隨機3種群時滯食物鏈系統的持久性和非持久性

李海紅，李海霞

(1.吉林建筑大學基礎科學部，吉林 長春 130118；2.長春光華學院商學院，吉林 長春 130031)

0 引言

生態系統不但與當時的因素有關，也與時滯效應有密切的聯系.為了更好地還原生態背景，人們將時滯引入種群動力學模型[1-2].

本文研究的3種群時滯食物鏈系統可表示為

(1)

系統(1)描述了后者捕食前者的3種群時滯食物鏈模型，這里假設中層和頂層捕食者擁有捕食能力的時間為τ[3]，獵物成熟時間為τ，捕食者僅捕食成熟獵物.在系統(1)中引入隨機擾動，得到隨機時滯系統：

(2)

本文主要研究在白噪聲干擾下隨機時滯系統(2)的持久性和非持久性.

1 系統(2)的持久性

首先給出隨機系統在均值意義下持久性的定義[3].

定義1.1稱系統(2)在時間均值意義下是持久的，若有

引入系統：

(3)

引理1.2若假設1成立，則系統(3)的解滿足如下結論：

證明由文獻[5]和假設1得

(4)

應用伊藤公式，系統(3)的第2個式子可變形為

dlogΦ2(t)=(-r2+b21Φ1(t-τ)-b22Φ2(t))dt-σ2dB2(t).

進一步可得

(5)

注意到

則

(6)

由文獻[4]的引理1.3和假設1可得

dlogΦ3(t)=(-r3+b32Φ2(t-τ)-b33Φ3(t))dt-σ3dB3(t)，

由帶擾動的非自治的Logistic方程解的形式[6]，可得

x(t)≤Φ(t)，

(7)

其中Φ(t)為隨機時滯微分方程(3)的解.

綜上，再由文獻[4]的引理1.2，下述結論顯然成立：

定理1.1若假設1成立，則系統(2)的解x(t，ξ)滿足

進一步有：

定理1.2若假設1成立，則系統(2)的解x(t，ξ)滿足

證明由系統(2)可得

類似有

且

則

且由(7)式可知

(8)

2 系統(2)的非持久性

分兩種情況分析隨機系統的非持久性.

情形1r1<0.

由伊藤公式，系統(3)的第一個方程可變形為

dlogΦ1(t)≤(r1-b11Φ1(t))dt-σ1dB1(t).

則

類似有：

顯然，由情形1的證明過程可得

類似有

由上述討論可得如下結論：

定理2.1若假設1成立，x(t，ξ)是系統(2)的解，則有：

3 數值模擬

由Milstein方法，得到系統(2)的離散方程：

其中ε1，k，ε2，k，ε3，k是服從N(0，1)的高斯隨機變量.選取適當的參數，通過Matlab軟件，模擬計算下列實例：

(1) 確定性系統和隨機系統(2)的持久性.選取初始條件和系數為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.通過Matlab軟件計算，得到確定性系統和隨機系統(2)的持久性(圖1).圖1表明，當白噪聲很小時，選取恰當的參數使其滿足定理1.2條件，則系統(2)的解將在均值意義下持久.

圖1 確定性系統和隨機系統(2)的持久性

(2) 3個物種將依概率滅絕.選取初始條件為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.3，0.2)，t∈[-τ，0]，a1=-0.7，a2=0.3，a3=0.1，b11=0.3，b12=0.2，b21=0.3，b22=0.5，b23=0.3，b32=0.4，b33=0.8，σ1=0.02，σ2=0.01，σ3=0.01.易驗證其滿足定理2.1結論(1)，選取參數滿足r1<0.由Matlab軟件模擬系統解的圖像(圖2).由圖2可知，當白噪音很大時，捕食者和被捕食者均依概率死亡，這在確定性系統中是不會發生的.

圖2 定理2.1當r1<0時，解的非持久性

圖3 定理2.1當時，解的非持久性