隨機種群模型的平穩分布和數值模擬

2021-01-13 04:46:38魏麗莉

東北師大學報(自然科學版) 2020年4期

付靜，魏麗莉，陳巖

(長春師范大學數學學院，吉林長春 130031)

1 預備知識

20世紀40年代，Leslie[1]提出：捕食者的環境容納量與食餌的數量成正比；捕食者和食餌的增長率都有一個上限，對于捕食者來說，當食餌與捕食者的比例充分大時達到上限，對于食餌來說，當捕食者的數量充分小時達到上限；給出了著名的捕食-食餌模型

(1)

其中α1是正常數.給出了：系統(1)存在唯一的正平衡點；如果其是局部漸近穩定的，那么它是全局漸近穩定的.

為了方便計算，Huang等[13]將模型轉化為如下形式：

(2)

由于現實環境中會受到很多因素的影響，越來越多的學者研究了隨機種群模型，而生物種群模型的確定性忽視了環境噪聲的干擾，依據中心極限定理知，這種擾動可以由均值為零的正態分布來刻畫[14].本文根據文獻[15]的方法添加了隨機因素

其中：B1(t)，B2(t)是獨立的白噪聲；σi>0(i=1，2)代表噪聲強度.得到了如下隨機捕食-食餌模型：

(3)

因為隨機種群模型沒有內部平衡點，所以不能像確定性模型那樣通過討論內部平衡點的穩定性來確定隨機種群的持久性.隨機系統的平穩分布是一種弱穩定性，遍歷性表示時間均值意義下隨機系統是持久的.因此研究隨機系統的平穩分布和遍歷性具有非常重要的意義.本文研究了隨機系統(3)的平穩分布，并且將結果與確定性模型進行了比較，給出了兩種模型的數值模擬.

下面給出文中需要的幾個重要結論：

定理1(伊滕公式)[16-17]設X(t)(t≥t0=0)是方程(13)的解，V∈C2，1(Rn×R+；R).則V(X(t)，t)仍是一伊滕過程，且滿足隨機微分方程：

(4)

稱此公式為伊滕公式.

定理2(隨機比較定理)[16-18]設Xi(t)(i=1，2)是隨機微分方程

dXi(t)=fi(Xi(t)，t)dt+ɡ(Xi(t)，t)dB(t)

的解，其中：f(X，t)∈C([0，∞)×R)，ɡ(X，t)∈C([0，∞)×R).如果：

|ɡ(X，t)-ɡ(Y，t)|≤ρ(|X-Y|)，X，Y∈R，t≥0；

(2)f1(X，t)≤f2(X，t)，X∈R，t≥0；

(3)X1(0)≤X2(0).

則對t≥0有

X1(t)≤X2(t)，a.s..

定理3(隨機系統的平穩分布)[19]設X(t)是El中的一自治Markov過程，滿足下面的隨機微分方程：

(5)

其擴散陣為

假設存在具有正則邊界的有界區域U?El滿足下列條件:

(A1)在U和它的一些鄰域內，擴散陣Λ(x)的最小特征值是非零的；

令f(·)是關于測度μ可積的函數，則對所有的x∈El，有下面的公式成立：

驗證(A1)成立，只需證明F在U中是一致橢圓的，其中Fu=b(x)·ux+1/2tr(A(x)uxx)，即證存在正數M，滿足

驗證(A2)成立，只需證明存在非負C2類函數和鄰域U使得對任意EU，LV是負的.

2 隨機系統(3)的遍歷性

假設(Ω，F，P)是完備的概率空間.考慮F的部分σ-代數構成的類{Ft}t≥0，如果下列條件成立：

(1) 當s≤t時，Fs?Ft；

則稱這個類是(Ω，F，P)上的一個流.若它是單調遞增右連續的，且F0包含所有的零測集，則稱流{Ft}t≥0滿足通常條件.在本文中所有研究都在賦予流{Ft}t≥0的概率空間進行.

由于系統的解表示捕食者和食餌的密度，因此只考慮正解的存在性.對于任何給定的初始條件，方程的系數需要滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[16]，這是方程存在唯一全局解的必要條件.然而系統(3)的系數既不滿足線性增長條件，也不是局部Lipschitz連續的.首先通過下面引理1，利用伊滕公式和隨機微分方程比較原理，可得到系統(3)的解是全局非負的.

證明考慮如下擴散過程:

(6)

由于方程(6)的系數是局部Lipschitz連續的，則對于任意給定的初始條件u(0)=lnx(0)，v(0)=lny(0)，在t∈[0，τe)中存在一個唯一的局部解，其中τe是爆破時間[16].則系統(6)存在一個唯一的局部解x(t)=eu(t)，y(t)=ev(t)，只需證明其是全局的.考慮如下兩個隨機微分方程：

(7)

(8)

設其滿足初始條件Φ(0)=φ(0)=x(0)和Ψ(0)=ψ(0)=y(0)，則方程(7)和(8)的解分別為

利用隨機微分方程的比較原理，得到

φ(t)≤x(t)≤Φ(t)，ψ(t)≤y(t)≤Ψ(t) a.s.，

對于t≥0成立，則唯一局部正解是全局的.