做題 反思 探索

我在做練習(xí)時遇到一道題：用列表法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像時，先列一個表，當(dāng)表中自變量x值以相等間隔的值增加時，函數(shù)y所對應(yīng)的函數(shù)值依次為5，17，37，65，101，145，171，257，325。其中一個值不正確，這個不正確的值是________，應(yīng)改正為________。

我苦思不得其解，便上網(wǎng)搜索，其解答是這樣的：

解：第一次求差，325-257=68，257-171=86，171-145=26，145-101=44，101-65=36，65

-37=28，37-17=20，17-5=12。

第二次求差，68-86=-18，86-26=60，26-44=-18，44-36=8，36-28=8，28-20=8，20-12=8。

我猜想第二次的差應(yīng)為8，將第二次求差中的第三個等式中的26改為52（44+8=52），再倒推將第一次求差中的26改為52，從而將171改為197（145+52=197），重新求差，則第二次的差均為8。

所以不正確的數(shù)是171。故填空答案為171、197。

發(fā)現(xiàn)小秘密：將函數(shù)值依次作差，再將所得結(jié)果作差，如果該函數(shù)是二次函數(shù)，兩次作差后，結(jié)果相等，否則就不是。這是教材上沒有講的二次函數(shù)小秘密，是不是所有的二次函數(shù)都有這個性質(zhì)呢？有必要推理論證。

探索小秘密：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，

則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m

+2h）+c=am2+4amh+4ah2+bm+2bh+c，

第一次求差d1=y2-y1=2amh+ah2+bh，d2=y3-y2=2amh+3ah2+bh，

第二次求差s=d2-d1=2ah2。

總結(jié)小秘密：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)自變量x值以相等間隔的值h增加時，函數(shù)值兩次作差，其值為常量2ah2。

教師點評

徐芷涵同學(xué)“小題大做”，解后反思，對題目中蘊(yùn)含的知識進(jìn)行縱向深入的探究，發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)小秘密。“做題千萬道，解后拋九霄”，這不是我們解題的目的，答案也不是解題的終結(jié)。平時做題，我們需要養(yǎng)成在解題之后多反思的習(xí)慣，通常有方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)、技巧的揣摩，也可以一題多法、一題多變、多題一解，挖掘題目的深度和廣度，擴(kuò)大題目的輻射面，這無疑對自身思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高大有裨益。 （指導(dǎo)教師：崔恒劉）