基于大概念，注重結構化，指向整體性

馬雪琴

摘要：大概念是反映學科核心內容、本質、任務，蘊含學科思想方法的關鍵概念。在數學課程中，大概念應當貫穿于數學課程的全部，能被學生認知、理解并在理解的基礎上進行積極的應用。以人教版小學四年級下冊“三角形”單元整合為例，挖掘單元的核心性與共通性，以空間觀念培養作為大概念，打破原有的課程編排結構，將原有零散的知識串珠成鏈，助推學生數學核心素養的生成。

關鍵詞：大概念;結構化;整體性;三角形

大概念是指“有組織、有結構的數學知識和模型，它們能在較大范圍之內解決相關的數學問題，能讓離散的數學知識結構化”。基于大概念的數學教學能將零散的知識串聯起來，充分利用知識的張力，能使學生對數學有更深度的思考，提升學生數學核心素養。在人教版四年級下冊“三角形”的教學內容中，教學知識成點狀分布，知識的展現較為扁平，知識的深度不足、縱向連貫性不強。在不改變原有教學內容的情況下，筆者挖掘知識之間的聯系，對“三角形”這一單元進行整合，調整知識的順序。筆者以三角形的“三要素”為紐帶，在“空間培養”這一教學目標的牽引下，帶領學生逐步攻破三角形分類、三邊關系、內角和求解等眾多問題。在每個知識點的教學中，筆者突破單課思維，引導學生進行比較歸納，實現知識的縱向橫向拓展。在教學過程中，筆者增加圖形的變換，著力讓學生養成空間觀念，培養學生的邏輯思維。

一、基于大概念教學的單元整合特征

筆者以大概念為背景，對原有的課程內容和編排結構反復推敲，挖掘本單元知識的共通性和核心性。之后，以空間觀念為教學目標的“三角形”單元整合有了更為優化的特征。筆者以三角形的“三要素”為主線貫穿本單元的教學，旨在讓學生對三角形形成一個整體的認識。在結構上，筆者根據知識的契合度，調整知識的教學順序，課程設計注重孩子空間形態的養成，逐步教學課程內容。

（一）以組成要素為框架，強化整體性

筆者努力建立起有組織有結構的數學知識和模型，以強化課程的整體性。原有的課程內容和編排結構分為三角形的特性、三角形的三邊關系、三角形的分類、三角形的內角和、多邊形的內角和等多個板塊，每個板塊中的知識點與課時主題聯系緊密，但是課與課之間的關聯性小，知識點分散。單元整合后，“三角形”的教學圍繞三角形的“三要素”（三個點、三條邊、三個角）展開，有利于學生從整體上把握三角形的概念。

（二）以圖形變換為情景，挖掘深入性

筆者借助大概念，設計有深度的數學問題，激發學生對三角形進行更深入的思考。“三角形分類”概述了三角形的特點，筆者將圖形變換融入“三點移動看分類”的教學。為了讓學生有更深入的觀察與思考，筆者借助動態的圖形，讓學生通過觀察、比較、綜合、抽象分析，加深對三角形分類的認識。學生描述圖形的運動和變化，在觀察、比較后歸納總結三角形分類的特點，培養了自己的空間觀念。在圖形變換的情景中，筆者引導學生不斷探究各類三角形的特點，從而提升學生的學習力。

（三）以探究操作為手段，提高實踐性

大概念教學要求學生通過深入探究得到來之不易的成果，教師應當引導學生運用恰當的方法，形成對世界的數學化理解，借助多種形式的探究活動充分調動學生的感官參與，這樣的學習才是深刻、有效的。學生通過充分的動手操作，在“三點移動看分類”測量數據的過程中進一步感受三角形分類的特點，在“三邊組合知關系”擺木棒的過程中感受三邊組合形成三角形的要求，在“三角變換求角度”中使用量一量、拼一拼、剪一剪、折一折、算一算等方式感受三角形、多邊形內角和的求解，在探究操作的過程中促進學生空間觀念的建立和養成。

（四）以內部聯系為拓展，關注串聯性

在單元內容的排布上，依據知識關聯的緊密性調整。例如，“三角形的分類”主要通過觀察對比的方式，側重三角形特征的教學。為了與第一課時“三角形的特性”契合度更高，筆者將“三點移動看分類”前置教學。之后，筆者將“三角形穩定性”的內容置于“三角形三邊關系”中教學，也是基于課程設計與知識的關聯度的思考。

單元內容的教學著重小學數學知識前后的串聯性，既承接上一階段的學習基礎，也為下一階段的學習做鋪墊。例如，在“三角形的特性”教學中，學生對“繪制底邊上的高”有了一定了解后，筆者邀請學生繪制同底等高的不同的三角形，通過挖掘形態各異的同底等高的三角形，讓學生對五年級要學習的“等積變形”形成一定的知識經驗。

二、基于大概念教學的單元重構體系

基于大概念教學的“三角形”單元整合、重構了原來的教學體系：以空間觀念的培養為目標，以挖掘三角形的特征開篇，契合三角形的“三要素”（三個點、三條邊、三個角），串聯起本單元三邊關系、三角形分類、三角形內角和、多邊形內角和的教學，旨在讓學生對三角形形成一個宏觀的整體形態的認識。基于“三角形的分類”主要通過觀察對比的方式，側重三角形特征教學這一特點，將“三點移動看分類”前置，繼“三角形的特征”之后，通過對比分類，讓學生對三角形有一個更深入的認識。最后，復習課“打破三角形”，逆向鞏固單元知識點。以此順序展開，課程設計注重孩子空間觀念的養成，逐步教學課程內容。

（一）三角形的特征

在“三角形的特征”中，筆者首先教學三角形的基礎概念。在學生掌握了三角形的特征、要素、名稱等知識后，筆者創設了“三角形過城堡”的情境，讓學生初步感受三角形的高，并通過旋轉，讓學生感受“不同底邊對應的高不同”。之后，筆者要求學生掌握繪制銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形對應底邊上高的方法。在從易到難的繪制過程中，學生感受高在三角形中位置的變換。最后，筆者對知識加以拓展提升，讓學生繪制一個底為4cm、高為3cm的三角形。此舉意在讓學生初步認識一下同底等高的各類不同三角形，為五年級上冊的“等積變形”做鋪墊。

（二）三點移動看分類

1.靜態圖形中歸納分類依據

三角形分類的教學由三個點的位置變換展開，結合釘子板，以三點洞悉分類，培養學生知識遷移、獨立探究、對比發現的能力（如圖1所示）。

首先探究釘子板上怎樣的三個點能組成三角形。學生通過圈一圈發現：三點不在一條直線的時候，可以形成三角形;通過量一量，學生可以發現多數三角形三個點的距離都不相等，形成不等邊三角形。也有學生得到的三角形，其中兩條邊長度相等，構成等腰三角形。由此，筆者教學具體的等腰三角形知識，并引導學生認識特殊的等腰三角形——當三條邊都相等時，能形成等邊三角形。同時，教學等邊三角形的知識。而在教學按角分類的時候，筆者引導學生遷移角的分類學習三角形的分類知識，并以此為分類依據，感知直角三角形、銳角三角形與鈍角三角形。

2.動態圖形中求解分類范圍

當圖形變換時，我們的三角形會怎樣變化？

將三角形的分類拓展提升至圖形的變換，當三角形的頂點在同一垂線上上下移動時，對比發現按角分成的三類三角形的變換范圍。變換情景，在移動的垂線上，同一頂點與底邊構成不同的三角形，讓學生在圖形變換的過程中掌握同類三角形的分類范圍，對比發現三角形分類的閾值。

（三）三邊組合知關系

在教學三角形三條線之間的關系時，筆者設計讓學生動手操作的探索過程，鍛煉學生的邏輯推理、分析歸納及語言表達能力。首先邀請學生用拼接條拼搭三角形與其他多邊形，感受一旦確定三邊，三角形就不能變形的特性。在感知三角形的穩定性之后，再讓學生從穩定的角度來思考生活中哪些情況下用三角形可以達到更加牢固的目的。

在拼搭過程中，學生很容易發現三角形兩邊之和大于第三邊才能組成三角形。此時，筆者結合圖形引導學生利用兩邊之差發現：三角形兩邊之差小于第三邊，才能組成三角形。通過進一步探究發現，只計算一次就能判斷三邊能否構成三角形，即只需要把較短的兩邊相加大于第三邊，或者只需要把較長的兩邊相減小于第三邊就可以。所以，在第三邊范圍求解時，通過假設與極限的思想，要求第三邊最長時，則已知的兩邊就是較短的兩條邊;要求第三邊最短時，則已知的兩邊就是較長的兩條邊。

（四）三角變換求角度

筆者將探究的過程交給學生，讓學生自主探究、驗證“三角形的內角和為180°”。本課內容計劃用兩個課時完成。

第一課時為“利用三角形的角度解決各類問題”。學生已知三角形的內角和是180°，此課是讓學生自主探究“為什么三角形的內角和為180°”，鍛煉學生的綜合運用能力。學生在探究過程中使用量一量、拼一拼、剪一剪、折一折、算一算等方式，更具體地認識了“三角形的內角和為180°”的原理。繼而，筆者讓學生乘勝追擊，探索求解三角形中各內角度數的方法。

第二課時為“運用三角形內角和解決多邊形內角和的問題”。筆者在課前小試牛刀，讓學生探究四邊形的內角和、列舉多種四邊形，以此加深“任意四邊形都可分割成三角形”的求解內角和的意識。筆者在課堂活動中引入五邊形與六邊形，并延續“將任意邊形分割為三角形”的思路，讓學生從規則圖形類推到不規則圖形，由不同的分割方法得到不同的求解方式，探索求解任意圖形內角和方法之間的聯系。

三、基于大概念教學的課程效果

（一）教學情景創新，分析歸納能力提升

基于三角形分類的特點，筆者將三角形的分類置于動態變化的過程中，引導學生為三角形的分類找出閾值，使學生的學習歸納能力得以提升。筆者打破傳統的知識考察方式，關注學生對知識掌握的整體性，豐富作業形式，讓學生結合三角形的性質和三角形的分類知識，介紹我們的好朋友——三角形。學生通過歸納整理，進一步鞏固了知識體系，切實感知知識由小概念融入更大概念的過程。

（二）串聯知識體系，邏輯推理能力提升

在教學過程中，筆者關注知識的前后聯系，挖掘概念之間的共通性與包含性。以三角形“三要素”為紐帶，學生有了主線思維，三角形的知識不再是零散的、支離破碎的。筆者在“三點移動看分類”中以“角的分類”這一概念作為已有經驗，引入三角形分類的教學，讓學生在先前習得的學習經驗上再創造，不斷考驗學生的邏輯推導能力。同樣，筆者讓學生繼小組探究四邊形內角和之后再探索多邊形內角和，增強學生的邏輯推理能力。單元整合后的教學，以大概念為抓手，知識的前后串聯性更強，更能鍛煉學生的邏輯推理能力。

（三）通過實踐操作，問題解決能力提升

本單元注重學生的實踐生成，在多個課時中設計實踐任務，輔助學生三角形知識在空間中的架構。以下以第四板塊“三角變換求角度”的實踐探究為例。

基于讓學生自主探究、提升其空間思維的目的，筆者在“三角形”的整合教學中設計了一系列的探究活動，通過動手實踐充分調動學生的感官參與。在教學三角形內角和時，將求證的過程作為探究任務，讓學生通過動手操作，使用多種方法驗證三角形的內角和為180°，將問題拋給學生解決，以學生的成果作為課堂教學的依據。

小組合作能夠提高實踐能力。在探索多邊形內角和求解時，筆者將求解分割的過程分為課前活動和課堂探究兩部分，將挖掘規律的過程交給學生，培養學生動手探究的能力。在通過“畫一畫”分割的過程中，學生對多邊形又有了不一樣的理解，發現任意四邊形都可分割成“三角形”來求解內角和，以此解決多邊形內角和求解的問題，學生的問題解決能力得到了提升。

數學大概念教學，能讓離散的數學知識結構化。單元整合后的“三角形”教學以三角形的“三要素”為線索，調動了學生的參與積極性，使學生對數學有了更深度的思考，對周邊事物有了更多數學化的思考，提升了學生的數學核心素養。筆者對本單元最為廣泛、最強有力的適應性觀念進行提煉，對“三角形”單元整合以空間觀念培養為教學目標，挖掘多種形式的教學手段，增加教學情景的多樣性，幫助學生形成對世界的數學化理解。

參考文獻：

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（責任編輯：奚春皓）