不分文理科背景下數學科高考研究①
——以40多年高考數學文理分卷為視角

鄭雪靜 陳清華

(1．福建師范大學數學與信息學院 350117；2．泉州師范學院數學與計算機科學學院 362000)

自1977年恢復高考制度以來，高考實施文理分科已歷經40多年．2009年，在《國家中長期教育改革和發展規劃綱要(2010—2020年)》的調研和制定過程中，教育規劃綱要工作小組辦公室提出急需解決的20個問題，其中之一是“高中取消文理分科的必要性和可行性”．這一問題引發了文理分合、百家爭鳴的局面，僅《課程·教材·教法》這一份期刊，2009年就刊登了17篇關于文理分科學術討論的文章．這些爭鳴以及相關調研得出的結論是：“逐步取消高中文理分科，堅持基礎教育的基礎性、均衡性和全面性，先在東部城市進行取消高中文理分科試點，積累經驗，逐步推廣”．[1]但事實上，由于多方面原因，高中不分文理科并未能在全國真正實行．2014年9月3日，國務院發布了《關于深化考試招生制度改革的實施意見》(以下簡稱《實施意見》)，在“啟動高考綜合改革試點”中明確提出高考將“不分文理科”，以“促進學生健康成長成才”，最終實現“培養德智體美全面發展的社會主義建設者和接班人”．[2]2017年浙江、上海作為新高考改革首批試點，進入高考不分文理科的第一年．至2019年秋季學期，已有14個省市啟動新高考改革．

我國自1952年建立統一高考制度以來，都是文理分科考試．[3]高考不分文理科，對數學學科的影響最大，[4]不分文理科的數學科高考還在實踐中探索．我們基于40多年文理分科的歷史，對40多年來的高中數學教學大綱(課程標準)、考試大綱(考試說明)、全國統一考試高考數學全國卷文理卷進行定量和定性對比研究，以期在繼承和發展中對不分文理科的高考數學命題提供些許建議．

1 教學大綱(課程標準)中文理科教學內容差異的對比分析

教學大綱(課程標準)是國家教育行政部門依據已制定的“課程計劃”制定的法令性文件．高中數學教學大綱(課程標準)是高中數學教學的工作指南，它以綱要的形式對課程的內容、體系、范圍進行規定，也是教材編寫、考試大綱制定的依據，我們對1977年恢復高考制度以來幾個主要的中學數學教學大綱(課程標準)中關于文理科教學內容要求的差異進行對比分析(見表1)．其中，1978年頒布的《全日制十年制學校中學數學教學大綱(試行草案)》中沒有指出文理科教學內容的差異．1980年頒布的《中小學數學教材改革第二次座談會紀要》首次提出高中數學從高二起分為文理科．1981年頒布的《全日制六年制重點中學數學教學大綱(草案)(征求意見稿)》，該大綱雖然沒有實際實施，但自此高中階段數學科正式進行文理分科教學．1996年頒布的《全日制普通高級中學數學教學大綱(供試驗用)》第一次將文理科限定選修課的教學內容分開設置．2018年教育部頒布的《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標(2017年版)》，對高中數學教學內容的設置不分文理科．

表1 幾個主要教學大綱(課程標準)中文理科教學內容差異對比分析表

續表

通過教學大綱(課程標準)對比，可以看出恢復高考制度以來，70年代和80年代初中期，文理科教學內容的主要差異在于“反三角函數和三角方程”、“極坐標和參數方程”、“線性方程組”、“不等式的性質和證明”，這些內容，理科為必學，文科為選學．80年代后期，相應教學大綱對文理科教學內容都有所調整，調整的內容主要包括微積分、概率與統計、立體幾何，有的是適當充實或刪減內容，有的是將必學內容改為選學內容．90年代中后期，在共同必修內容要求的基礎上，理科還要求概率與統計、極限、導數與微分、積分、復數等內容，文科還要求統計、極限與導數、復數，文理科相同的內容在要求上存在差異．2004年實行國家課程標準后，文理科教學內容主要差異在立體幾何、統計與概率，而解析幾何和三角函數的差異最小．[15]特別地，《2017年普通高中數學學科教學與評價指導意見》與《普通高中數學課程標準(實驗)》進行對比有較大差異：在原必修課程內容基礎上刪除了算法初步、數列、不等式等內容；在選修Ⅰ課程內容中，對文科數學(系列1)進行了刪減和擴充，刪除了推理與證明、框圖等內容，增加了原必修課程中的數列、不等式(不含二元一次不等式、簡單線性規劃)的內容，以及理科數學中的空間向量與立體幾何、計數原理、概率、數學建模活動的內容，而常用邏輯用語比原來文科數學減少了4種命題及其之間的相互關系、簡單的邏輯聯結詞等內容．計數原理比原理科數學減少用計數原理、排列與組合解決簡單實際問題的內容．

除了表1中列出的教學大綱，還有一些相應大綱的修訂版，這些修訂版大綱與原大綱相比，均有一些變化．例如，2000年的《全日制普通高級中學數學教學大綱(試驗修訂版)》與1996年的《全日制普通高級中學數學教學大綱(供試驗用)》對比，高中數學課程設置改為必修課程和限定選修課程．必修課程中首次設置研究性課程；限定選修課程分為選修Ⅰ和選修Ⅱ．高一、高二年級學習必修課程，高三年級進行文理分科，文科生選修Ⅰ課程，理科生選修Ⅱ課程．文科刪除了復數的內容，增加了微積分建立的時代背景和歷史意義；理科“概率”內容刪除了連續型隨機變量的概率密度，“極限”內容刪除了兩個重要極限，“積分”內容刪除了極坐標系中平面圖形的面積，也增加了微積分建立的時代背景和歷史意義，數學歸納法由原必修課程移到理科中．另外理科在學時方面有所降低；文理科“統計”的內容均刪除了用樣本方差估計總體方差、用頻率分布估計總體分布、累積頻率分布，增加了總體分布的估計、正態分布、線性回歸等內容．[16]

2 考試大綱(考試說明)中文理科考試內容差異的對比分析

全國統一考試高考數學考試大綱(考試說明)是指導高考數學命題的綱領性文件，是對教學大綱(課程標準)的細化，為命題提供依據和規范，通常包括考試性質、考試要求、考試內容、考試形式與試卷結構、題型示例等方面的內容．我們對40多年來幾個主要的考試大綱(考試說明)中文理科考試內容的差異進行對比分析(見表2)．

表2 幾個主要考試大綱(考試說明)中文理科考試內容差異對比分析表

續表

通過考試大綱(考試說明)對比，可以看出，1978—1980年的考試復習大綱都沒有指出文理科的考試內容差異．80年代，文理科考試內容主要差異在“反三角函數和三角方程、極坐標和參數方程、線性方程組、不等式的性質和證明”．1991年第一次頒布《數學科考試說明》，1991年之前，全國統一考試高考數學命題的主要依據是教學大綱，由文理科教學內容的差異而對文理卷考試內容要求不同．90年代文理科考試內容差異主要是選學內容的“反三角函數和簡單三角方程、參數方程和極坐標”．

2004年開始，全國普通高等學校招生實行“統一考試，分省命題”，2005年，隨著高考分省自主命題的推進，原全國統一的考試說明改為考試大綱，由教育部考試中心頒布《普通高等學校招生全國統一考試大綱》(以下簡稱《考試大綱》)，各地在全國統一的《考試大綱》基礎上制定符合本省實際的《考試說明》．2005—2008年，每年的考試大綱與前一年對比，文理科都有些變化．例如，2005年與2004年《考試大綱》對比，文科導數中的考試要求，增加了“掌握函數y=c(c為常數)的導數公式”，理科在概率與統計中刪除了“總體特征的估計”、復數中刪除了“引進復數的必要性”；2006年與2005年《考試大綱》對比，文科在“理解圓的參數方程”前面增加了“了解參數方程的概念”，提高了對參數方程的要求，理科將“理解閉區間上連續函數有最大值和最小值”降低為“了解”；2007年與2006年《考試大綱》對比，文理科都降低了一些要求，將“理解任意角的概念、弧度的意義”，改為“了解任意角的概念、弧度的意義”；文科在直線、平面、簡單幾何體(B)的考試要求中刪除了“理解直線和平面垂直的概念”；2008年與2007年《考試大綱》對比，文理科都刪除了三角函數中“了解余切、正割、余割的定義”，刪除了直線與圓的方程中“了解參數方程的概念、理解圓的參數方程”．2008—2010年《考試大綱》關于文理科要求沒有變化．2010—2016年關于文理科考試要求都按《普通高等學校招生全國統一考試大綱(課程標準實驗版·2010年版)》．2016年教育部考試中心下發的《關于2017年普通高考考試大綱修訂內容的通知》對考試內容與范圍做了一項重大調整，文理科刪去選修4-1“幾何證明選講”，高考數學選考模塊的試題由原來三選一變成二選一．2017—2019年的《考試大綱》，文理科考試內容沒有變化．[24-25]

3 高考數學全國卷文理卷對比分析

以全國統一考試高考數學全國卷、全國Ⅰ卷、新課標全國Ⅰ卷為統計對象(2003年以前以全國卷為統計對象；2004年起，教育部在此前上海、北京試點的基礎上，推廣高考分省命題，[26]2004年后高考數學出現多套試卷，因此2004年起我們以全國Ⅰ卷為統計對象；從2007開始高考數學出現新課標卷，2009年后陸續有以前使用全國Ⅰ，Ⅱ卷的省份進入新課標卷，到2010年更名為新課標全國卷，2011年后才有較多省份使用新課標全國Ⅰ卷，因此2011年起以新課標全國Ⅰ卷為統計對象．)(以下均簡稱“全國卷”)．另外，因1977年恢復高考第一年為各省自主命題，所以統計是從1978年開始．

3.1 試卷定量對比分析

對40多年來高考數學全國卷文理卷的滿分值、試題量、附加題的設置、完全相同的題量、完全相同題的總分值、同題率進行定量對比分析(多題選作1題按1題計算，以小題計數)．

(1)關于試卷滿分值

1978年高考數學全國卷是文理合卷，理科考生需多做最后一道20分的試題．對于文科考生，完全做對總分為80分的所有試題，將折合為100分．[27]1979年開始，高考數學全國卷文理分卷．1978—1980年文理卷滿分值均為100分，1981年和1982年文科卷滿分值為100分，理科卷滿分值為120分，理科卷比文科卷多一道20分的附加題．1983—1992年文理卷的滿分值均為120分，1993年至今，文理卷的滿分值均為150分．

(2)關于試題量

對于文理卷試題量，1978—1987年理科卷一般比文科卷多1～2題，有些是多1題附加題，從1988年開始，文理卷試題量一樣：1988—1999年文理卷試題量在24～28題之間，2000年至今，文理卷試題量均為22題．

(3)關于附加題

40多年來，試卷中設置附加題的情況是：1980年、1984—1987年理科卷最后有一道附加題，但成績不計入總分，只作參考．只有1981年和1982年理科卷最后那道附加題得分值計入總分．2002年文科卷出現一小題附加題，設置在試卷最后一道題的第3問，解答正確加4分，但全卷總分不超過150分．其它年份全國卷沒有再出現附加題．

(4)關于文理卷試題完全相同的題量、完全相同題的總分值

對40多年高考數學全國卷文理卷試題完全相同的題量、完全相同題的總分值進行統計，將統計結果制作成折線圖1(多題選作1題按1題計算，大題中有小題相同按小題數量計數)．

圖1 全國卷文理卷試題完全相同的題量、完全相同題的總分值折線圖

由于文理卷有些完全相同的試題賦分不同，因此文理卷完全相同的試題總分值有所差異，但除1979年相差18分外，其它年份最多相差6分．從折線圖1可以看出文理卷完全相同題總分值折線圖相對偏離度不大．但縱觀40多年文理卷完全相同題總分值波動比較大．1980年文理卷完全相同的題量為0，文理卷試題完全不同．1989—2001年完全相同的題量在14～24題，是文理卷差異較小的幾年．其中，1993年相同試題量最多，達到24題，相同題總分值達128分．2001年后文理卷差異又開始拉大，2017年文理卷完全相同試題僅有4題，但2018、2019年相同試題量又有所回升．

(5)關于文理卷同題率

2000年至今，高考數學全國卷試題量均為22題，但在2000年以前，高考數學卷每年題量不盡相同．為了進一步對比文理卷的差異，我們將完全相同的題量與當年試卷(以理科卷為參照)總題量相比，統計文科卷與理科卷完全相同的題量占當年總題量的百分比(簡稱“文理卷同題率”)，制作出折線統計圖2．

圖2表明，40多年來高考數學文理卷同題率波動比較大．1978年文理卷同題率最高，達到90%，1980年文理卷沒有一題相同，同題率最低．1989—2001年，文理卷同題率都在50%以上，達到70%以上的年份有1993年、1994年、1998年、1999年、2000年，2019年文理卷同題率相對于前幾年有所回升，向文理合卷的趨勢邁進．

圖2 全國卷文理卷完全相同的題量占試卷總題量的百分比折線圖

3.2 試題定性對比分析

一般來講，全國卷文理卷的試卷結構基本一致．文理卷除了完全相同的試題外，還存在“相似型”和完全不同的試題．不同試題首先體現在教學大綱(課程標準)和考試大綱(考試說明)中對文理科知識、能力的不同要求上．文理科沒有交叉的知識，設置的試題存在差異，有交叉的知識，在能力要求方面也會存在能力要求程度和思維能力考查的差別．[28]總體而言，文科試題需要解決的問題相對比較具體直觀，直接順暢，無需過多的拐彎抹角，解題一般是采用通性通法，運算、推理求解能力的要求不會太高，結論比較明顯；理科試題問題綜合程度較高，抽象性較強，試題的思維過程較復雜，運算和推理的步驟相對較多，解題思路和方法比較曲折、隱蔽．我們從題干、設問和題型三個角度對40多年來全國卷文理卷試題(幾種常見“相似型”試題)進行對比分析，對于文理卷完全不同的試題不做分析．

(1)題干

文理卷試題考查的知識點相同，但題干存在特殊與一般，顯性與隱性，直接與間接或簡單與復雜的差異．往往是文科卷提供的是特殊的、顯性的、直接的或簡單的題干，理科卷提供的是一般的、隱性的、間接的或復雜的題干，題干的差異影響文理卷試題解答難易程度的差異．

(2)設問

文理卷存在試題題干相同，但設問有所不同的差異．其不同主要體現在三個方面：設問因文理科內容要求不同而不同；設問因文理科相同知識模塊下不同的知識點而不同；設問因文理科考查的知識點綜合程度不同而不同．

例如，2016年高考數學全國Ⅰ卷文、理卷第19題解答題，文理卷的題干一樣，但文科卷是從分段函數的應用、頻率分布直方圖、方案的選擇等角度考查，理科卷是從離散型隨機變量及其分布列和數學期望的角度考查．考查差異在于課程標準和考試大綱中對理科的要求：理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列、均值、方差的概念，會計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．但這些內容對文科不作要求．再如，1995年高考數學全國Ⅰ卷文科卷第23題、理科卷第25題解答題，文理卷都考查等比數列前n項和、對數的運算性質和單調性、不等式等基礎知識．但作為壓軸題，理科卷試題的第(Ⅱ)問還進一步綜合考查等比數列、對數、不等式等基礎知識，以及邏輯推理能力和分析、解決問題的能力．

(3)題型

文理卷存在題干和設問完全一樣，但設置的題型不同的差異．因題型不同，試題分值也可能不同．

例如，1990年高考數學全國卷文科卷第5題選擇題是理科卷第16題填空題；2010年高考數學全國Ⅰ卷文科卷第15題填空題與理科卷第6題選擇題一樣；再如，1988年高考數學全國卷理科卷填空題第4題與文科卷解答題第4題一樣，理科卷賦予的分值是4分，但文科卷賦予的分值是10分．

4 不分文理科背景下數學科高考的思考與展望

以40多年文理分科背景下的高中數學教學大綱(課程標準)、考試大綱(考試說明)、全國統一考試高考數學全國卷文理卷為對象，進行定量和定性對比研究發現，文理科教學大綱(課程標準)、考試大綱(考試說明)的不同要求，是文理科考查目的、考查內容和考查要求差異的依據，也是高考文理卷試題設置差異的主要根源．

隨著不分文理科高考改革的推進，回望40多年的文理分卷全國統一考試高考數學，這期間也有個別省份試驗過文理合卷．1991年湖南、云南、海南三省的高考數學文理合卷；1999年廣東省高考數學文理合卷，研究如何平衡文理兩類考生在數學知識和能力方面的差異；[29]2004年起江蘇省高考數學自主命題，數學卷文理合卷；2004年上海春季高考數學也不分文理卷；對于高考數學全國卷，只有1978年文理合卷．浙江、上海作為新高考改革的首批試點，從2017—2019年進行了三年的高考數學不分文理卷的探索與實踐．這些為全國卷不分文理卷的數學科高考帶來了啟示、積累了經驗．

不分文理科的數學科高考，將以《實施意見》為指導，以《課標(2017年版)》為綱領，以“一核”“四層”“四翼”的高考評價體系[30]為指南，以“素養立意”為導向．以下我們在對40多年文理分科的數學科高考繼承與發展的基礎上，從試卷命制的遵循與追求兩個方面對不分文理科的數學科高考進行思考與展望．

4.1 試卷命制的遵循

(1)考查目的

考查目的(即高考評價體系中的“一核”)，是回答“為什么考”的問題．高考數學科承載著實現“立德樹人、服務選才、引導教學”這一核心功能的使命，“一核”是高考數學試卷命制的第一遵循．通過設置能夠表現學生正確世界觀、人生觀和價值觀的問題情境，彰顯數學科育人價值，實現數學科獨特的作用和價值，實現學生健康成長成才，科學選拔人才，發展素質教育的有機統一．例如，上海、浙江三年不分文理卷的數學科高考，努力踐行立德樹人，體現學科育人價值．再如，2019年高考數學全國卷，突出了學科特點，有效落實“五育”并舉的要求，[31]這些實踐為不分文理科背景下在落實考查目的方面提供了有意義的借鑒．

(2)考查內容

考查內容(即高考評價體系中的“四層”)，是回答“考什么”的問題．展望不分文理科的數學科高考考試內容，我們認為不應拘泥于在文科與理科之間尋找平衡點，而應著眼于必備知識和關鍵能力，注意知識的系統性，關注知識的結構性，突出知識的整體性，依托集合與常用邏輯用語、不等式、平面向量、函數與導數、數列、三角函數、立體幾何、平面解析幾何、概率與統計等必備知識，考查學生的邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創新能力等5種關鍵能力，[32]聚焦學生對數學基本概念、基本原理、基本思想方法的理解和應用，著重學生的獨立思考和分析、解決問題的能力．必備知識和關鍵能力是構成數學核心素養的基本要求，決定了數學核心素養考查的高度．例如，2019年上海、浙江不分文理科的高考數學試卷，在以高中數學主干內容為載體的基礎上，滲透數學核心素養的考查．再如，以《課標(2017年版)》去審視2019年高考數學全國卷試題內容的設置，其考查內容實際上可以理解為遵循了函數、幾何與代數、概率與統計三條內容主線，并將數學建模活動與數學探究活動這一主線作為思想方法貫穿始終．數學核心素養是《課標(2017年版)》目標的集中體現，從“四基”“四能”到“數學核心素養”是一脈相承的，期待文理合卷的數學科高考，突破以往知識、能力的二維考查內容框架，實現從“知識立意”“能力立意”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的轉變．

(3)考查要求

考查要求(即高考評價體系中的“四翼”)，是回答“怎么考”的問題．高考評價體系提出基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求．不分文理科的數學科高考，可以通過考查數學的核心概念、基本原理和基本思想方法，體現數學的基礎性；通過考查數學各分支知識、思想方法的內部聯系，包括與其他學科的融合，體現數學的綜合性；通過考查分析和解決數學與生活實踐聯系的真實性問題，體現數學的應用性；通過創新試題(題型結構、題序、情境、設問)，考查學生對知識的靈活運用，創造性地思考、分析和解決問題，體現數學的創新性．例如，2019年高考數學全國I卷理科卷第21題解答題，該試題情境來源于生活實踐，閱讀量較大，具有探索創新性，同時有效地考查了概率、數列等必備知識和思想方法，綜合性強，可被認為為不分文理科背景下在落實考查要求方面提供了有意義的借鑒．

4.2 試卷命制的追求

(1)關于情境

試題情境是考查內容和考查要求實現的載體．根據數學學科特點，高考數學試題情境可分為課程學習情境、探索創新情境和生活實踐情境3種類型．[33]不分文理科的數學科高考，通過創設源于課程學習、生活實踐，具有探索創新的真實性試題情境，以落實基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求，綜合考查學生的理性思維、數學應用、數學探索和數學文化的學科素養，為選拔德智體美勞全面發展的社會主義建設者和接班人服務，為高中數學教學指引方向．例如，不分文理科的浙江高考數學卷試題，注重立足于教材改編試題．再如，2019年高考數學全國卷，通過創設豐富的、真實的、貼近生活的情境，落實考查目的和考查要求，[34]這些為不分文理科的高考數學全國卷的命制帶來了啟示，提供了借鑒．

(2)關于題型結構

40多年來，全國統一考試高考數學試題題型堅持穩中求變，變中求新，從1999年開始陸續出現一些考查探究能力的開放性試題．[35]不分文理科高考，對數學科的功能定位提出了新的要求，數學科考試需創新試題形式和試卷結構，[36]增強區分選拔功能，實現考查目的，這是高考數學的追求．在保持原有題型的基礎上，可以設置適量的多項選擇題，合理配備開放性試題、結構不良試題、巧妙設計試題設問．例如，張遠增基于2018年高考數學浙江卷和上海卷的分析，建議按照新的絕對難度分值結構設置高考數學試卷結構．[37]再如，經研究，多選題的設置，填空題一題多空的設置，結構不良試題的設置，有利于在提高全卷得分率的同時，發揮試題的選拔和區分功能．[38-39]浙江省2017—2019年三年不分文理科的高考數學卷，7道填空題均以4道兩空3道單空來設置．山東省2020年新高考數學模擬考試試卷，選擇題由原來的12道單選題，調整為8道單選題和4道多選題，填空題由原來的4道單空題，調整為3道單空題和1道兩空題，6道解答題其中有1道是結構不良試題．這些都是有意義的實踐．隨著不分文理科改革的進一步深入，在某種程度上甚至可以將選擇題的“8單選+4多選”調整為“6單選+6多選”，填空題的“3一空+1兩空”調整為“2一空+2兩空”，解答題中的結構不良試題由1題調整為2題．

(3)關于題序

高考緊密圍繞科學選才、促進公平的目標，將“引導教學”納入核心功能．固定的題序容易導致題型強化訓練，引發題海戰術．合理的題序能夠更加有效考查必備知識和關鍵能力，增強考試的選拔、區分功能，有效綜合考查學生的素養，實現考查目的，有效引導教學．因此，高考數學可以適當調整試題排列順序，[40]成熟之后，甚至可以把結構不良試題的題序往后調整，使其選拔、區分功能得以更加明顯的體現出來．2019年高考數學全國卷在主觀題試題內容和順序的設計上進行了調整，例如，全國I卷對概率統計內容的考查，放在壓軸題位置，打破了僵化的應試局面，為不分文理科的數學科高考提供了有意義的借鑒．

結束語

40多年的文理分科雖然已逐漸成為歷史，但前世之事，后事之師，只有在繼承與發展的基礎上，對不分文理科的數學科高考進行積極的探索與實踐，才能充分發揮高考數學科的功能，從考試的層面上給出“為什么考”、“考什么”和“怎么考”的根本回答．