輻照硬化位錯動力學模擬的研究進展

吳愷慆，史佳慶，劉桂森，沈 耀

(上海交通大學 材料科學與工程學院，上海 200240)

利用核能發電是解決人類能源問題的主要途經之一。由于極端的服役環境，反應堆用結構材料的設計始終面臨嚴峻挑戰。常用的金屬結構材料經過輻照后力學性能會發生改變，如輻照硬化、脆化等[1-2]。材料的輻照硬化和脆化現象具有相關性，理解輻照硬化機理有助于進一步研究輻照脆化效應[2-3]。

宏觀上材料力學性能的變化與輻照引起的微觀組織變化有關。核反應產生的大量高能粒子與結構材料的晶格原子碰撞，后者吸收前者的動能，進一步與其他晶格原子發生級聯碰撞，產生大量過飽和的空位和間隙原子。級聯反應產生的空位和間隙原子大都快速發生復合，但仍有部分會在晶體內部聚集形成間隙、空位團簇或擴散至表面、晶界處，隨后逐步演化形成位錯環、層錯四面體和空洞等缺陷。高能粒子轟擊原子還會產生嬗變元素。尺寸較小的嬗變元素如氫、氦易與空位結合，降低孔洞的形核難度，加速孔洞的形成。此外材料中的雜質原子依靠級聯反應加速擴散、聚集，導致析出相的形成[4]。

位錯是金屬材料塑性變形的主要載體。輻照產生的缺陷對位錯運動產生阻礙，被認為是輻照硬化效應的主要原因[5]。實驗上，在透射電子顯微鏡(TEM)下原位拉伸輻照后的樣品，能觀察到輻照缺陷對位錯滑移的阻礙作用，但很難將其與宏觀力學性能關聯[6]；對輻照后的塊體樣品進行力學試驗，能獲得宏觀力學響應以及加載后微觀組織的變化，但很難有效捕捉加載過程中的微觀過程[7]。位錯動力學模擬方法可彌補以上實驗的不足[8]。位錯動力學將位錯視為彈性體中的線缺陷，忽略原子細節，對位錯網絡進行離散劃分后根據彈性理論和晶體學理論計算位錯的運動，獲得外加載荷下位錯網絡的演化過程和宏觀力學響應，揭示晶體變形的機理[9]。在此基礎上，進一步考慮輻照缺陷與位錯的相互作用，可模擬輻照缺陷對位錯網絡演化和力學響應的影響。位錯動力學能在材料微觀組織變化和宏觀力學響應間建立起橋梁，成為輻照硬化機理研究的重要工具[10-12]。本文擬對位錯動力學方法在輻照硬化效應研究中的應用進行綜述，主要關注位錯動力學模型、不同輻照缺陷硬化效應的位錯動力學模擬以及輻照硬化理論模型三個方面，為后續輻照硬化機理研究提供參考。

1 位錯動力學模型

1.1 位錯網絡的離散劃分

任意形狀的位錯網絡都可劃分為一定數量的離散位錯段，如圖1所示。所有位錯段的長度、位置、所在滑移系以及連接關系的集合就是位錯網絡的完整描述。值得注意的是，連接同一滑移系位錯段的點稱為分化節點，可根據位錯線彎曲的程度增減數量，而連接不同滑移系位錯段的點稱為物理節點，具有實際物理意義，通常是位錯反應的產物，不可隨意增減[13]。物理節點還包括終止于表面的節點或弗蘭克里德源端點等。

圖1 由離散位錯段構成的位錯網絡示意圖Fig.1 Schematic diagram of dislocation network composed of discrete dislocation segment

1.2 位錯的受力

作用在位錯節點上的力f等于位錯構型總能量Etot的負梯度[14]：

f=-?Etot/?r

(1)

其中：r為位錯節點位置；負號表示朝著能量降低的方向進行。實際計算中，位錯線受力通常分開考慮，包括位錯線張力fline、位錯間的相互作用力fseg、外力fext和輻照缺陷的作用力firr：

f=fline+fseg+fext+firr

(2)

由于位錯的應變能與長度呈正比，位錯為降低能量而力求縮短自身長度。這種縮短的趨勢可視為作用在位錯上的線張力T，即單位長度位錯的應變能。位錯線張力的定義為增加單位長度位錯所需的能量，通常估算為：

T≈μb2/2

(3)

其中：μ為剪切模量；b為柏氏矢量的大小。對于一段彎曲的位錯，由于線張力作用導致單位長度位錯受到的側向力(垂直于位錯線的力)，方向指向曲率中心，其表達式如下：

fline=T/R

(4)

其中，R為曲率半徑。

位錯受到的外力以及其他位錯的作用力，可根據Peach-Koehler公式由所在位置應力場求得[14]：

fext+fseg=(σext+σseg)b×ξ

(5)

其中：b為柏氏矢量；ξ為位錯線方向；σext和σseg分別為外加載荷和其他位錯段的應力場。

輻照缺陷周圍的應力場也與位錯存在著相互作用，不同類型輻照缺陷的影響不盡相同，需分別進行考慮。

1.3 位錯的運動

位錯受力運動，其運動控制方程[15]可表示為：

f-Bv-mdv/dt=0

(6)

其中：v為位錯運動速度；t為時間；B為黏性阻尼系數；m為位錯的等效質量。常溫下，滑移速度遠小于聲速的位錯，其運動處于過阻尼區域，即位錯在力的作用下瞬時達到穩定速度，位錯的質量效應可忽略[14]。因此位錯速度與受力呈正比：

v=f/B

(7)

位錯滑移的黏性阻尼系數B可由分子動力學模擬計算得到，一般在10-4Pa·s量級[16-17]。

1.4 位錯運動與塑性應變

大量位錯的運動引起材料的宏觀塑性變形。假想在一塊長為L、高為H的彈性體中，從一端產生一根刃位錯并持續滑移至另一端(圖2)，產生的平均塑性應變γ為：

γ=b/H

(8)

若位錯僅滑移至彈性體中的l處，則此時平均塑性應變[18]為：

γ=(b/H)(l/L)=bA/V

(9)

其中：A為位錯滑過的面積；V為彈性體體積。

圖2 刃位錯在彈性體內滑移產生剪切應變的過程Fig.2 Shear strain production by edge dislocation slipping in elastic body

將式(9)推廣至一般情況，若某一位錯段柏氏矢量為b、滑移面法向為n，在Δt時間內滑過的面積為ΔA，加和所有位錯段滑移產生的塑性應變得[13]：

(10)

1.5 位錯的碰撞反應

當位錯與其他位錯或輻照缺陷相遇時會發生碰撞反應，導致位錯構型發生變化。

位錯與位錯碰撞發生反應在實驗和原子尺度模擬中均得到了驗證[19]。原子尺度模擬的刃位錯與螺位錯碰撞形成位錯結的過程示于圖3[20]。因為碰撞反應涉及的位錯核心結構的變化很難用彈性理論描述，在位錯動力學模型中需額外設定碰撞反應機制。Bulatov等[13]采用能量最速下降原理處理位錯碰撞后的構型變化，能有效模擬位錯的共線湮滅、位錯結的形成等過程，如圖4所示。當兩段位錯的最短距離低于閾值時判定發生碰撞(圖4a)，形成長度為0的位錯段j—k，即位錯結的形核點(圖4b)。j和k有多種連接初始節點的方式，圖4c、d展示了兩種可能的方式。根據能量最速下降原理，選取能量降低最多的構型作為最終構型[13]。

圖3 分子動力學模擬的刃位錯與螺位錯碰撞產生位錯結的過程[20]Fig.3 Process of junction formation by collision of edge and screw dislocation by molecular dynamics[20]

根據以上分析得到位錯動力學模擬流程，如圖5所示，具體過程如下：1) 輸入初始信息，包括初始位錯網絡構型、材料常數等；2) 計算位錯網絡中每個位錯段的受力；3) 根據位錯運動控制方程計算位錯速度；4) 利用時間積分法計算位錯的位移，特別是節點的移動；5) 計算由位錯移動產生的塑性應變，根據加載條件輸出應力應變響應；6) 判斷位錯是否發生碰撞，并根據能量最速下降原理處理碰撞反應；7) 調整位錯網絡的劃分，重復步驟2。

圖4 位錯動力學模型中位錯段的碰撞過程Fig.4 Collision between dislocation segments in dislocation dynamics model

圖5 位錯動力學模擬流程Fig.5 Flow diagram of dislocation dynamics simulation

2 輻照硬化的位錯動力學模擬

目前所用位錯動力學軟件主要包括ParaDiS[14]、microMegas[21]、PDD[22]等。但這些軟件通常不包含輻照缺陷相關模塊。為模擬輻照硬化效應，需建立不同類型輻照缺陷與位錯間的相互作用模型，并在現有軟件框架中增加位錯與輻照缺陷作用的模塊，這些是位錯動力學模擬輻照硬化所需解決的核心問題。輻照缺陷對位錯的影響主要體現在彈性相互作用和碰撞過程中的構型變化。彈性相互作用可通過彈性理論分析求解，而碰撞涉及的構型變化涉及原子過程，通常根據原子尺度的模擬結果提煉碰撞機制。典型的輻照缺陷包括位錯環、層錯四面體、析出相、空洞和氣泡，它們與位錯的相互作用不盡相同。

2.1 位錯環和層錯四面體

fcc、bcc和hcp結構的金屬經輻照后，都能觀察到位錯環的產生[4]。位錯環主要包括間隙型和空位型兩種，其中柏氏矢量與所在平面的法向重合的位錯環也被稱為棱柱環[23]。層錯四面體是由4個層錯面構成的四面體，其6條邊均為壓桿位錯，是低層錯能fcc金屬特有的輻照缺陷[24]。

位錯環和層錯四面體具有位錯特征，二者應力場均存在解析解，可通過Peach-Koehler公式計算它們與位錯網絡的彈性相互作用。然而位錯碰撞位錯環和層錯四面體的過程十分復雜。從分子動力學模擬結果可知，位錯環和層錯四面體的尺寸、取向以及中心至位錯滑移面的距離都會影響碰撞反應的結果。主要的反應結果包括位錯環被完全或部分納入位錯網絡、層錯四面體尺寸變小、螺位錯發生螺旋彎曲、刃位錯產生雙割階、位錯拖拽位錯環移動等[25-31]。

在位錯動力學中，可用位錯段構成的多邊形和四面體表示位錯環和層錯四面體。通過優化位錯段間的碰撞機制[32-33]、引入位錯結的運動[34]和考慮fcc晶體中不全位錯的合并分解機制[35-37]，位錯動力學模擬能復現原子尺度模擬中位錯與位錯環、層錯四面體碰撞過程中的構型變化。Arsenlis等[10]根據1.5節中的位錯間碰撞規則，模擬了鐵中位錯網絡與大量〈111〉間隙型位錯環的反應，觀察到輻照硬化效應和無缺陷通道的形成，如圖6所示。Shi等[34]對位錯段碰撞機制進行優化并考慮了鐵中〈100〉位錯的運動，模擬刃位錯與〈100〉間隙位錯環反應，結果示于圖7。由圖7可知，不僅位錯構型的變化與原子模擬結果一致，反應過程的應力-應變曲線的趨勢也相同。

上述方法中構成缺陷的每一小段位錯長度僅為1 nm左右[34-35]，位錯段的精細劃分導致計算量增大。在模擬塊體材料輻照硬化效應時，有必要簡化缺陷模型以提高計算效率。一種可行的方法是將位錯環或層錯四面體粗?；?，當它們與位錯距離較遠時僅考慮彈性相互作用，在與位錯碰撞過程中根據反應條件設定每個缺陷的總體變化，如被完全吸收而消失、被部分吸收而尺寸變小或不發生變化等[38-45]。這種方法忽略了輻照缺陷與位錯的反應細節，可提高計算效率，但需提前設定碰撞反應的結果。文獻[38]即根據分子動力學模擬結果，設定層錯四面體與位錯碰撞后立即被吸收，繼而模擬了銅中不同密度層錯四面體與位錯網絡相互作用，觀察到宏觀硬化和無缺陷通道的形成。

圖6 不同密度位錯環導致的輻照硬化效應(a)及位錯網絡與高密度間隙型位錯環相互作用產生的無缺陷通道(b)[10]Fig.6 Irradiation hardening effect caused by dislocation loop with different number densities (a) and defect-free channel produced by interaction between dislocation network and high density interstitial loop (b)[10]

除將輻照缺陷粗粒化的方法，Cui等[46]對位錯環采用連續化處理，用數密度函數表示位錯環在空間的分布。位錯在滑移時須克服來自位錯環的阻力，該阻力與位錯所處位置的位錯環數密度及平均尺寸相關。此外，位錯滑移過后位錯環被吸收的效應體現為位錯滑過的區域位錯環數密度下降。Cui等[12,46]據此模擬了微柱輻照后的壓縮過程，觀察到了輻照硬化和塑性失穩的現象，研究了微柱尺寸和位錯交滑移對無缺陷通道寬度的影響，并定量估算了產生無缺陷通道所需的臨界缺陷密度，結果如圖8所示。連續化處理的方法適用于缺陷對位錯的阻礙作用及其自身演化細節明確的情況，是模擬高密度、小尺寸輻照缺陷硬化效應的高效方案。

a、b——微柱尺寸300 nm，有交叉滑移和無交叉滑移；c、d——微柱尺寸1 500 nm，有交叉滑移和無交叉滑移圖8 微柱尺寸和位錯交滑移機制對生成無缺陷通道寬度的影響[12]Fig.8 Influences of micropillar size and dislocation cross slip mechanism on width of defect-free channel[12]

位錯環和層錯四面體的應力場都有解析解，它們與位錯的彈性相互作用可通過Peach-Koehler公式計算得到。它們與位錯碰撞過程中的變化較為復雜，主要有3種處理方式。第1種是用位錯段構成的多邊形和四面體表示位錯環和層錯四面體，根據位錯段間的碰撞機制處理。這種方法能復現分子動力學模擬的構型變化，但計算量大，更適用于單一缺陷與位錯反應的機理研究。第2種是將位錯環和層錯四面體粗粒化，提前設定碰撞反應的結果以提高計算效率，用于研究大量輻照缺陷與位錯網絡相互作用的規律。粗?；幚硪蕾囈阎呐鲎卜磻Y果，一般可由原子尺度模擬結果提煉獲得。第3種是將輻照缺陷連續化，用數密度函數表示輻照缺陷的空間分布，是模擬高密度、小尺寸輻照缺陷硬化效應的高效方案。連續化處理依賴前2種方案的結果，需要定量輸入位錯滑移阻力與輻照缺陷數密度、平均尺寸的關系，以及位錯滑移造成的輻照缺陷密度變化。

2.2 析出相

成分、結構不同的析出相對位錯滑移的影響具有顯著差異，Argon總結析出相與位錯相互作用的微觀機制，包括化學強化、層錯強化、原子排列強化、共格強化和模量強化，一種析出相一般具備多種強化機制[47]。

化學強化、層錯強化、原子排列強化是由于位錯碰撞析出相時額外產生新的界面引起的。化學強化對應析出相-基體界面，層錯強化對應fcc金屬中共格析出相的層錯面，而原子排列強化對應超點陣析出相中的反相界面。若位錯穿過析出相額外產生新的界面，單位面積界面能為χ，則單位長度位錯受到的阻礙應力為τback=-χ/b，負號表示與驅動位錯前進的切應力相反。Huang等[48]根據鎳基合金中的γ′相的反相界面能設定位錯穿過時的阻礙應力，研究了析出相尺寸、形狀對鎳基合金力學性能的影響。Rawlings等[49]根據Fe-Ni-Al-Cr合金中B2-NiAl析出相的反相界面能設定位錯受到的阻礙應力，研究了不同尺寸和體積比的析出相對位錯滑移的阻礙。

共格強化由析出相與基體原子尺寸差異引起，而模量強化由析出相與基體模量差引起，這兩種差異導致析出相周圍存在應力場并與位錯發生彈性相互作用。尺寸和模量的差異在復雜位錯結構上的作用力沒有解析解，一般采用數值法計算。Shin等[50]采用有限元法計算了球形析出相模量差引起的應力場，模擬位錯繞過不同模量析出相的過程，發現臨界分切應力與模量差的0.6次方呈正比。Santos-Guemes等[51-52]則采用快速傅里葉變換法計算Al-Cu合金中圓盤狀θ′相周圍的應力場，模擬位錯繞過不同取向θ′相的過程，進一步研究了位錯繞過隨機分布的θ′相所需的臨界分切應力，得到的結果與實驗結果一致。

一些研究采用簡單函數唯象描述析出相周圍應力場與位錯的相互作用。Fan等[53]采用指數函數描述球形析出相對位錯間的阻礙應力，若位錯段微元與半徑為rp的析出相距離為r，則：

(11)

其中：τin為位錯穿過析出相時產生額外界面的阻力；k為應力場衰減系數。他們利用分子動力學擬合了多種鋁合金中析出相的τin和k，研究發現，當析出相總體積一定時，位錯滑移臨界分切應力隨析出相尺寸的增加呈現雙峰[53]。Lehtinen等[54]采用高斯函數描述球形析出相與單位長度位錯間相互作用能(式(12))，進而得到單位長度位錯線上的受力(式(13))，方向由析出相中心指向位錯。他們計算鐵中單根刃位錯滑過不同間距2 nm碳化物的臨界分切應力，通過調節參數A獲得了與分子動力學模擬一致的結果。

(12)

其中，A為析出相釘扎強度。

(13)

對于一些界面能較高或與基體非共格的析出相，位錯通常以Orowan形式繞過，硬球模型是一種合理的簡化并得到了廣泛應用。硬球模型忽略析出相產生的應力場，僅設定位錯不能穿過析出相-基體界面。Bakó等[55]利用硬球模型研究了ODS鋼中Y2O3析出相的硬化效應，模擬了隨機分布析出相對位錯滑移的阻礙，得到了與實驗一致的結果。Queyreau等[56]利用硬球模型研究了鐵基體中大量球形碳化物和林位錯對主滑移系位錯阻礙的協同作用，驗證了硬化項疊加的經驗關系。

2.3 空洞和氦泡

空洞和氦泡對位錯滑移的影響在原子尺度模擬中被廣泛研究[57-67]?？斩春途哂衅胶鈨葔旱暮づ輰ξ诲e的作用相近，如圖9所示[68]。當位錯靠近空洞時先受到吸引，發生碰撞后斷開，形成2段位錯，并在空洞表面上滑移。在外力作用下2段位錯復合離開表面，空洞表面留下1個臺階。

圖9 刃位錯與空洞相互作用的分子動力學模擬結果[68]Fig.9 Interaction process between edge dislocation and void by molecular dynamics[68]

位錯動力學模擬空洞和氦泡對位錯滑移影響的難點在于表面的作用。自由表面導致位錯受到鏡像力作用，通常采用疊加法進行求解[69-71]，如圖10所示。首先根據位錯在無限大基體中的應力場σ∞計算其在假想表面上產生的力(圖10a)。通過在自由表面疊加相反的力以達到自由表面上合力為0的邊界條件，使用有限元法數值求解反向疊加的力產生的應力場σr(圖10b)。將兩個應力場疊加即為實際應力場(圖10c)，進而根據Peach-Koehler公式可得位錯受到的鏡像力：

fimg=σrb×ξ

(14)

此外，終止于表面的位錯在移動時留下臺階即產生新的表面，因此在表面移動的位錯受到額外的阻礙應力-χsur/b，其中χsur為單位面積表面能。Scattergood等[72]近似計算了終止于空洞表面的位錯段所受鏡像力，但忽略其余位錯受到的鏡像力，模擬了空洞對螺、刃位錯滑移的阻礙。Crone等[73]利用有限元法計算鏡像力，研究了空洞表面臺階以及空洞周圍應力集中區對位錯滑移的影響。

圖10 疊加法計算的位錯所受鏡像力Fig.10 Image force on dislocation through superposition method

在位錯動力學模擬中，準確計算位錯受到的鏡像力涉及有限元法的同步計算，計算量大，因此有研究采用唯象模型簡化處理。Kumar等[74]將氦泡視為析出相，假定位錯進入時受到恒定的阻礙應力，模擬了氦泡尺寸對屈服應力的影響。Sobie等[75]則忽略空洞表面鏡像力的作用，根據分子動力學模擬結果設定位錯脫離空洞釘扎所需彎曲的角度，模擬了隨機分布空洞對單根位錯滑移的阻礙。這兩種唯象模型依賴分子動力學結果確定參數，應用范圍受限。目前常用的輻照缺陷與位錯間作用模型列于表1。

表1 輻照缺陷與位錯相互作用模型Table 1 Interaction model of irradiation defect and dislocation

3 輻照硬化理論模型

通過分析材料輻照后位錯結構變化對宏觀力學性能的影響，建立輻照硬化理論模型，是預測輻照硬化效應的有效手段。目前基于輻照缺陷與位錯相互作用的理論硬化模型主要包括DBH模型[76]、BKS模型[77]、FKH模型[78]和CISH模型[79]。通過實驗觀察和測量，獲得的輻照缺陷種類、數密度、平均尺寸以及材料屈服強度的變化量，被用于確定各硬化模型適用的缺陷類型，并擬合模型參數。一般情況下，DBH模型適用于描述析出相造成的硬化，BKS模型適用于描述空洞或析出相造成的硬化，FKH模型適用于描述位錯環或空位團簇造成的硬化，而CISH模型適用于描述高密度小尺寸間隙、空位團簇對位錯源釘扎造成的硬化。位錯動力學也能模擬單一種類輻照缺陷的硬化效應，為硬化模型選取和參數擬合提供了另一途徑。此外，位錯動力學能模擬多種類型缺陷的協同作用，分析協同硬化效應的機理，為理論硬化模型的經驗疊加提供數據。

3.1 DBH模型

輻照硬化源于輻照缺陷對位錯運動的阻礙?？紤]無限長位錯通過周期性排列輻照缺陷的過程(圖11)，計算所需外加切應力。將輻照缺陷簡化為釘扎點，忽略位錯間的相互作用，此時外力僅與彎曲位錯的線張力保持平衡。假定位錯彎曲至θc時脫釘，根據式(4)可得脫釘所需的外加臨界分切應力τc：

τc=2T(sinθc)/bl

(15)

其中，l為輻照缺陷的平均間距[47]。

圖11 位錯通過周期性排列輻照缺陷Fig.11 Dislocation by passing periodic array of irradiation induced defect

設輻照缺陷的平均尺寸為d、數密度為N，若一段位錯滑過面積A，那么所碰撞的輻照缺陷數量為(Ad)·N，對應單位面積上的碰撞數量為Nd，因此滑移面上輻照缺陷的平均間距為：

l=(Nd)-1/2

(16)

輻照缺陷對位錯的釘扎強度取決于彎曲角度θc的大小，引入缺陷強度因子αDBH替代sinθc，取T=μb2/2，再將式(16)代入式(15)，可得：

(17)

式(17)即為被廣泛應用的DBH 模型[76]。

3.2 BKS模型

在DBH模型的基礎上，Bacon等[77]又發展出了BKS模型。首先他們選取更為精確的線張力表達式：

(18)

(19)

接著考慮缺陷隨機分布的影響，如圖12所示。對于不可穿過析出相，空間中隨機分布使得位錯脫釘的彎角θ′c小于90°。假想一段兩端被釘扎的位錯，若脫釘所需達到的臨界彎角為θ′c，位錯應變能外截斷半徑設為l，則位錯脫釘的臨界分切應力為：

(20)

圖12 缺陷空間分布對位錯脫釘所需達到彎角的影響Fig.12 Influence of defect spatial distribution on critical angle for dislocation to bypass

綜合式(19)、(20)可得：

(21)

另外，滑移面上缺陷之間的平均距離l并非實際釘扎位錯線的缺陷平均間距λ，式(15) 應改為：

τc=2T(sinθc)/bλ

(22)

Freidel等[47]認為，在流變應力下，位錯每脫離一個缺陷的釘扎后向前滑移，立刻被另一個缺陷捕獲，這一過程中位錯平均滑過的面積應等于滑移面上單個缺陷所占的平均面積。如圖13所示，當位錯脫離O處的釘扎向前滑移至O′處時，假定弧AO、BO和AB的曲率半徑都為R，灰色區域的面積S為：

S=λ3/2R

(23)

滑移面上單個缺陷所占平均面積為l2，將R=λ/2sinθc代入式(23)可得：

λ=l(sinθc)-1/2

(24)

此處λ稱為Freidel采樣長度[47]。

圖13 位錯在隨機分布缺陷中的滑移Fig.13 Dislocation slipping through randomly distributed defect

將式(21)和式(24)代入式(22)中可得：

(25)

式(25)即為BKS模型的表達式。參數Δ取決于缺陷類型，不可穿過粒子的Δ為1.52，而空洞的為0.77。

3.3 FKH模型

FKH模型主要基于直位錯與棱柱環之間的彈性相互作用[78]，如圖14所示，根據無限小位錯環假設，位錯與棱柱環間的相互作用能為：

E=An·σ·b

(26)

其中：A為棱柱環面積；n為棱柱環法向；σ為位錯在棱柱環中心處應力場。將位錯應力場代入式(26)可得：

E=ζμb2d2/y

(27)

ζ取決于位錯類型、棱柱環的取向和夾角θ。

圖14 直位錯與位錯環的相互作用Fig.14 Interaction between straight dislocation and dislocation loop

進一步可得位錯與棱柱環間的相互作用力：

F=ζμb2d2/y2

(28)

Kroupa等[78]計算了fcc晶體中螺、刃位錯與不同取向棱柱環的相互作用能，得到ζ隨θ的變化關系。計算每種情況下ζ的極值并取平均，得ζ≈1/16。當y=d/2時，位錯與棱柱環相遇，此時二者間的相互作用能為E≈μb2d/8而相互作用力為F≈μb2/4。

將位錯與棱柱環的相互作用力視為對位錯的釘扎力，由于該力隨距離的平方遞減，僅有距離較近的位錯環對位錯產生實際釘扎作用。若沿著位錯平均分布有間距為λ的位錯環，位錯脫釘所需外加的臨界分切應力為：

τc=F/bλ

(29)

λ取Freidel采樣長度，根據式(22)和式(24)可得：

(30)

其中，E=τcbl2，可理解為位錯滑過l2面積外力所做的功等于位錯與位錯環之間的相互作用能。綜合式(27)、(29)、(30)可得：

(31)

FKH模型更適用于描述釘扎強度較弱的缺陷[6]。

3.4 CISH模型

Singh等[79]借鑒了Cottrell氣團的概念，認為輻照產生的小棱柱環在位錯應力場作用下聚集在位錯周圍并阻礙位錯源開動。在外力作用下位錯靠近棱柱環，當距離小于臨界距離ys時認為棱柱環被位錯吸收，且釘扎作用消失，位錯源得以開動，因此產生了屈服后外力下降的現象。取臨界距離ys下位錯環與位錯的相互作用力作為釘扎力，根據式(28)、(29)可得：

(32)

參數αCISH取決于位錯環與位錯的相對取向關系，通常在0.1左右。實驗中，CISH模型成功預測了一些材料輻照后的上屈服點[80-81]。

3.5 多種缺陷的協同硬化效應

位錯環[46,75,82]、空洞[73,75,77]、析出相[56,83]等單一種類輻照缺陷對位錯滑移的阻礙作用可通過位錯動力學模擬計算，并優選上述理論硬化模型對結果進行擬合。然而，輻照材料中通常存在多種缺陷并對位錯滑移產生協同影響。實驗上通常對不同種類缺陷的硬化效應疊加，經驗疊加方式主要包括線性疊加以及平方和開方兩種[84]。假定每種缺陷在材料中單獨存在時造成的硬化為τi，則線性疊加的結果為：

τc=∑τi

(33)

平方和開方的結果為：

(34)

Queyreau等[56]用位錯動力學模擬了點缺陷和晶格阻力、析出相和林位錯三者的協同阻礙作用，發現點缺陷和晶格阻力τ0對總阻力的貢獻滿足線性疊加關系，而析出相τBKS和林位錯τf的貢獻則滿足平方和開方的疊加關系。

4 結語

本文對位錯動力學應用于輻照硬化模擬的研究進展進行了綜述。首先針對位錯動力學模型進行了介紹，主流的位錯動力學軟件通常不包含輻照缺陷相關的模塊，建立不同類型輻照缺陷與位錯的相互作用模塊是位錯動力學模擬輻照硬化的核心。對于不同類型的輻照缺陷分別分析了它們與位錯的相互作用，闡述了不同輻照缺陷硬化效應的位錯動力學研究成果。隨后介紹了用于定量描述輻照硬化的理論模型，位錯動力學的模擬結果可用于確定各理論模型所適用的缺陷類型并擬合參數。目前，利用位錯動力學研究輻照硬化的機理已取得了一定成果，該領域仍有如下幾方面值得重視。

1) 孔洞硬化效應的模擬。聚變堆和第4代裂變堆中的材料處于高溫高劑量的輻照環境中，孔洞在輻照缺陷中的占比將大幅提高。準確考慮孔洞與位錯作用的模型依賴有限元法同步計算，所需計算量較大。進一步模擬孔洞對與位錯網絡的相互作用，需要對表面鏡像力計算進行合理簡化。

2) 多種輻照缺陷的硬化效應模擬。材料經輻照后往往產生不止一種輻照缺陷，模擬多種輻照缺陷的協同硬化效應對輻照硬化的預測具有重要意義。目前關于位錯動力學模擬還鮮有報道。模擬多種輻照缺陷時不僅需要考慮每種缺陷與位錯的相互作用，還需要考慮輻照缺陷間的相互作用，如可運動的位錯環與空洞間的相互作用。

3) 位錯交滑移和攀移機制的影響。位錯滑移受輻照缺陷阻礙時，可通過交滑移或攀移繞過缺陷繼續滑移，忽略位錯的交滑移和攀移可能會導致模擬的硬化結果偏高，尤其對于中高溫和低應變速率的加載條件，在位錯與輻照缺陷的作用模型中有必要考慮位錯的交滑移和攀移機制。

4) 理論硬化模型的疊加方法?，F有的理論硬化模型基于單根位錯與輻照缺陷的相互作用，單一種類的輻照缺陷均有相應的理論硬化模型。但在考慮多種輻照缺陷的硬化機制時，疊加不同的理論硬化模型依賴經驗方式，缺乏基于物理的疊加方法。未來可利用位錯動力學模擬結果中位錯網絡和輻照缺陷演化的細節，通過分析統計實際釘扎位錯的缺陷數量與各自數密度的關系，發展基于位錯網絡與輻照缺陷相互作用的疊加模型。

5) 變形過程中位錯密度和輻照缺陷數密度的演化。變形過程中輻照缺陷與位錯發生反應，可能被位錯吸收或發生其他變化，因此輻照缺陷數密度隨塑性應變增加而變化。此外，晶體內存在的輻照缺陷對位錯產生釘扎，可能使位錯密度演化的規律有別于純晶體中的演化規律。位錯密度和輻照缺陷密度的演化規律可在位錯動力學模擬結果中提煉得到。位錯密度和輻照缺陷密度的演化規律以及理論硬化模型可進一步應用于晶體塑性模型中，實現更大尺度的輻照硬化模擬。