數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果綜合評(píng)價(jià)模型的構(gòu)建*

王 成 強(qiáng)

(成都師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611130)

主成分分析(PCA)模型是由K.Pearson和H.Hotelling等發(fā)展起來(lái)的統(tǒng)計(jì)模型[1]1-79[2]559-572[3]417-441，它是一種無(wú)監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法，在數(shù)據(jù)可視化、統(tǒng)計(jì)決策和統(tǒng)計(jì)測(cè)度等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[4]39-43[5]96-99.其主要作用是降低數(shù)據(jù)維數(shù)、減少數(shù)據(jù)冗余、過(guò)濾數(shù)據(jù)噪聲等.最小二乘線性回歸(OLS)模型利用最小二乘方法，為隨機(jī)變量設(shè)計(jì)出“最優(yōu)”的線性關(guān)系表達(dá)式，或?yàn)閿?shù)據(jù)找出“最優(yōu)”的擬合平面，進(jìn)而建立數(shù)據(jù)組之間近似的線性關(guān)系，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)和社會(huì)科學(xué)(如教育學(xué))等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.PCA模型和OLS模型在綜合評(píng)價(jià)中也有重要應(yīng)用.綜合評(píng)價(jià)模型是指通過(guò)選擇建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把多個(gè)描述被評(píng)價(jià)事物不同方面且量綱不同的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成無(wú)量綱的相對(duì)評(píng)價(jià)值，并綜合這些評(píng)價(jià)得出對(duì)該事物的一個(gè)整體評(píng)價(jià)方法[6]12-163[7]119-121.除了PCA模型和OLS模型外，常用的綜合評(píng)價(jià)模型還有層次分析(AHP)法、模糊綜合評(píng)價(jià)(FCE)法、Delphi法、灰色關(guān)聯(lián)度分析(GRA)法、TOPSIS技術(shù)等[6]12-163[7]119-121.

與其他類(lèi)課程一樣，數(shù)學(xué)類(lèi)課程的教學(xué)效果與學(xué)習(xí)效率評(píng)價(jià)也是該類(lèi)課程教學(xué)評(píng)價(jià)的重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)類(lèi)課程的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)方式及其指標(biāo)體系一直是教育界的研究熱點(diǎn).目前，國(guó)內(nèi)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)評(píng)價(jià)研究成果十分豐富且極其系統(tǒng)[8]224-225，而國(guó)內(nèi)有關(guān)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)評(píng)價(jià)方面的研究成果卻相對(duì)較少.本文闡述PCA模型與OLS模型在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果評(píng)價(jià)中的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)領(lǐng)域，有關(guān)教學(xué)效果評(píng)價(jià)已出現(xiàn)了一些研究成果.這些成果都是探討數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)模式選擇等問(wèn)題的.例如：向昭銀等從若干方面論述了研究型教學(xué)融入數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的一些教學(xué)原則[9]151-154；唐玲艷等從若干教學(xué)環(huán)節(jié)，分享了關(guān)于加強(qiáng)習(xí)題課建設(shè)、提高數(shù)學(xué)分析課程教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)體會(huì)[10]91-94.本文側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)效果進(jìn)行定量與定性相結(jié)合的測(cè)評(píng)，試圖建立相應(yīng)的綜合評(píng)價(jià)模型.

一、PCA、OLS模型與算法

記

這里及以后的Span(·)表示由向量或向量組張成的線性空間；

……

記

……

記

步驟 4檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c修正模型.

二、實(shí)證研究

1.數(shù)據(jù)來(lái)源及說(shuō)明 本次實(shí)驗(yàn)的周期是成都師范學(xué)院2019-2020學(xué)年第一學(xué)期，共96學(xué)時(shí).通過(guò)全程實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，得到了成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2018級(jí)3班的數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果原始數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)含有6項(xiàng)指標(biāo)：規(guī)范解答教材中的課后習(xí)題；正確解答教材中的課后習(xí)題；創(chuàng)新解答教材中的課后習(xí)題；推廣或改進(jìn)教材課后習(xí)題中的結(jié)論；合理提出、分析并正確解答新問(wèn)題；探究、發(fā)現(xiàn)并證明新結(jié)論.為方便數(shù)學(xué)建模，引進(jìn)下列變量:X1為規(guī)范解答教材中的課后習(xí)題；X2為正確解答教材中的課后習(xí)題；X3為創(chuàng)新解答教材中的課后習(xí)題；X4為推廣或改進(jìn)教材課后習(xí)題中的結(jié)論；X5為合理提出、分析并正確解答新問(wèn)題；X6為探究、發(fā)現(xiàn)并證明新結(jié)論;Y為實(shí)驗(yàn)對(duì)象數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)質(zhì)量的多次監(jiān)測(cè)的平均成績(jī).

2.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果的綜合評(píng)價(jià) 利用Matlab軟件，根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，選擇前三主成分(數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示，其累計(jì)貢獻(xiàn)率約為99.8%)，忽略其他“次要”主成分，其中：

第一主成分為數(shù)學(xué)分析習(xí)題課對(duì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力的培養(yǎng)效果，記為:

M1=0.577 2X1+0.816 6X2+0.004 9X3+0.007 5X4-0.001 7X5-0.000 4X6.

第二主成分為數(shù)學(xué)分析習(xí)題課對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)效果，記為:

M2=0.002 1X1-0.012 4X2+0.555 2X3+0.830 4X4+0.023 4X5+0.038 3X6.

第三主成分為數(shù)學(xué)分析習(xí)題課對(duì)學(xué)生研究能力的培養(yǎng)效果，記為:

M3=-0.056 9X1+0.042 2X2-0.024 7X3-0.036 6X4+0.546 3X5+0.833 4X6.

進(jìn)一步利用Matlab軟件進(jìn)行OLS分析，得:

以及信息表(參見(jiàn)表1)：

表1 以M1、M2、M3為回歸變量的回歸分析

以及信息表(參見(jiàn)表2)：

表2 以M1、M2為回歸變量的回歸分析

與表1相比，表2中R2與修正R2的值更接近1，P值與MSE更接近0.這些都蘊(yùn)含著模型=0.367 5M1+0.310 6M2+1.795 9比模型=0.367 7M1+0.310 4M2-0.006 7M3更佳.

由圖1可以看出,學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力方面表現(xiàn)越好，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課的教學(xué)效果就越好.與只看學(xué)生的一次性考試成績(jī)相比，本文給出的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果既能充分體現(xiàn)該課程整體教學(xué)質(zhì)量的優(yōu)劣，又能恰到好處地顧及習(xí)題課的日常課堂教學(xué)效果評(píng)價(jià)，幫助教師實(shí)時(shí)有效地監(jiān)測(cè)課堂教學(xué)效果.

圖1 數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果評(píng)價(jià)結(jié)果散點(diǎn)圖

三、結(jié) 語(yǔ)

本項(xiàng)目選取成都師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2018級(jí)3班學(xué)生為研究對(duì)象，以學(xué)生規(guī)范解答教材中的課后習(xí)題，正確解答教材中的課后習(xí)題，創(chuàng)新解答教材中的課后習(xí)題，推廣或改進(jìn)教材課后習(xí)題中的結(jié)論，合理提出、科學(xué)分析并正確解答新問(wèn)題，探究、發(fā)現(xiàn)并證明新結(jié)論為評(píng)價(jià)指標(biāo)，通過(guò)PCA模型找出主成分，進(jìn)而研究了PCA-OLS統(tǒng)計(jì)模型在數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)效果綜合評(píng)價(jià)中的應(yīng)用.與其他類(lèi)型的綜合評(píng)價(jià)模型相比，PCA-OLS統(tǒng)計(jì)模型能排除數(shù)據(jù)搜集過(guò)程中摻雜的“噪聲”，具有明顯的可靠性.本項(xiàng)目的研究結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課對(duì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力和研究能力的培養(yǎng)至關(guān)重要.