一個特殊擬算術平均的兩個精確不等式*

錢 偉 茂

(湖州職業技術學院 繼續教育學院, 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

設r∈(0,1)，第一類和第二類完全橢圓積分κ(r)和ε(r)分別定義為：

一直以來，完全橢圓積分得到了比較深入的研究.關于特殊情形，國內外學者證明了許多關于第一類和第二類完全橢圓積分的重要性質和不等式.

1998年，Toader介紹了一個關于兩個正數a和b的經典擬算術平均Mp,n(a,b)[2]358-368：

其中，rn(θ)=(ancos2θ+bnsin2θ)1/n.當n≠0和r0(θ)=acos2θbsin2θ時，p是一個嚴格單調函數.

(1)

兩個正數a和b的幾何平均G(a,b)、算術平均A(a,b) 和反調和平均C(a,b) 分別定義如下：

(2)

并且有熟知不等式

G(a,b)

(3)

對所有a,b>0且a≠b成立.

關于特殊的擬算術平均E(a,b)的其他二元平均和其組合的比較研究，目前已取得了一定進展.錢偉茂等證明了雙向不等式[3]1-10

Gp[λa+(1-λ)b,λb+(1-λ)a]A1-p(a,b)

袁琴等證明了雙向不等式[4]12-16

Cα1(a,b)H1-α1(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤7/16，β1=1，α2≤4/π2，β2≥7/16，其中H(a,b)=2ab/(a+b)是兩個正數a和b的調和平均.

趙鐵洪等證明了雙向不等式[5]1-12

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤3/16，β1≥64/π2-6=0.484 5L,α2≤3/16，β2≥(5ln2-ln3-2lnπ)/(ln7-ln6)=0.503 8L.

王淼坤等證明了雙向不等式[6]821-841

α1A(a,b)+(1-α1)G(a,b)

(4)

α2A(a,b)+(1-α2)H(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當α1≤3/4，β1≥8/π2，α2≤8/π2,β2≥7/8.

從不等式(3)和(4)使得

G(a,b)

(5)

對所有a,b>0且a≠b成立.

根據不等式(5)，本研究發現最佳參數λ1,λ2,μ1,μ2∈,使得雙向不等式

λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立.

二、主要結果

為證明本文的主要結果，需要以下4個引理：

也是單調遞增(遞減)的.如果f′(x)/g′(x)是嚴格單調的，則上述結論的單調性也是嚴格的[1]10.

引理3函數

在區間(0,1)內是嚴格單調遞增的且值域為(1/4,4/π2).

證明函數f(r)可以分解為：

(6)

其中，

設g1(r)=(2/π)2[2ε(r)-r′2κ(r)]2-r′2，g2(r)=r2.簡單計算可得：

g1(0+)=g2(0)=0,g(r)=g1(r)/g2(r)，

(7)

(8)

(9)

所以，引理3容易從等式(9)和函數f(r)的單調性得到.

引理4函數

在區間(0,1)內是嚴格單調遞增的且值域為(1/6,32/π4).

證明設h1(r)=(2/π)4[2ε(r)-r′2κ(r)]4-(1-r4)，h2(r)=2r2(3+r2).簡單計算可得：

h1(0+)=h2(0)=0,h(r)=h1(r)/h2(r)，

(10)

(11)

其中，

對J(r)關于r求導可得：

(12)

其中，

(13)

從引理2(1)、2(2)、2(3)和等式(13)使得：

(14)

對所有r∈(0,1)成立.

(15)

下面給出本文的主要結果及其證明.

定理1雙向不等式

λ1C(a,b)+(1-λ1)G(a,b)

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ1≤1/4，μ1≥4/π2=0.405 2L.

證明根據G(a,b)、C(a,b)和E(a,b)是關于正數a和b對稱且一階齊次的，不失一般性，假設a>b>0.設a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(1)和(2)得到：

(16)

(17)

從等式(16)和(17)得到：

(18)

其中，函數f(r)定義在引理3.所以，定理1容易從引理3和等式(18)得到.

定理2雙向不等式

對所有a,b>0且a≠b成立，當且僅當λ2≤1/6和μ2≥32/π4=0.328 5L.

證明不失一般性，假設a>b>0.設a=1,b=[(1-r)/(1+r)]2∈(0,1).從等式(16)和(17)可得：

(19)

其中，函數h(r)定義在引理4.所以，定理2容易從引理4和等式(19)得到.

從定理1和定理2可以給出如下推論：

推論設r∈(0,1)，a=1和b=r′2，則雙向不等式

對所有r′∈(0,1)成立.