學(xué)函數(shù) 悟思想 通新知

程輝

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，自主探索、合作交流才是學(xué)習(xí)的重要方式。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，有必要運(yùn)用已有的二次函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)研究新的問(wèn)題。

我們?nèi)绻獓L試探究函數(shù)y=[2x2][-12]x的圖像與性質(zhì)。首先，根據(jù)已有的學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，觀察出自變量x的取值范圍是x≠0。

其次，列表，在x≠0的附近（左右兩邊）選取自變量x的幾個(gè)值，計(jì)算函數(shù)y對(duì)應(yīng)的值。

再次，以表中各對(duì)x、y的值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

最后，用平滑的曲線連接描出的各點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖像，如圖1。

觀察該函數(shù)圖像，我們發(fā)現(xiàn)：

①由于x≠0，所以曲線與y軸沒(méi)有交點(diǎn)。

②圖像是兩支曲線，分布在第一、二、四象限。

③在第二象限內(nèi)，曲線有最低點(diǎn)，最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，[32]）。

④當(dāng)x<-2時(shí)，y隨x的增大而減小;當(dāng)

-20時(shí)，y隨x的增大而減小。

⑤函數(shù)沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值。

有了函數(shù)的圖像，我們還可以進(jìn)一步研究新問(wèn)題，如過(guò)點(diǎn)P（0，m）作直線l⊥y軸，則直線l與函數(shù)y=[2x2][-12]x的圖像至少有一個(gè)公共點(diǎn)，最多有三個(gè)公共點(diǎn)。對(duì)應(yīng)關(guān)于x的方程[2x2][-12]x=m，當(dāng)m<[32]時(shí)，方程有一個(gè)解;當(dāng)m=[32]時(shí)，方程有兩個(gè)解;當(dāng)m>[32]時(shí)，方程有三個(gè)解。

【積累經(jīng)驗(yàn)】對(duì)于函數(shù)問(wèn)題，其研究路徑是：分析函數(shù)的表達(dá)式→列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖像→利用函數(shù)圖像觀察、研究，發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)→運(yùn)用函數(shù)圖像解決問(wèn)題。

例 數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，研究函數(shù)y=[62x-12+a]-3的相關(guān)性質(zhì)和應(yīng)用。以下是他們研究的部分過(guò)程，請(qǐng)你按要求回答下列問(wèn)題。

（1）列表，下表中列出x、y的部分對(duì)應(yīng)值：

[x y … … -3 [-3111] -2 [-5119] -1 [-73] 0 -1 1 3 2 b 3 [-73] 4 [-5119] 5 [-3111] … … ]

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算出：a=__________，b=__________;

（2）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中已經(jīng)描出部分點(diǎn)的位置，請(qǐng)繼續(xù)通過(guò)描點(diǎn)、連線的方法，畫(huà)出該函數(shù)圖像，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)：__________;

（3）已知函數(shù)y=x+[12]的圖像如圖2所示，結(jié)合你畫(huà)的圖像，直接寫(xiě)出方程[62x-12+a]=x+[72]的解。（結(jié)果保留1位小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）

【解析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，將x=0，y=

-1代入y=[62x-12+a]-3，得-1=[62+a]-3，∴a=1。

函數(shù)為y=[62x-12+1]-3，把（2，b）代入，得b=-1。

（2）描點(diǎn)、連線，畫(huà)出函數(shù)圖像如圖3。

觀察圖像，我們發(fā)現(xiàn)：

①函數(shù)圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1。

②當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而增大;當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小。

③當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y有最大值，最大值是3。

（3）觀察圖像，方程[62x-12+a]=x+[72]的解為x=-3.4或x=0.8或x=1.2。

（作者單位：江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）

小試牛刀

借鑒已有研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，探索函數(shù)y=[x2-2x-3]-2的圖像與性質(zhì)，研究過(guò)程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整。

（1）自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，x與y的幾組對(duì)應(yīng)值列表如下：

[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 m -2 1 n 1 -2 3 10 … ]

其中，m=__________，n=__________。

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，并畫(huà)出函數(shù)圖像。

（3）觀察函數(shù)圖像：

①寫(xiě)出函數(shù)的一條圖像性質(zhì)：__________;

②當(dāng)方程[x2-2x-3]=b+2有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖像直接寫(xiě)出b的取值范圍為_(kāi)_________。