算術平均的正弦與正切平均確界的改進*

楊 月 英

(湖州職業技術學院 機電與汽車工程學院, 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

2015年，Witkowski介紹了正弦平均Msin(a,b)和正切平均Mtan(a,b)：

(1)

并證明了不等式

Mtan(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，其中A(a,b)=(a+b)/2是兩個正數a和b的算術平均[1]1 071-1 092.

最近，許多學者研究了正弦平均Msin(a,b) 和正切平均Mtan(a,b) ，發現了許多重要的不等式[1]1 071-1 092 [2]1-11 [3]23-32 [4]383-392.

Nowicka和Witkowski證明了不等式

(2)

α2Msin(a,b)+(1-α2)Mtan(a,b)

(3)

對所有a,b>0且a≠b,當且僅當α1≤2/3,β1≥0.719 6L,α2≤0.655 1L和β2≥2/3成立[4]383-392.

根據不等式(2)和(3)可推得

(4)

對所有a,b>0且a≠b成立.

本文的研究目的是加細不等式(4)，得到最佳參數λ和μ使得雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立.

二、主要結果

為證明本文的主要結果，需要以下2個引理：

也在(a,b)內單調上升(下降)；如果f′(x)/g′(x)的單調性是嚴格的，則結論中的單調性也是嚴格的[5]10.

引理2函數

在區間(0,1)內是嚴格單調上升的且值域為：

證明對函數φ(x)求導，可得：

(5)

其中，

φ1(x)=-x2[2cos3(x)+4cos2(x)+5cos(x)+1]+
xsin(x)[3cos2(x)+4cos(x)+2]+sin2(x)cos(x)[cos(x)+2].

(6)

應用冪級數展開式

可得：

(7)

(8)

從等式(6)和不等式(7)(8)使得

(9)

對所有x∈(0,1)成立.

根據等式(5)和不等式(9)可得函數φ(x)在區間(0,1)內單調上升.注意到：

(10)

所以引理2容易從等式(10)和函數φ(x)的單調性得到.

下面證明本文的主要結果.

定理1雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ≤4/5，μ≥0.838 6L.

證明由于正弦平均Msin(a,b)、正切平均Mtan(a,b)和算術平均A(a,b)都是對稱且一階齊次的，不失一般性，假設a>b>0.設x=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，則從等式(1)可得：

(11)

從等式(11)可得：

(12)

(13)

簡單計算可得：

f1(0+)=f2(0)=0,f(x)=f1(x)/f2(x)，

(14)

(15)

(16)

作為定理1的應用，可以得到如下推論1(Jordan不等式)：

推論1設λ≤4/5和μ≥0.838 6L,則雙向不等式

對所有x∈(0,1)成立.