HPM與MM教育方式的耦合初探①
——兼談當代中國數學教育流派

劉祖希 陳 飛

(1.華東師范大學出版社 200062；2.貴州省習水縣第一中學 564600)

基于“當代中國數學教育史”的研究假設，在“當代中國數學教育流派”[1-3]課題研究過中，我們發現：HPM與MM教育方式是當代中國頗具特色的兩個數學教育研究領域(或流派[4])，它們有許多共同點——都是外來的、經中國化后迅猛發展，都是基于數學學科本身建立和發展的，值得我們開展比較與耦合研究.

2016年5月17日，習近平總書記在哲學社會科學工作座談會上的講話中指出“不忘本來、吸收外來、面向未來”，這為我們提供了一個重要研究理念與思路.我們討論HPM與MM教育方式的起源、中國化歷程及其發展，討論HPM與MM教育方式在基本立場、研究內容、教學設計與實施方法、促進教師專業發展、理論框架模式與研究方法等方面的耦合，為“當代中國數學教育史”添磚加瓦.

1 HPM及其中國化

我們先論述HPM及其中國化.

1.1 HPM簡介

HPM是History and Pedagogy of Mathematics(數學史與數學教育)的簡稱，就是利用數學史來促進數學教育.談起HPM，要追溯到1758年，這一年法國數學家蒙蒂克拉出版了專著《數學史》，標志著數學史作為一門獨立研究領域的出現.1968年，荷蘭數學家弗賴登塔爾主持召開第一次國際數學教育大會(ICME-1)，標志著現代數學教育成為一個獨立學科.數學史和數學教育這兩個學科分別建立后，越來越多的數學家、數學史家、數學教育家看到了數學史對數學教育的作用.1972年，第二屆國際數學教育大會(ICME-2)在英國埃克賽特舉辦，在這次大會上成立了數學史與數學關系國際領導小組，標志著HPM作為一個研究領域的正式出現.

張奠宙教授在國內較早引入HPM研究，他于1998年去法國馬賽參加HPM會議后撰文呼吁，要重視科學史在科學教育中的應用，在國內第一次介紹了HPM這個術語.自20世紀末到今天，我國大陸對于HPM的研究熱情空前高漲，達到了一個前所未有的高度.[5]

我國HPM研究的學術團體是“全國數學史學會”(即中國數學會數學史分會、中國科學技術史學會數學史專業委員會)，成立于1981年7月.該學會是中國數學會、中國科學技術史學會的二級學會，并于1998年10月成立數學史教育工作小組.我國HPM研究的學術會議是“全國數學史與數學教育研討會”，由“全國數學史學會”舉辦，至今已經舉辦了8屆，具體情況見表1.另外，華東師大汪曉勤教授創辦的“上海HPM教學研討會”，從2014年至今已舉辦了7屆.

表1 歷屆全國數學史與數學教育研討會

續表

1.2 HPM的研究內容

HPM的研究內容是什么？我國學者進行了深入的研究.汪曉勤教授認為HPM研究的內容包括(但不限于)：

(1)數學教育取向的數學史研究.一般數學史家的數學通史和數學專題史著作都不是中學數學教學所學的歷史，我們所需要的是諸如集合的歷史、函數的歷史、數列的歷史等.這就需要教育取向的數學史研究，汪曉勤教授的《中學數學中的數學史》[6]就是教育取向數學史研究.在2005年第一屆全國數學史與數學教育會議上，李文林教授提出“數學史應該為數學教育而歷史”，宋乃慶教授提出“應將數學史的史學形態轉化為教育形態”.我們認為，“數學教育史則更加要為數學教育而歷史”.

(2)基于數學史的教學設計.基于數學史的視角數學內容進行教學設計，可以直接使用進行課堂教學，也為如何基于數學史進行教學設計提供了方法.

(3)歷史相似性研究.學生對許多數學概念、問題的困惑和理解，與數學史上數學家的困惑和理解是相似的，歷史發生原理是相似的.

(4)歷史知識在課堂中的應用.數學史融入數學教學的研究是數學教學研究的重要組成部分，是HPM領域的重要方向之一.數學史在數學教學中的運用通常有3種途徑，一是提供直接的歷史信息，二是借鑒歷史進行教學，三是開發對數學及其社會文化背景的深刻覺悟.其中第二種方式就是發生教學法，通常所說的HPM視角下的數學教學采用的主要就是這種方法.[7]當前，關于“發生教學法”的研究成果和案例也有很多.[8]

2 中國的MM教育方式

我們再論述中國的MM教育方式.

2.1 數學方法論簡介

我們先介紹數學方法論.

馬克思曾指出，一門科學只有當它在成功地應用了數學(的思想方法)之后才臻于完善，也就是說科學的成熟與否要視其應用數學的程度而定.既然數學教育是一門科學，那么，數學教師為什么就不能應用數學本身的思想方法來組織數學教學呢?現代數學教育盡管成功地運用了現代教育學、心理學、生理學、認知科學以及腦科學等研究成果，但它忽略了運用數學本身的思想方法，即數學方法論(Mathematical Methodology，簡稱MM)對其的指導作用.事實上，數學在其自身的發展過程中也成功地孕育著、體現出上述諸多科學的客觀規律.[9]

國際上，早在20 世紀30—40 年代，美籍匈牙利數學家、數學教育家喬治·波利亞(George Polya，1887—1985)就嘗試著把“數學方法論”應用于數學教學.他的成功實踐為中學數學思想方法的教學提供了理論模式.

在國內，20世紀80年代初期，數學家徐利治先生就高瞻遠矚地率先倡導人們用數學方法論和波利亞的數學教育思想指導數學教學，并出版了一系列關于數學方法論的專著.徐利治先生還提出了研究波利亞的兩項重要任務：“我們要培養和造就一批波利亞型的數學工作者，要按照波利亞的思想改革數學教材和教學方法.”

關于“數學方法論”，徐利治先生本人有如下論述：[10]大家知道，歷史上早就有哲學方法學，近現代還興起了科學方法學，又稱“科學學”.事實上，每門學科都有它的方法論，數學也不例外.由于數學既是一種研究一切科學的強有力的工具，又是一門深深地影響著人們文化素質的重要學科，所以數學方法論居于一個特別重要的位置.那么，首先要問，什么是數學方法論?研究它的目的是什么？

《數學方法論選講》(第1版)[11]一書中提出，數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學問.此說法可視為關于數學方法論的一個素樸定義.現在看來，此定義仍然適用.國內一些研究方法論的學者也采納了這個素樸定義.

只要同意上述說法，就不難回答為什么要研究數學方法論這個問題了，簡單地說，學習和研究數學方法論的目的無非是為了正確地認識數學，有效地運用數學以及很好地發展數學.

我國數學方法論研究的學術團體是“全國數學科學方法論研究交流中心”，成立于2001年8月.該中心是中國自然辯證法研究會數學哲學專業委員會的分支機構，由徐利治教授、王梓坤院士等著名數學家倡議成立，徐利治教授、林夏水研究員歷任中心主任.我國數學方法論研究的學術會議是“全國數學方法論與數學教育學術研討會”，由“數學科學方法論研究交流中心”舉辦，至今已經舉辦了12屆，具體情況見表2.

表2 歷屆全國數學方法論與數學教育學術研討會

2.2 MM教育方式簡介

在徐利治先生影響之下，我國的中小學層面誕生了MM教育方式.所謂MM教育方式就是指運用數學本身的思想方法指導數學教學和數學教學改革的數學教育方式.[9]

MM教育實驗是其中比較典型的一種MM教育方式.1989年9月，MM教育實驗首先在無錫市高中階段展開，并在1994年5月順利通過包括王梓坤院士、張奠宙教授在內的專家組鑒定，此后30年邊實驗邊推廣，其實驗點和實驗研究合作單位已擴展到我國包括臺灣地區在內的幾乎所有省市自治區，其實驗學校也從原來的普通高中、職業學校擴展到小學、大學和成人教育等各級各類學校.實驗結果表明，學生的整體素質明顯提高，同時也培養了一批既能勝任教學又能從事科研的數學教師.[12]

MM實驗給出的MM教育方式是：教師在數學教學的全過程中，充分發揮數學教育的2個功能(技術教育功能和文化教育功能)；自覺地遵循2條基本原則(既教證明又教猜想的原則和教學、學習、研究(發現)同步協調原則)；瞄準3項具體目標(引導學生自我增進一般科學素養，自我提高社會文化修養，自我形成和發展數學品質)；恰當地運用8項教學措施(數學返璞歸真教育，數學審美教育，數學發現法教育，數學家優秀品質教育，數學史志教育，演繹推理教學，合情推理教學，一般解題方法的教學)，從而達到全面提高學生素質的目的.

2.3 數學思想方法從“雙基”走向“三基”、“四基”

三十年來，MM教育方式思想以及在數學教學中滲透數學思想方法已經成為中國數學教育的常識.數學思想方法也在1992年正式納入義務教育數學教學大綱，拓展了數學“雙基”中“基礎知識”的內容，并延續至2000年初、高中數學教學大綱；后寫進1998年版上海市數學課程標準、2002年版高中數學大綱，成為數學“雙基”中“基礎知識”、“基本技能”所包括的內容；隨后寫進2003年版高中數學課程標準，成為了數學“三基”中的一基：基本數學思想(“三基”的提法很短暫，容易被人忽視)；進而又寫進2011年修訂版義務教育數學課程標準，成為了數學“四基”中的一基：基本數學思想(抽象、推理、模型，由史寧中教授提出).[13]

2017年修訂版高中數學課程標準延續了“四基”的提法，并提出了“數學核心素養”體系，數學基本思想(抽象、推理、模型)成為“數學核心素養”體系的“基底”.[14]

3 HPM與MM教育方式的耦合

我們論述HPM與MM教育方式的耦合.

3.1 基本立場的耦合

HPM的基本立場是數學史對數學教學有十分重要的意義，如果數學教學缺乏歷史的觀點，那么就會減少數學的教育價值.

MM教育方式的基本立場是運用數學本身的思想方法指導數學教學及其改革.

無論是HPM還是MM教育方式，對于數學教學，兩者的基本立場、出發點都是“數學及其發展規律”(其中，數學史是顯性的數學，數學思想方法是隱性的數學，依據18世紀德國大文豪歌德的觀點：一門學科的歷史就是這門學科本身，數學史甚至就是數學本身)，而非“教育學”抑或“心理學”的.這個基本立場的耦合，保障了兩者的研究方向不會偏離數學教育的正確軌道，并有利于克服當前數學教學(特別是低年級)中的“去數學化”等不良傾向，數學教學歸根結底是教數學、培養學生的數學(核心)素養.

與之形成鮮明對別的是，在20種比較“經典”的中學數學教學方法中，明確指出數學教學關注數學史的寥寥無幾(僅有“講授教學法”“情境教學法”“MM教學法”等).[15]

當然，HPM與MM教育方式都不否認“教育學”抑或“心理學”的價值(我國臺灣學者洪萬生似有HPM與PME結合的研究)，鄭毓信教授指出：數學教育的基本矛盾是“數學方面”與“教育方面”的對立統一，前者是指數學教育應當正確地體現數學的本質，后者則是指數學教育應當充分體現教育的社會目標并符合教育的規律.[16]

3.2 研究內容的耦合

HPM研究的基本內容是數學教育取向的數學史、數學歷史相似性，以及運用它們促進學生理解數學、發展思維.

MM教育方式研究的基本內容是運用2條基本原則(既教證明又教猜想的原則和教學、學習、研究(發現)同步協調原則) ，實現3項具體目標(引導學生自我增進一般科學素養，自我提高社會文化修養，自我形成和發展數學品質).

無論是HPM還是MM教育方式，兩者的研究內容都包括：讓學生在數學學習的過程中，了解數學發生、發現、發明的本來過程，體驗數學家的思考過程，體驗數學知識蘊含的數學思想方法，從而幫助學生建立自己對數學的理解與認識、提升數學思維能力(數學素養).從這個意義上看，兩者也都是數學文化研究的重要內容.

3.3 教學設計與實施方法的耦合

汪曉勤教授指出，基于HPM的數學教學應該遵循以下5項原則：趣味性、科學性、有效性、可學性、新穎性，從而實現數學教學的6大價值：知識之諧、方法之美、探究之樂、文化之魅、能力之助、德育之效.

MM教育方式的8項教學措施是：數學返璞歸真教育，數學審美教育，數學發現法教育，數學家優秀品質教育，數學史志教育，演繹推理教學，合情推理教學，一般解題方法的教學.

基于HPM與MM教育方式的數學教學設計與實施，都注重恰當地引入數學史料，激發學生的學習興趣，引導學生感悟數學的魅力，引導學生運用合情推理、邏輯推理等方法進行數學探究，培養學生的數學(核心)素養，鍛煉學生的人格品質.而且，兩者都不排斥其他的教學方法，總是與其他的教學方法聯合推進數學教學.

3.4 數學教師專業發展上的耦合

許多關于“數學學科教學知識(MPCK)”、“教學取向的數學知識(MKT)”的研究佐證了HPM與MM教育方式對數學教師專業發展的促進作用.

我們認為，能勝任HPM與MM教育方式的教師需要具備較高的數學(包括數學史)素養和教學素養.教師站穩講臺之后，HPM與MM教育方式會促使他們站到數學教育最前沿，自覺地開展數學教育研究、提升自身的數學素養和教學素養，做科研型的教師.他們對數學的理解，對數學史的了解、理解，對數學思想方法的掌握，都要遠勝于其他教師.

而且，相對于其他教師，從事HPM與MM教育方式研究的科研型教師在教學、研究上所做的超常投入和奉獻、所取得的不凡成績，本身就會激勵學生，成為HPM與MM教育方式的現實案例.

3.5 理論框架模式與研究方法的耦合

HPM與MM教育方式的理論框架模式與研究方法也有耦合之處.

在2011年第四屆全國數學史與數學教育會議上，張奠宙教授對我國HPM研究提出了構建“一副理論框架”的建議.現在，汪曉勤教授給出了中國HPM理論框架：1個視角(在HPM視角下進行教學)、2座橋梁(數學與人文、歷史與現實這兩座橋梁)、3維目標(知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀)、4種形式(附加式、復制式、順應式、重構式)、5項原則(趣味性、科學性、可學性、有效性、新穎性)、6大價值(知識之諧、方法之美、探究之樂、文化之魅、能力之助、德育之效)，這是一個六維框架，可用“一二三四五六”來概括，見圖1.

MM實驗給出的MM教育方式理論框架是：1個方法、2個功能、2條基本原則、3項具體目標、8項教學措施，可用“一二二三八”來概括，見圖1.

圖1 HPM與MM教育方式理論框架圖

不難看出，HPM與MM教育方式的理論框架模式構建均采用了思辨為主、實證為輔的方式，“我們常常稱道國外數學教育研究使用的實證方法，用數據說話.但是，高水平的數學教育研究，也需要高屋建瓴地，借助科學進步作深層次的論說.”[17]

HPM與MM教育方式的理論框架模式構建后，兩者的研究重心都逐漸轉入課堂教學，散發源源不斷的教學生命力，即先做理論研究，再做實證研究，并逐步完善理論框架，這是兩者研究方法上的耦合.

4 結語

無論何種數學教育方式都不能脫離“數學”這個核心、不能脫離“培養學生的數學(核心)素養”這個基本立場，這正是HPM與MM教育方式兩者生命力長久之所在，其成果之花才會持續綻放.[18][19]中國對HPM的貢獻、對MM教育方式的創建，增強了中國數學教育研究的理論自信.

HPM與MM教育方式的耦合、相互促進有待繼續探索，以期為它們成為名副其實的當代中國數學教育流派貢獻更多實證.