一道經典幾何題的解法探究與教學思考

殷高瞻 楊秀麗

摘 要：如果學生在問題的解決過程中，能抓住問題的本質，充分審視每個條件，多角度看問題，懂得推理的方法，那么他的邏輯思維水平會大大的提高。歸納和演繹是邏輯推理的兩個方面，歸納推理的命題范圍由小到大，結果是或然的，其作用是發現結論;演繹推理的命題范圍由大到小，結果是必然的，其作用是證明結論。邏輯推理是科學發現的基本途徑，兩個方面不可偏廢。下面筆者通過一道幾何問題的多解情況展示邏輯推理在問題探究和解決中的作用。

關鍵詞：邏輯推理;蝴蝶形;中點證明;一題多解;多解歸一

一 ?試題呈現

立意分析：本題屬于中點證明類綜合題。在坐標系的背景下，考察全等三角形的性質與判定，結構簡潔，內涵豐富，充分體現了中點證明的多角度性。通過讓學生經歷觀察、猜想、思考、推理、歸納等過程來探究圖形的本質特征。以此考察學生獨立思考、推理、綜合分析問題和解決問題的能力。該題具有入口寬、出口窄、綜合性強、區分度好等特點，具備了經典題的基本特征，能有效和可信的評價學生數學核心素養，具有良好的解題導向功能。

二 ?解法探究

解法1：作垂線構造蝴蝶形證中點法

如圖2，猜想. 連接AF，CE，則可得≌，所以，，再根據作垂線構造蝴蝶形證中點法，過點A作交EF的延長線于點H，過C作交EF于點T，只要證出AH=CF，只要證≌，即可得到AG=CG. 因為OF=OE=2，所以，設，則，所以≌，所以AH=CT，所以≌，所以AG=CG.

解題反思：方法1中本著作垂線構造蝴蝶形證中點的方法，通過發現并證明≌，得到AF=CE，通過導角得到，從而得到，發現并證明了≌，從而得到AH=CT，最后證明≌，從而使得問題得到解決，三次全等，順理成章，雖然復雜，卻也可解。

解法2：作平行構造蝴蝶形證中點方法

如圖3，連接CE，AF，在方法1中已經說明了，，看，和猜想到AG=CG，即是要證G為AC的中點，根據作平行構造蝴蝶形證中點法，添加輔助線，過點C作交EF于點T，欲證，這兩個三角形三個內角都分別相等了，缺邊，需證CT=AF或FG=TG，結合CE=AF，可證CE=CT，導角可得，又因為，，所以，根據等角對等邊得CE=CT，CT=AF，從而解決了問題。

解題反思：這個方法比之方法1，在過程書寫上，要簡潔一些，可是在思維量上，卻又多出一些。關鍵是導角得到，而后得到第二次全等的關鍵要素CT=AF. 既然過點C作AF的平行線可以，那么過點A作CE的平行線也是可以的，過程同解法2，本文不再贅述。

解法3：通過審視題目的條件，觀察、分析發現，OE=OF=2，，猜想AG=CG，欲證線段相等，八年級上人教版教材中，常用方法是證全等。AG在中，想到嘗試過點C作軸交EF的延長線于點T，交x軸于點R，可得為等腰直角三角形，通過計算長度可得，，，，所以AE=CT，所以，從而證出AG=CG，使問題得到很好的解決。

解題反思：在幾何問題的思考中，往往忽略代數計算的因素，從而錯失完美的解題方法而走一些彎路。這種方法，充分考慮到了坐標系中的關鍵點的坐標，運用代幾結合的思想，稍加分析，結合構造蝴蝶形證中點法，添加輔助線，稍加計算得出了蝴蝶形全等的關鍵要素——AE=CT，令人發自內心的叫好！

三 ?解題導向

1. 加強數學建模思想的滲透

教什么，如何教？這是教師教學的永恒課題。基于數學核心素養的數學教學，不僅需要模仿、記憶，更需要理解，感悟。《義務教育數學課程標準》（2011年版）在“前言”中指出：“義務教育階段數學課程在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，應重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”經典例題蘊含著豐富的教學資源，教師要很好的挖掘。利用一些經典的問題，經典的解法，加強數學建模思想的滲透，將知識、題型、解法歸類和模型化，比如本題中中點模型之作垂線構造蝴蝶形、作平行線構造蝴蝶形、代幾結合計算線段長度直接借助坐標軸構造平行等等，使學生能夠辨認它屬于哪一類基本解題模型，使解題有章可循，有法可依，從而提高解題效率，并通過不斷積累運用，內化為自己的知識經驗。比如本題中看到，就想到等腰直角三角形，可以幫助自己導角，導邊，掃清全等關鍵要素的障礙。

2. 注意一題多解和多解歸一

一題多解，對于開闊學生思路，發散學生思維，提升學生邏輯思維能力，消化理解知識，融會貫通，有著許多優點，但這往往是教師的一廂情愿。因為人的思維本身是有惰性的，當一個學生解數學題時，特別是綜合題，能夠找到一種解法已經很不容易，因此往往在尋找到一種解法時，是沒有意識去尋找新的解法的。另外，思維是有慣性的，在沒有外力的情況下，學生很難跳出已有的思維模式，往往會一條道路走到黑，如何能解決這些問題呢？這就要發揮解題教學功能了。解題教學的過程就是一種觀察、嘗試、猜想、探索、實驗、論證、發現的過程，教師一定要帶領學生讀懂條件和結論，抓住題目中的條件特征、結論特征和圖形特征，從中尋找突破口。當呈現一種解法后，教師要及時追問：還有其它解法嗎？學生由此展開不同思路的探究與交流，并盡可能多地展示學生不同的思路和方法，最終比較解法優劣，優選最佳方法。同時，教師還要引導學生提煉各種解法的共性，進行多解歸一。比如本題，通過宏觀思考，我們會發現，前兩種解法第一次全等是相同的，導角的方法也是運用補角的定義，三種解法都運用了構造蝴蝶形證中點法，這可以加深學生對數學的理解，促進對通性通法的認識，提高解題技巧與能力，增強邏輯思維能力。沒有比較就沒有鑒別，一題多解和多解歸一的教學策略可以改變學生思維的方式，讓學生有一種如夢方醒的感覺，如本題對第三種方法發自內心的叫好，能夠使學生跳出已有的思維模式，有意識、有目標地多角度、多起點、多層次，立體地、全方位地思考問題。因此，對學生數學核心素養的培養而言，一題多解和多解歸一的教學是要比多解幾道題更為有效。

參考文獻：

[1]李愛民.在問題解決中提升邏輯推理素養[J].中學數學（初中版）.2019（2）：21.

[2]白雪峰.一道中考壓軸題的解法探究與教學思考[J].中學數學（初中版）.2018（2）：28-29.