一道中考試題的解析與思考

馬利

（石家莊第二外國語學校，河北 石家莊 050000）

中考選擇的最后一兩道題，常考用動態的觀點解決幾何問題，考查圖形在運動過程中產生的圖形性質上的變化和不變的情況.下面筆者以2016 年河北中考第16題為例，探究這類題的解題方法，以求引導學生體悟具有普適性的數學思想和方法，明晰思路，優化數學思維方式，提高解決問題的能力。

一、試題呈現 如圖，∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，且OP=2.若點M，N 分別在OA，OB 上，且△PMN 為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN 有（ ）

A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.3 個以上

二、試題解析 由題中條件 ∠AOB=120°，OP 平分∠AOB，可知∠1=∠2=60°，根據等邊三角形判定的有關知識可知：方法1，已知一個60°角，再添加一個60°角，從而三個內角均為60°，得到等邊三角形；方法2，一個60°角，再添加兩條邊相等，從而有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形。

三個內角都為60°，有一個角為60°的等腰三角形

從特殊入手，依據方法1操作：用三角板如圖1所示，以OP為邊添加一個60°角，交OA 于點M，N 與O 重合，構造等邊△PMN。

如圖2 所示，根據軸對稱性，在OP 的右側也存在一個等邊三角形。

依據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，如圖3 所示，作可得PM=PN，由題易得∠3=∠4=30°，所以∠MPN=60°，根據等邊三角形判定方法2，從而構造等邊三角形。

目前已經得到3 個等邊三角形，答案D 為3 個以上，為此提醒我們需要研究一般位置的情況。我們把特殊位置得到的等邊三角形結合來看，如圖4 可以看作由一個60°角旋轉得到，為此我們把繞P把60°角轉到一般位置如圖5所示，為等邊三角形，∠MPN=60°，只要證明≌即可推出△PMN是等邊三角形。由是等邊三角形，可得∠OM’P=60，PM’=PN’，因為∠MPN=60°，∠PON=60°，所以可得：∠OM’P=∠PON，∠M’PM=∠OPN，依據ASA 得到△M’PM ≌OPN，所以PM=PN，由于∠MPN=60°，所以△POM 是等邊三角形，故這樣的三角形有無數個，故選

三、延伸思考 繼續研究這道題，發現變化過程中存在的不變性，∠MPN 與∠AOB 互補；OM+ON 為定值；四邊形OMPN 的面積等于以OP 為邊的等邊三角形的面積，為定值；

四、反思與練習

根據問題的已知條件，聯想相關知識，從特殊情況入手，通過動手操作，得出實驗的

特例，用運動的觀點猜想一般情形，結合特例的信息論證一般結論，這種從特殊到一般的思想和用運動的觀點分析問題的方法是解決此類問題的法寶。掌握這種方法，要求我們在變化中尋找不變性，用函數的觀點尋求變化中的不變性。

“動點型問題”是幾何學習的重要內容之一，融動腦思考和動手操作為一體，匯集了諸多知識點，需要學生經歷分析、猜想、判斷、推理等綜合過程，體現了幾何直觀，凸顯了數學學習的特點和本質，這樣的問題在近年來中考中大有增大趨勢。

練習：2019 年山東聊城中考第11 題如圖，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經過點A和點B，將三角尺繞點O 按順時針方向旋轉任意一個銳角，當三角尺的兩直角邊與AB，AC 分別交于點E，F 時，下列結論中錯誤的是（ ）

A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° C.OE+OF＝BCD.S 四邊形AEOF＝S △ABC

從特殊位置入手，如圖6 所示，連接AO，連接AO，易證△EOA ≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性質可得出EA＝FC，進而可得出AE+AF＝AC，選項A 正確；由三角形內角和定理結合∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝90°可得出∠BEO+∠OFC＝180°，選項B 正確；由△EOA≌△FOC 可得出S △EOA＝S △FOC，結合圖形可得出S 四邊形AEOF＝S △EOA+S △AOF＝S △FOC+S △AOF ＝S △AOC＝S △ABC，選項D 正確.綜上，此題得解。