通過直觀想象培育學生的核心素養①
——一元二次方程的解法“數學實驗室”欄目教學為例

程 花

(徐州市第三十四中學 221008)

直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題.主要包括：可以通過圖形描述數學問題，建立幾何圖形與數與代數的聯系，構建直觀的數學模型，探索解決問題的思路.就學科素養而言，數、形是數學研究和學習的基本對象.直觀想象是重要的數學核心素養內容之一.“數學實驗室”欄目教學突出在“做數學”中“學數學”，引導學生通過“做”感受數學、探索知識和結論，應用所學知識解決簡單問題.“數學實驗室”欄目教學是培養學生直觀想象的重要載體，是課堂教學中培養學生直觀想象核心素養的重要陣地.

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出，空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖像想象出所描述的實際物體；幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題.幾何直觀和空間觀念是緊密相連的，直觀想象是幾何直觀和空間想象觀念的的發展和融合.

1 案例分析

在蘇科版數學教材設置中，以“生活 數學”、“活動 思考”為主線，設置了“做”數學欄目：“數學實驗室”.欄目教學旨在引導學生通過“做”感受數學知識的生成過程，在體驗中探索知識和結論，應用所學知識建立解決問題的數學模型，尋找探索解決問題的路徑.蘇科版數學九年級上冊第一章一元二次方程的解法，教材中“數學實驗室”欄目：“矩形通過割、拼、補成為一個正方形”，教材旨在引導學生用圖形描述數學問題，從而利用圖形理解代數問題；學生通過圖形的幾何直覺分析問題解決問題，形成化抽象為直觀的形象思維，實現幫助學生在“做數學”中“學數學”，在直觀操作中感知事物的形態與變化的可能，在體驗中實現幫助學生借助空間想象構建描述問題的直觀數學模型，利用圖形探索解決數學問題的思路.

我們先來看看教材給出的“數學實驗室”欄目內容：

教材內容中，一元二次方程的解法第一課時直接開平方法解方程，學生對于一元二次方程的解法已經有了宏觀的認識，明確了解一元二次方程的根本思路就是“化二次為一次”的“降次”思想，學生也在思想上會思考“任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎”，為第二課時配方法解一元二次方程做了思維上的鋪墊與預設.本節課是第二課時，從設問“如何解方程x2+6x+4=0？”，引導學生思考能否轉化成“(x+h)2=k”的形式，進而直接開平方.教材中教學思路的引領，符合學生“化未知為已知”的認知規律.教材中“數學實驗室”欄目教學安排在例題講解之后，引導學生通過拼圖的方式描述配方的過程，幫助學生從直觀面積平方到代數的配方，感受“幾何圖形”與“數與代數”的聯系.在實際教學中，我們可以讓學生課前準備好實驗材料，自己制作一個“長比寬多2的矩形”紙片，以增強直觀印象和空間體驗，感受建立幾何直觀模型的過程，實現“數”到“形”的直觀轉變，“形”到“數”的抽象推理.

2 教學過程

師：用直接開平方法解的一元二次方程具有怎樣的形式？

生：(x+h)2=k

師：配方法解一元二次方程與直接開平方法解一元二次方程之間有什么聯系？

生：只要先把一個一元二次方程變形為(x+h)2=k的形式，就可以通過直接開平方法求出方程的解.

師：配方法解一元二次方程的關鍵步驟在哪里？

生：把一個一元二次方程變形為(x+h)2=k的形式.

師：配方時，方程兩邊同時加上的常數是如何確定的？

生：一次項系數的一半的平方.

師：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數一半的平方？

生：完全平方公式形式決定了.

師：很好！大家對完全平方公式掌握熟練，在多項式的變形過程中也就水到渠成.那么，從幾何圖形的角度，完全平方表示什么呢？

生：表示正方形的面積.

師：非常好！之前我們嘗試過用面積證明公式，大家能不能思考，用幾何圖形的面積描述配方法解一元二次方程？

師：用面積法描述公式的本質是什么？

生：一個幾何圖形，用不同的方式分割或拼補，面積表達形式不同但本質相同，所以是恒等式.

師：是的，圖形的拼補形式不同，但拼補前后的圖形面積是相等的.同學們試一試，用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0，能不能用圖形的面積描述配方的過程，進而驗證配方法解一元二次方程的幾何意義.

師：如何轉化方程的形式，表達面積？

生：x2+2x-24=0變形為x(x+2)=24，一個長為(x+2)，寬為x，面積是24的矩形.

生：變成正方形的面積.

師：非常好！同學們可以開動腦筋，分組實驗了.

學生積極思考，踴躍做著各種嘗試，小組活動氣氛活躍，同學們在操作中思考，在思考中嘗試，在“做數學”中“學數學”，在拼補中嘗試構建幾何模型解決問題.

師：通過拼補操作，同學們是如何思考將長方形轉化為正方形的？

生：長為(x+2)，寬為x的矩形，要拼接為正方形，首先找到邊長為x的正方形，因此，需要剪下長為2，寬為x的矩形.剪下的矩形一邊長是x，可以與邊長為x的正方形拼接，所以將其均分為長為1，寬為x的矩形.拼接后發現，恰好需要一個邊長為1的正方形，就可以拼成一個正方形.所以需要添加一個面積為1的正方形，即方程的兩邊都+12.至此，x2+2x+12=24+12，即(x+1)2=25.

師：同學們試想一下，如何用拼圖描述方程x2+6x=15的配方過程？又該添加面積是多少的小正方形呢？

偷點時間給自己，無論是干一件事，學一門技能，還是從事一項研究，首先要源于真心熱愛，癡迷于此；否則，每天的起早貪黑將是很痛苦的事。如果因為心中有熱愛，認定這樣做有價值，所以才舍得把時間用在這上面，愿意獻身這一事業，那就會甘之如飴，樂此不疲。其次，偷點時間要堅持數年才會有效。倘若一曝十寒，想起來就起五更睡半夜，想不起來就忘在腦后，三天打魚兩天曬網，間歇性地拼搏，而不是常態化地努力，那是很難見到成效的。還有，既然是“偷”時間，那就要不露聲色，悄悄地進行，沒必要大張旗鼓，嚷得全天下都知道，我要用功了，我要發憤了。要不然，你炫耀半天，啥事也沒干成，那無疑是貽人笑柄。

(學生邊操作，邊討論，邊思考)

生：添加面積為9的小正方形.

師：用拼圖描述方程x2+5x=10的配方過程？又該添加面積是多少的小正方形呢？

(學生思考的時間明顯縮短)

師：你發現了什么規律？

生：拼圖時，添加小正方形的面積是一次項系數一半的平方.

師：為什么？

生：第一次找正方形，剪下的矩形一邊是一次項系數，另一邊是找到正方形的邊長，需要將剪下的矩形長度為一次項系數的邊長均分，才能恰好與找到的正方形拼補，拼補后，空缺的小正方形邊長就是一次項系數的一半.所以，添加小正方形的面積是一次項系數一半的平方.配方的過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數一半的平方.

通過學生的操作實驗，學生很直觀的體驗配方法解一元二次方程的過程，學生在體驗中構建幾何模型，“數”與“形”的融合水到渠成，學生的直觀想象能力在潛移默化中培養，于無聲處浸潤直觀想象核心素養.

3 案例反思

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數、形是數學研究和學習的基本對象.學生從直觀教學中抽象幾何圖形符合學生認識事物的認知特點，也符合學生的認知規律.“數學實驗室”欄目的教學本質就是引導學生在“做數學”中“學數學”，在“做”中“感悟”.蘇科版數學教材中，“數學實驗室”欄目設置較多，看似可有可無的“操作”，其實都是學生直觀想象核心素養培養的重要載體，是學生喜愛符合學生認知的教學內容.“做數學”中“學數學”是培育學生核心素養的重要載體，如何在初中數學教學中，引導學生感知事物的形態，構建數學直觀模型，培養學生的直觀想象核心素養，筆者有以下教學體會.

(1)畫圖操作——從基本的操作入手，培養學生對圖形的感知能力.

學生初學幾何時，是從數字到圖形最基本的圖形感知開始的.基本的點、線，到三角形、多邊形直線型圖形感知，再到弧、圓、雙曲線、拋物線等曲線型圖形感知，都需要學生從操作的感知中建立圖形模型，手、腦并用增強學生的感知能力.因此，教學中，引導學生認識圖形，動手畫畫圖，掌握工具畫圖、尺規作圖，并能準確的畫出平面圖形.正所謂熟能生巧，學生在動手畫圖的潛移默化中，感知圖形的形成與變化，理解圖形之間的內在關系并發現圖形之間的變化關系，提高對圖形的認識并能夠構建直觀的數學模型解決問題.如：利用三角板和直尺過一點畫已知直線的垂線，利用三角板和直尺過直線外一點畫已知直線的平行線，網格圖中，用直尺畫已知直線的垂線(平行線)等等，實際教學中，教師放手讓學生自主操作探究的教學效果要好于教師的直接經驗介紹，學生在操作中自主探討，自主畫圖的過程中掌握畫圖技巧，感受事物的形態與變化，感受從“事物”(生活)到“圖形”(數學)的數學模型建立過程，形成“利用幾何圖形”理解“數與代數”的能力.

(2)識圖理解——簡單圖形到復雜圖形的過渡，提高學生對圖形的理解能力.

識圖包含認識圖形和理解圖形.學生畫圖是最基本的感知，對于圖形，還需要學生能夠用數學語言描述和從圖形中找到數學問題.主要包括：準確識別圖形并用語言或符號表示空間圖形的位置關系；從復雜的圖形中區分出基本圖形，并找到基本圖形中的數量關系；準確地用數學語言(文字語言、符號語言、圖形語言)描述數學問題的本質，尋求解決問題的方法.首先，教學中，教師要引導學生熟練掌握三種數學語言，并能在解決問題中靈活轉化；其次，教學中，教師要引導學生善于“以類聚圖”，發現問題的本質.如：在學習完圖形的全等內容后，教師要引導學生歸納，圖形全等的基本樣態總結.

再如，對于圖形的相似，求陰影圖形的面積等知識，都可以做基本圖形的形狀歸類，通過歸類總結，學生對相應知識有了更深刻的認識，解決問題時，有意識的引導學生從復雜的圖形中區分基本圖形，提高學生解決問題的能力.再次，教師引導學生在操作中感悟，在感悟中發現問題的歸類，尋求解決問題的方法.如：格點圖形中畫已知直線的平行線，畫已知直線的垂線問題，教師引導學生反復畫圖操作，引導學生交流、歸納畫圖經驗，教學中發現，學生自行操作感悟的經驗感知效果明顯好于教師的經驗教授.

(3)實驗體驗——發展空間想象，實現直觀想象核心素養培養的重要載體.

數學實驗是數學學科發展過程中的重要研究方法，是實驗者借助一定的物質手段，通過動手動腦實現的過程體驗，實現直觀感知，借助空間想象，構建數學問題模型解決問題的學習過程.直觀想象是幾何直觀與空間想象的融合，直觀與想象是連續的思維整體，需要對記憶表象的加工與改造，需要學習者對事物的空間形式觀察、分析、抽象思考的再創新，需要學習者體驗感知.因此，實驗體驗是發展空間想象的基石，是實現直觀想象核心素養的重要載體.如何開展數學實驗教學，提升學生的直觀想象素養是深化課程改革的需要，是新時期課程開發對老師們提出的新課題.教學中，教師可以開展校本課程研究，用好校本教學資源開展數學實驗活動.如開展班級選舉活動，體驗數據的整理，開展測量活動，體驗數據的集中，開展“摸圖形”活動，體驗幾何體的空間感知；課堂教學中，可以設計“數學實驗單”引導學生實驗與思考；在“導學案”的設置中，科學導入“數學實驗室”欄目內容，增加學生的實驗體驗與操作感受；開發并研究身邊的數學實驗載體，如教室里的幾何體研究，身邊物體的三視圖探究，教室里的點、線、面之間的關系.

(4)數形結合——數與形的發展與融合，實現代數問題幾何化與幾何問題代數化.

直觀想象是數學思維的重要形式，需要借助空間想象感知事物的形態與變化.學生的操作與體驗為建立空間想象提供了物質基礎，教學中，教師研究并科學開展數學實驗活動，是培養提升學生幾何直觀與空間想象觀念的有效手段，可以大力提升學生的數學核心素養.