成兩束，一束激光射向參考面，另一束激光射向測試面，這兩束激光由于反射便再次進入分光鏡中，并產(chǎn)生干涉。最后將干涉光透過凸透鏡，將其會聚至CCD，由CCD采集干涉條紋。

由于被測面是透明板，當激光射向透明板時，其前表面與后表面都會反射激光。這兩束光與參考面反射回的光束，均存在一定的相位差，因此三束光兩兩之間會產(chǎn)生干涉，換而言之，參考光與前表面的光束，參考光與后表面的光束，前表面的光束后表面的光束都會產(chǎn)生干涉。最終產(chǎn)生的干涉條紋將由這三種不同的干涉疊加而成。

假設(shè)參考面為面 1，為理想平面，其相位分布為 0，測試面的前表面為面2，后表面為面3，這三個面反射的光都會進入CCD，形成多表面干涉圖。面1與面2的光形成的干涉圖為I1，則I1的表達式為：

式中a1(x，y)表示干涉條紋的背景，b1(x，y)為干涉條紋的調(diào)制度，λ表示激光的初始波長，L(x，y)為兩個面之間的距離，即為干涉腔長。面 1、面 3與面2、面 3都會產(chǎn)生如式(1)所示的雙光束干涉。

圖1 泰曼格林干涉儀示意圖

1.2 相移算法

相移算法有很多種，如特征多項式法[14]，它基于算法和多項式之間的一對一對應的關(guān)系，推導出滿足如何要求的算法，直到任意算法，在使用此方法時需要使用的樣本數(shù)太大；平均方法[15]，此方法通過相位偏導公式，減小系統(tǒng)的誤差；輔助函數(shù)的加法[16-17]，該方法可以用于具有周期性但并不一定是正弦相位的測量系統(tǒng)，但是此算法的誤差略大；聯(lián)立線性方程的方法[18-19]，適用于相移校準器不準確的情況下，消除非正線特性的影響；擴展平均方法[20]，此算法可以消除相移誤校準和檢測器的非線性誤差，但是對相移圖的幀數(shù)要求過高；遞歸方法[21]對于不同的誤差源不敏感；最小二乘擬合算法[9]可以在較短的時間內(nèi)計算出面形，但是當出現(xiàn)誤差時，其精度不高。上述算法大多都用于雙光束的干涉，存在相應的優(yōu)點和缺點。本文使用的最小二乘迭代算法是在最小二乘擬合算法的基礎(chǔ)上實現(xiàn)的，彌補了最小二乘法對誤差的不敏感。

當激光的波長改變了m次后，即激光的波長由λ變?yōu)?λ-Δλm，則第m次的干涉條紋 I1m可表示為：

將式(2)的三角函數(shù)中的式子展開為：

CCD中的干涉條紋表示為：

式中t表示干涉條紋強度的理論值，i表示第i幅雙表面干涉條紋，Am表示背景值。其干涉條紋的第(x，y)個像素的最小二乘誤差表示為：

式中 Im(x，y)表示實際得到的干涉條紋強度。假設(shè) θ1，m已知，式(6)可改寫為：

式 中 a=Am，b=bmcosφ1，c=bmsinφ1，d=bmcosφ2，e=bmsinφ2，f=bmcosφ3，g=bmsinφ3，根據(jù)最小二乘原理，若要使其誤差最小，則其偏導為0，根據(jù)其偏導求解各個未知量，可以將其改寫為矩陣方程求解，其矩陣方程為：

矩陣中各個量的表示為：

矩陣中各個量的表示為：

式中k表示迭代次數(shù)。此時得到的相位分布即為最終值。

2 仿真實驗與分析

2.1 仿真三表面干涉條紋

模擬得到的三表面面形為：

式中x和y的范圍為0至512，其單位為像素。根據(jù)上式看得到模擬的面形如圖 2所示，其中圖 2(a)為 φ1所對應的面形，圖 2(b)為 φ2所對應的面形，圖 2(c)為 φ3所對應的面形。其三表面所得到的最終干涉條紋如圖3所示。

2.2 使用最小二乘迭代算法求其面形

本次仿真使用7幅多表面干涉條紋作為原始數(shù)據(jù)，對其進行表面面形的恢復。對多表面干涉條紋圖使用漢明窗作為窗函數(shù)，窗函數(shù)如圖4(a)所示，此窗函數(shù)可以減小旁瓣對算法的影響，有效分離不同的干涉條紋。圖4(b)為沒有加窗函數(shù)時干涉條紋的頻譜值，如圖所示，此頻譜圖旁瓣較大，對運算的結(jié)果存在較大的誤差。圖4(c)為加窗函數(shù)時的頻譜圖，如圖所示，此頻譜圖的旁瓣被窗函數(shù)所削減，其旁瓣的值趨向于0。

最終得到的面形與原始面形進行對比，發(fā)現(xiàn)其相位提取誤差為：PV值與RMS值誤差均小于0.006λ。并且由次算法得到的面形與原始面形分布大致一樣。

2.3 對比仿真

如使用的相移算法為最小二乘算法，即不加入迭代過程，其最終的面形圖如圖7、圖8所示。圖7為最小二乘法得到的前后表面的面形圖，從圖中可以看出其面形圖與迭代算法得到的面形差異不大，但是PV值和原始面形差異較大。此算法得到的面形PV值誤差小于0.03λ，RMS值誤差小于0.008λ。

圖2 仿真三表面面形圖

使用單幅干涉圖，利用傅里葉變換測得的前后表面面形[22]如圖8所示。從圖中可以看出，利用傅里葉變換得到的面形圖其邊緣位置誤差較大，整體面形與原始圖對比也存在一定的差距。此方法得到的面形的PV值誤差均在0.05λ范圍內(nèi)，RMS值誤差小于 0.03λ。

圖3 多表面干涉圖

圖4 頻譜圖

圖6 解包裹后的面形圖

圖7 最小二乘得到的面形圖

由此可知，最小二乘迭代算法計算表面面形的精度好于其他兩種算法，面形差異與原始輸入面形的差距不大。此算法使面形的精度再一次得到了提高。

3 實驗

本文使用蘇州維納儀器有限責任公司的自制干涉儀得到相應的干涉條紋。其干涉儀如圖9所示，由該干涉圖得到的多表面干涉條紋如圖10所示。

由上述干涉條紋圖，截取其中的256×256個像素點作為實驗的原始數(shù)據(jù)，根據(jù)其原始干涉圖，蘇州維納儀器有限責任公司自制的干涉儀所得的面形如圖11所示。

使用相同的干涉條紋，使用最小二乘迭代算法得到的面形如圖12所示。

根據(jù)所得的面形可知，其中圖11是由自制的干涉儀測量得到的面形結(jié)果，圖12是由最小二乘迭代算法得到的面形，圖11所得的面形與圖12所得的面形輪廓大致相同。比較第一個表面的面形，圖11(a)面形與圖12(a)面形的 PV值誤差為 0.032λ，RMS值誤差為 0.008λ。比較第二個表面的面形，圖 11(b)面形與圖12(b)面形的PV值誤差為 0.086λ，RMS值誤差為 0.018λ。根據(jù)上述分析可知，使用最小二乘迭代算法求得的面形值PV值小于 0.09λ，RMS 值小于 0.02λ。

圖8 傅里葉變換得到的面形圖

圖9 干涉儀裝置圖

圖10 由波長調(diào)諧激光干涉儀得到的干涉圖

4 結(jié)論

本文提出了最小二乘迭代算法，通過不斷迭代最小二乘算法，優(yōu)化了基于最小二乘的相移算法，最終得到精度更高的面形圖。該算法可以對多表面干涉時產(chǎn)生的干涉條紋進行運算，從而得到每個表面的面形。由仿真實驗可知，當使用該算法對多表面干涉圖進行相位提取時，其PV誤差值小于0.006λ。當使用最小二乘法或單幅干涉圖傅里葉變化法時，其得到的相位PV誤差均大于0.01λ。雖然該算法需要得到相移時的初始相移值與大致的相移量，但是該算法可以通過每次的迭代校正相移量，由此無需精確的相移值，從而使得到的面形值更加精確。

圖11 由波長調(diào)諧激光干涉儀得到的干涉圖

圖12 由最小二乘迭代得到的面形圖