線上線下一體化教學研究與實踐
——以打造線性代數金課為例

周永強，李燕娟

(1.蘭州理工大學 理學院，蘭州 730050； 2.蘭州交通大學 博文學院 教務處，蘭州 730000)

2018年6月21日，教育部部長陳寶生在新時代全國高等學校本科教育工作會議上首次提出“金課”概念[1]。同年11月24日，教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學教學論壇”上作了題為“建設中國金課”的報告，該報告中將“金課”概括為“兩性一度”，即“高階性、創新性、挑戰度”[2]。陳建龍基于東南大學線性代數的教學實踐，從講清幾個關系、重點與難點的處理、挑戰與深化三方面給出了具體的教學方案[3]。李艷艷將線性代數課程線上利用中國大學MOOC、全國高校數學微課程教學設計競賽一等獎的獲獎作品，線下采用翻轉課堂、案例式、探究式教學[4]。單陸冬棟提出了線上與線下聯合、實現一體化并與“互聯網+”相結合的混合式教學模式[5]。

1 以學生為主體，教師為主導，線上線下教學深度融合

線性代數32學時中，16學時為線上直播，16學時為線下講授，穿插進行，線上線下有機結合。

線上直播前，對于學生：利用中國大學MOOC、超星泛雅平臺、全國高校數學微課程教學設計競賽一等獎的獲獎作品、雨課堂等資源預習自學；在平臺上簽到。對于教師：提醒學生課前預習；提前制作PPT或學科組集中備課制作PPT或使用優質在線資源；準備隨堂提問內容、作業題目；做好直播的課堂設計(設計內容講解時間、應用案例、相關故事等)。

線上直播中，對于學生：對于自主學習時遇到的問題，隨時在直播課堂中提問；做好課堂筆記。對于教師：在線直播本節內容；解答學生提出的問題；為了避免線上直播時學生存在“掛機”情況，增加課堂互動(可隨時提問、討論)，減少線上直播的不可控性。

線上直播后，對于學生：消化本節課所學知識；完成教師布置的作業，以班級為單位，注明專業+名字+學號，集中發給各班學習委員，由學習委員打包發給教師。對于教師：總結經驗，撰寫課程小結；查閱作業，給學生反饋存在的問題。

線下講授中，教師要合理設計講授內容。線性代數包含的理論性知識點較多，對于相對抽象的內容，僅僅通過優質在線資源預習和線上直播，很難能使學生深刻理解和熟練應用。因此，教師進行線下教室“面對面”講授很有必要，比如矩陣的乘法、矩陣的秩、向量組的線性相關性等內容，通過黑板板書并結合案例講解更容易被學生接受和理解。

2 打造線上線下一體化協同教學金課，完成課堂從“單工”到“全雙工”的參與式創新性轉變

學生返校后絕大部分高校要采用線下教學，在此背景下，如何線上線下一體化協同教學，改變傳統教學教師的“單方面輸出”，將課堂從“單工”到“全雙工”的參與式創新性轉變，是本文研究的主要方向。

線下課堂教學之前，督促學生基于“互聯網+”，利用碎片化學習時間搜集查閱豐富的線上網絡資源，線上講授之后將重要知識點錄制15～20 min微課，定期推送給學生。線上搜集工作不宜過多，而且要有一定的趣味性、創新性、高階性，以便激發學生的興趣。下面通過線性代數中的幾個重要知識點，研究與實踐線上線下一體化協同教學：

第一，線下講授克拉默(Cramer)法則之前，先向學生提出問題：Cramer法則是不是Cramer最先提出來的。一般情況下，用人名來命名一個法則或定理，這個法則或定理多半是由這位數學家做出來的，但Cramer法則卻是個例外，以此引發學生的好奇心。在好奇心的驅使下，學生會主動線上查閱Cramer的生平、學習經歷、主要著作等。學生查閱資料的過程也是學習的過程，也能啟迪學生思考與探索。1750年，Cramer在其著作“代數曲線的分析引論”中，為了確定經過5個點的一般二次曲線的系數，應用了著名的“Cramer法則”，即由線性方程組的系數確定方程組解的表達式，但該法則于1729年就由英國數學家麥克勞林得到了，于1748年發表，Cramer的優越符號使之流傳，這提示學生合理使用符號的重要性。

完成Cramer法則的線下講授之后，將Cramer法則定理、逆定理、齊次線性方程組只有零解及有非零解的條件等知識點錄制15min左右視頻，以微課形式推送給學生，以供學生線上利用碎片化時間學習。

第二，線下講授齊次線性方程組解的結構之前，為了說明系數矩陣的秩在線性方程組中的含義，即系數矩陣的秩表示“齊次線性方程組中真正起作用的方程的個數”，安排學生線上重溫“韓非子·內儲說上”中“濫竽充數”的故事。學生能夠在重溫故事中了解到齊宣王的300人吹笙樂隊中，其實只有除南郭處士之外的299人會吹，也即是樂隊中真正起作用的只有299人，就好比系數矩陣的秩表示齊次線性方程組中真正起作用的方程的個數。齊湣王繼位之后，好一一聽之，不會吹笙的南郭處士在樂隊中就無立足之地了。本故事還具備思政效果，教育學生學得真本領方能立于不敗之地。

完成齊次線性方程組的線下講授之后，將n元齊次線性方程組只有零解及有非零解的充要條件、基礎解系的求法、通解的表示錄制20min左右視頻，以微課形式推送給學生，以供學生線上利用碎片化時間學習。

第三，線下講授方陣的特征值與特征向量之前，先讓學生線上做兩個工作：其一，查閱一個故事，即動力系統與斑點貓頭鷹：1990年，在利用或濫用太平洋西北部大面積森林問題上，北方的斑點貓頭鷹成為一個爭論的焦點。如果采伐原始森林的行為得不到制止，貓頭鷹將面臨滅絕的危險。數學生態學家R.Lamberson加快了對斑點貓頭鷹種群的動力學研究，并建立了種群模型形如的差分方程。這種方程被稱為離散動力系統，描述系統隨時間推移的變化過程。特征值與特征向量是剖析動力系統演變的關鍵。讓學生了解特征值與特征向量出現的一個應用背景。其二，線上搜集A.L.Cauchy(柯西)、A.Cayley(凱萊)等在特征值與特征向量方面做出的突出貢獻。

方陣的特征值與特征向量線下講授時給出定義：Aξ=λξ。這是一個神奇的定義，因為一個偌大的矩陣的效應，竟然不過相當于一個小小的數λ，這與學生線上查閱的資料相呼應，加深學生對本部分內容的理解。

3 結語

線上線下一體化教學深度融合，將打破傳統課堂“填鴨式”、“單方向輸出”及原有線上教學“孤立化”的學習模式，線上線下一體化教學將成為一場適應時代潮流的教學內容、教學方式方法的革命。