數形結合思想在高中數學中的教育運用

江蘇省海安市立發中學 張海彥

在高中階段的數學教學中，數形結合思想是非常重要的數學思想之一，可以說，數形結合的思想貫穿數學學習的始終，將數學問題的內在聯系用圖形的方式進行表現，將數量與圖形結合起來對問題進行剖析，就是數形結合思想的本質。利用數形結合的思想解題，能夠有效地將復雜抽象的數學問題簡單化，真正提升學生的解題技巧，培養學生對數學知識的學習興趣。

一、在集合問題解題中應用數形結合思想

高中階段的數學知識相比于學生之前學習的數學知識在難度和深度上有著很大的提升，因此對學生的邏輯思維和創新思維有著非常高的要求。一般在解決集合問題的過程中，可以采用韋恩圖法將集合之間的關系表現出來，使學生更加直觀地理解集合與集合之間的關系。

有這樣一道例題：某班有學生48 名，現要求每一位同學都參加一個學習小組，已知參加數學小組的學生為28 人，參加物理小組的學生為25 人，參加化學小組的學生為15 人。另外，同時參加數學和物理小組的同學有8 人，同時參加數學和化學小組的同學有6 人，同時參加物理和化學小組的同學有7 人。請問有多少同學同時參加了數理化小組？在正常解題過程當中，學生往往會覺得無從下手，但是如果通過數形結合的方式來解題，能夠有效地將給出的條件梳理清楚。在解題的時候，學生可以通過三個圓來表示不同小組的人數，而三個圓相交的部分就是最終的題目答案，如圖1 所示為解題模型。

二、在函數問題解題中應用數形結合思想

函數是高中階段數學知識中比較難的部分，由于定理和性質較多，因此往往會使學生在解題的過程中摸不著頭腦。這就需要教師在解題的過程當中將數形結合的思想與課堂教學相結合，引導學生采用數形結合的思想去解決問題。如果僅僅看函數的公式和表現形式，學生很難摸清函數問題的真正答案，而通過數形結合的思想將題目給出的條件構建數學模型，能夠有效幫助學生解決復雜的函數問題。

比如針對一些比較數據大小的問題，教師可以引導學生將題目給出的條件轉化為對應函數的函數值，從而利用圖像對不同的函數進行直觀的比較。比如：指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝d x的圖像如圖2 所示，則a、b、c、d與1 的大小關系是怎么樣的？在解答這道題時，學生通過分析指數函數性質，可以得知b＜a＜1＜d＜c。除此之外，教師還可以引導學生通過其他的方法進行解題，比如提示學生令x等于1，然后根據圖像得出最后答案。

三、在方程問題解題中應用數形結合思想

不管在初中階段還是高中階段，方程問題都是數學知識中比較難的部分，學生往往會在方程的解答過程中出現不足和錯誤。因此，高中教師在進行方程解答的教學中，可以充分引導學生利用數形結合的思想去解決問題。通過圖像將方程表現出來，從而將復雜的題目條件簡單化，使學生能夠從直觀的圖像中讀取有效信息。學生可以將方程對應的函數的圖像畫出來，根據圖像的交點數量、交點位置、交點坐標等信息進行解答，尤其是在選擇題解題的過程中能夠有效地提升解題質量和效率。

綜上所述，針對特殊的數學難題，如果學生能夠利用數形結合的思想進行解題，往往能夠更好地抓住數 與形之間的內在聯系，提升數學問題的解題效率和質量。除了文章提到的這幾部分以外，數形結合思想還可以應用于解決解析幾何和立體幾何等問題上。作為一種數學思想方法，數形結合不僅可以廣泛地應用于數學解題的過程中，還能夠有效地拓寬學生的解題思路，促進學生邏輯思維和創新思維的發展。