HPM背景下的小初數學銜接教學設計研究

孫博

【摘要】教師在數學教學中通過引入數學發展史中一些數學家的典故，巧妙地將故事中比較抽象的問題簡化為書面的筆畫（類似幾何）問題，更能激發學生在課堂中的學習興趣，通過簡化問題，由淺入深，更能使學生容易理解數學中的抽象概念，在教學中能起到一定的積極作用.

【關鍵詞】HPM;小初數學銜接;圖形初論

一、引 言

HPM（History & Pedagogy of Mathematics）在數學教學中的作用日益凸顯，它對了解數學思想方法的形成過程，掌握知識的來龍去脈，在激發學生學習數學的興趣方面起著至關重要的作用.數學史在教學中的應用對學生的人格成長有啟發作用.當然，僅靠一個數學故事或者一本數學家傳記就造就一位數學家，那是不現實的.但數學家的奮斗經歷對學生人格成長的正面啟發作用是不可否認的.充分運用數學史的教育功能，會從側面對學生的人格的培養產生重要的影響.

數學的公式、定理絕不是天外來客，其有誕生背景，有曲折的發展和完善的過程.教科書中抽象的文字，遠遠不能完全展現并讓學生感知它背后的豐富內涵.那么在教學過程中，教師如何引導學生理解它們的產生和發展過程，如何讓學生體會數學家們曾經遇到過的困惑，又如何通過學習讓學生正確看待自己，避免因為遭遇困難而喪失信心.本文就以一節小初數學銜接課“一筆畫”為例，展示利用HPM如何巧妙引入新知識并由淺入深地使學生理解，而并不是強加給學生，從而凸顯其必要性，進而激發學生的學習興趣和學習意愿.

二、史料選擇

看過《圖論趣談——七橋問題和周游世界問題》一文的人，一定會被世界級數學大師歐拉的聰明才智和卓越的貢獻所折服.其實，歐拉的貢獻遠不只如此.他對數學的研究非常廣泛，在許多數學的分支中都能見到他的名字，并且，他還把數學推至幾乎整個物理領域.值得一提的是，歐拉雖然主要從事數學科學研究工作，但是他對數學教育方面的影響深遠，以下幾點，值得教師借鑒：

首先，身體力行，編寫普及教材和通俗讀物，發表關于數學游戲的文章，激發讀者學習數學的興趣.

其次，注重對數學概念的理解和對數學知識系統性的學習，更注重數學的實際應用.他的文章把高深的知識深入淺出地表現出來，嚴密又利于理解.

再次，大力推行數學符號和規則化學習.如用R和r分別表示外接圓和內切圓半徑;用a，b，c表示三角形三邊等.

最后，積極創造條件扶植后學，關心青年數學家的教育和成長.如，拉格朗日與歐拉通信討論“等周問題”的一般解法，歐拉盛贊他的成就，并壓下自己同一問題的論文，使拉格朗日一舉成名.

三、教學過程

（一）一筆畫的認識——歐拉與哥尼斯堡七橋問題

1.引出歐拉

你都知道哪些數學家？說出他的名字，想好了，站起來就可以說.

（學生在課前已經查找資料，能逐一說出數學家的名字）

如果有學生提到歐拉，教師可以請這名學生介紹，如果沒有學生提到，教師就向大家介紹（PPT出示歐拉圖片及其生平簡介）.

2.教師根據實際情況提出格尼斯堡七橋問題

18世紀的德國有個城市叫格尼斯堡（現俄羅斯加里寧格勒）.城里有七座橋連接大河兩岸以及河心的兩個小島.一個有趣的問題是一個人一次能既不重復又不遺漏地經過這七座橋并回到出發點.這個問題看似不難，而且很有趣，一時間成千上萬的市民和游客都想嘗試解決這一問題.可是一段時間過后，大家似乎都找不到正確的答案，甚至有些人想用最直接的方法，即走走看能不能成功，最后都陷入了混沌.消息傳到大數學家歐拉的耳朵里，引起了他的思考.他把問題抽象成一筆畫問題，運用數學方法進行證明這是一個不能實現的問題.歐拉由此創建了一個新的幾何學分支——位置幾何學.

補充：這個問題在五百多年前就被提出來了，可是兩百多年過去后，仍然沒有被解決.于是，有人猜想是不是存在這樣一條路.在大數學家歐拉知道后，他僅僅用2天時間就在當時最著名的數學學報上發表了一篇論文，把七橋問題與兒童常見的一筆畫問題聯系起來.歐拉的偉大之處就在于他把陸地看成點，把橋看成是連接兩點的線.因此，七橋問題就轉變成這幅畫是否能一筆畫成的問題.

1736年歐拉解決了這個問題，從而也開辟了數學上的一個分支，就是剛才提到的“位置幾何學”，今天叫作“圖論”（板書：圖論）.“圖論”，顧名思義，跟圖有密切的關系.今天，我們就沿著歐拉的足跡來了解有關圖論方面的知識.

（屏幕出示課題：沿著歐拉的足跡——圖論初探）

剛才，同學們提到了“一筆畫”，歐拉利用“一筆畫”很好地解決了七橋問題.那么，同學們對一筆畫都了解哪些？

[請學生談對“一筆畫”的了解.教師在學生的發言中，重點提煉以下問題：什么是“一筆畫”;什么樣的圖形能一筆畫成？（對于任意兩個頂點都至少有一條線連接或聯通的圖形.只有奇點的個數為0或者2時，才可以一筆畫成，否則不可以）什么叫奇點、偶點？連通圖中奇點能是奇數嗎？]教師根據學生的發言板書：一筆畫辨別方法：奇點的個數是0或者2;奇點個數為偶數.

（二）一筆畫的研究——合作中尋找一筆畫的規律

（教師布置小組合作學習的內容）

教師準備幾幅圖，要求學生按照所了解的內容對這些圖的問題進行回答，并且提出新的問題.請一組同學到前面來匯報算出的每一個圖形的奇偶點及是否能一筆畫成.教師詢問大家還有什么補充.

重點挑戰“五環圖”：奧運會的五環怎么能一筆畫出來呢？

重點總結：圖上全是偶點，從任意一點出發都能完成一筆畫的任務再回到原點.如果這幅圖是兩個奇點，應該從一個奇點出發再回到另一個奇點.請學生試一試.

教師提出：“田字圖”有四個奇點，不能一筆畫成.那么至少用幾筆畫成？如何證明？

引導學生回答，如學生回答不上來，教師講解.因為點只有奇點和偶點兩種，如果偶點和偶點之間相連一條線段的話，兩個偶點就會變成兩個奇點，如果奇點和奇點之間相連一條線段的話，兩個奇點就會變成兩個偶點.如果一個奇點和一個偶點之間相連的話，兩個點的奇偶性就會互換，不影響奇偶的總數.奇點和偶點無論增加或者減少，都是成對的.

經過大量的研究發現，一幅畫至少用幾筆，只需要用奇點的個數除以2.上面同學們所交流的關于一筆畫的知識，都是歐拉當年寫的論文中提到的，后人稱為一筆畫的原理.由于歐拉的偉大貢獻，后人把像五環圖這樣的從一個點出發不重復、不遺漏地走完所有的線又回到原來點的圖稱為“歐拉圖”，有兩個奇點的圖稱為“半歐拉圖”.

（三）一筆畫的應用——中國郵路問題

教師指出：一筆畫在生活中有許多應用，誰能給大家講講？

比如灑水車灑水，在灑水時要合理安排好所走的街道路線;郵遞員投遞的路線;外賣員送餐;等等.

教師講解：實際上，最早提出的一筆畫與“圖上作業”相結合的是中國人.被圖論史上稱為“Chinese Postman Problem”（板書）誰能翻譯一下？（PPT出示“中國郵路問題”）

教師介紹：一名郵遞員要走遍他負責的投遞范圍內的每一條街道，完成送信任務后回到郵局.他應按什么路線走才能使總路程最短？最早提出這個問題的是我們國家的數學家管梅谷，他原來是山東師范大學的校長.在1962年他最先向世界上提出這樣的一個問題，作為能和一筆畫結合在一起的實際應用，被世界數學史稱為“中國郵路問題”，真的很值得我們驕傲.如果你是郵遞員，你怎么走才能使路程最短呢？下面小組之間討論一下.

學生小組討論后，請一組學生到前面匯報，并引導學生計算出最后結果.

（四）一筆畫的延伸——哈密爾頓周游世界

教師：同學們剛才對一筆畫及中國郵路問題已有一定了解.這些知識都是圖論的一部分，在1856年，一位著名的數學家哈密爾頓提出了一個新的問題.用正十二面體的20個頂點代表我們這個星球上的20個大城市.從一個城市出發游遍所有的城市最后回到出發點所走過的棱不重復.（PPT展示）

（教師拿出事先準備的正十二面體）我這有一個正十二面體，每個面都是一個正五邊形.如果這上面的頂點是20個大城市，只許從一個點走到另一個點，點不許重復，棱當然也不能重復，能不能完成走遍所有點的任務？這是在1856年風靡世界的哈密爾頓周游世界問題，也請同學們課后思考一下！

教師總結：現在我們可以輕而易舉地判斷一個圖是否是歐拉圖，但是哈密爾頓周游世界問題研究了一百多年至今還沒有解決.由于圖論中有很多懸而未決的問題都跟哈密爾頓周游世界問題的解決有關系，所以目前還有許多數學家正在努力攻克這個問題，我想在座的同學中也許就有將來解決這個問題的偉人，我期待著這一天！

四、結 語

本節課中，數學史幫助教師全面地實現了教學的三維目標.學生掌握了“一筆畫原理”，能夠解決簡單的實際問題，感受到數學與生活的實際聯系.介紹數學家的故事、滲透數學史中的趣聞和名題，可以激發學生學習數學的濃厚興趣，讓學生得以在一種更生活化、更輕松的氛圍中學習，而且歐拉的故事可以給學生正能量，這些都促進了“情感與信念”目標的達成.小組合作培養了學生的合作意識、實踐能力和探索能力，使學生帶著對數學知識的渴望與崇拜之情升入初中階段的數學學習，這無疑增加了數學學習的內驅力.

五、教學反思

著名的心理學家皮亞杰曾說過：“活動是認知的基礎，智慧從動作開始.”本節課雖然引發了大量學生的思考，但是并沒有讓學生從動手、動腦、動口等親自操作感知中入手.沒有讓學生體驗到五百多年前人們解決不了七橋問題的困頓之感，這樣就不能在學生的頭腦中形成鮮明的知覺表現.

鑒于該問題，筆者又一次將歷史上的一個數學問題搬到課堂解決，即圓的面積問題.課前，筆者為學生準備了若干彩色圓形卡紙、剪刀、膠水，并在引課階段帶領學生回憶了小學所學的幾何圖形面積的求法.筆者先從長方形入手，介紹面積的定義，進而利用化歸的思想，割補法解決平行四邊形的面積計算方法、三角形面積的計算方法、梯形面積的計算方法，一系列的復習鞏固，使學生認識到，解決一個新的數學問題，可以化歸成已有的數學知識，進而求解.于是，學生們大膽嘗試，是否能將沒有直線邊的圓，轉化為已知的幾何圖形？這時我們可以看到，雖然歷史上偉大的數學家給出了精確的計算方式，但是學生們的大膽猜測也頗具新意.有的學生將圓的四分之一單獨剪下來，然后再次嘗試將這四分之一的圓繼續分割成四份，便得到了原始圓形的十六分之一，該生把這個很小的扇形，近似地看成一個三角形，扇形的弧看成是三角形的底，半徑看成是三角形的高，進而求出了原圓形面積的十六分之一，從而求出整個圓的面積.而實際上，教師所提供的材料工具在一定程度上左右著學生的操作方向，即教師提供的工具一定要用上這個前提.而有一個小組，直接將給的圓形卡紙通過對折再對折再對折的方式，直接得到了一個近似三角形，從而求解.這也是突破了教師的限制的聰明之舉.

然而也有失敗的小組，有些小組通過剪切，形成了一些不規則的圖形，無法求解.但是在這一過程當中，學生們實際經歷了古代數學家們所走過的艱辛之路.這時候，在學生經歷了一系列的創作、失敗、再創作后，教師通過一定的提示，使學生割補成近似的平行四邊形或長方形，題目豁然開朗.接著，教師為學生講解魏晉時期的數學家劉徽首創的割圓術，并利用幾何畫板直接展示“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”的含義，必定使學生印象深刻，歷久彌新.

而現在的教學教材，往往為了保持知識的系統性，把數學內容按定義、定理、證明、推論、例題的順序編排，力求邏輯的嚴謹性和語言的精煉性.這樣就缺乏了自然的思維方式，對數學知識的內涵，以及相應知識的創造過程介紹得很少，也使學生面對枯燥的課本，缺乏對知識的渴望和興趣.而數學史的引入，特別是在小初銜接過程中，及時適度的補充，可以讓即將進入系統學習大量理論知識的學生們，對數學產生濃厚的興趣.學生通過教師講解一些有關的數學知識的由來學習系統的數學知識的同時，對相應知識的產生過程有一個比較清晰的認識，從而培養正確的思維方式.可見，數學史是一座寶藏，蘊含了取之不盡、用之不竭的數學資源和思想養料，任何知識點的教學都能從中獲益.

【參考文獻】

[1]徐章韜.面向教學的數學知識：基于數學發生發展的視角[M].北京：科學出版社，2013.

[2]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數學月刊，2012（2）：1-5.

[3]汪曉勤.理念與實踐的融通 思想與行動的碰撞：HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7）：77-82.

[4]朱哲，宋乃慶.數學史融入數學課程[J].數學教育學報，2008，17（4）：11-14.

[5]李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[6]周永鋒.高中數學有效教學方法研究[J].當代教研論叢，2018（5）：54.

[7]楊潤娟.HPM視角下高中數學教學的研究[J].新課程，2019（30）：28-30.