關于不定方程組x2-18y2=1與y2-bz2=16的公解

瞿 云 云

(貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550001)

1 主要結論

近年來，關于不定方程組x2-ay2=k與y2-bz2=l(a，b∈Z+，k，l∈Z)的公解問題一直受到人們關注.當(k，l)=(1，1)時，文獻[1]證明了當a，b是不同的非零正整數時，x2-ay2=1與y2-bz2=1有至多3組正整數解(x，y，z)；文獻[2]證明了當a=4m(m+1)，m，b∈Z+時，x2-ay2=1與y2-bz2=1至多有1組正整數解(x，y，z)；文獻[3]證明了當a=4m2-1，m，b∈Z+時，此方程組至多有1組正整數解(x，y，z)；文獻[4]得到了對于任意的素數p，x2-24y2=1與y2-pz2=1僅有正整數解(x，y，z，p)=(49，10，3，11)，(485，99，70，2).當(k，l)=(1，4)時，文獻[5]討論了a=2，b=p或pq(p，q是不同的素數)的情形.當(k，l)=(1，16)，a=18時，文獻[6]討論了b=2p1…ps(1≤s≤4)，p1，…，ps是互異的奇素數的情形；文獻[7]討論了b=2n，n∈Z+的情形.本文討論了b=p(p為任意素數)或b=pq(p

定理1若p為任意素數，則不定方程組

x2-18y2=1與y2-pz2=16

(1)

只有平凡整數解(x，y，z)=(±17，±4，0).

定理2若p，q(p

x2-18y2=1與y2-pqz2=16

(2)

除開對于任意素數p，q有平凡整數解(x，y，z)=(±17，±4，0)外，有1組非平凡整數解(x，y，z)=(±19 601，±4 620，±136)，此時p=2，q=577.

2 若干引理

引理1[8]設k>1是一個整數且k≠169，除開k=2v2，v∈Z的情形，方程x2-(k2-1)y4=1有另一正整數解(x，y)=(8v4-1，2v)之外，此方程僅有正整數解(x，y)=(k，1).

引理2[9]設b，d>1都是非平方的整數，方程b2x4-dy2=1至多有1組正整數解(x，y).

引理4(1) 不定方程x2-332 928y4=1僅有正整數解(x，y)=(577，1)；

(2) 不定方程x2-288y4=1僅有正整數解(x，y)=(17，1)；

(3) 不定方程32X4-2Y2=1僅有正整數解(X，Y)=(1，2)；

(4) 不定方程X2-8Y4=1除開(X，Y)=(3，1)外，無其他正整數解；

(5) 不定方程172X4-2Y2=1僅有正整數解(X，Y)=(1，12)；

(6) 不定方程X4-2Y2=1不存在正整數解.

證明(1) 332 928=5772-1，由引理1可知命題成立.

(2) 288=172-1，由引理1可知命題成立.

(3) 方程32X4-2Y2=1有1組正整數解(X，Y)=(1，2)，由引理2可知命題成立.

(4) 由文獻[11]中引理可知命題成立.

(5) 方程172X4-2Y2=1有1組正整數解(X，Y)=(1，12)，由引理2可知命題成立.

其中：ε=γ2，η=δ2.則xn，yn，un，vn具有如下性質：

(1)yn-1=17yn-4xn，yn+1=17yn+4xn，yn+2=577yn+136xn.

(2)y2n≡0(mod136)，y4n+1≡4(mod136)，y4n-1≡132(mod136).

(3) 當n是奇數時，(yn-1，yn+1)=136；當n是偶數時，(yn-1，yn+1)=4.

(6)u2m-1≡0(mod3)，v2m-1≡0(mod2)，u4m-2≡0(mod17)，v4m-2≡0(mod12)，v4m≡0(mod204)，m∈Z+.

證明Pell方程x2-18y2=1，x2-2y2=1的全部非負整數解為(xn，yn)，(un，vn)，n≥0，由數列xn，yn，un，vn的性質可得到性質(1)—(2)，(6)—(7).

(3) 當n是奇數時，令n=2k+1，則由性質(1)—(2)有

(yn-1，yn+1)=(y2k，y2k+2)=(y2k，577y2k+136x2k)=(y2k，136)=136；

當n是偶數時，令n=2k，則由性質(1)—(2)有

(yn-1，yn+1)=(y2k-1，y2k+1)=(y2k-1，577y2k-1+136x2k-1)=(y2k-1，136)=4.

(5) 由于

3 定理的證明

定理1的證明Pell方程x2-18y2=1的全部非負整數解為(xn，yn)，n≥0.設(xn，yn，z)為方程組(1)的非負整數解，由引理5性質(4)可知，

(3)

(4)

或

(5)

其中z=z1z2.

(6)

或

(7)

其中z=z1z2.

定理2的證明Pell方程x2-18y2=1的全部非負整數解為(xn，yn)，n≥0.設(xn，yn，z)為方程組(2)的非負整數解，由引理5性質(5)可知

(8)

情形1n為偶數.令n=2m，m>0，于是由引理5性質(6)及(8)式可得

(9)

情形2n為奇數.令n=2m+1，m≥0，于是由引理5性質(6)及(8)式可得

(10)

當m=0時，由(10)式可得方程組(2)的平凡整數解(x，y，z)=(±17，±4，0)；當m>0時，對m分奇數與偶數兩種情形進行討論.

當m=2k-1，k≥1時，由(10)式得

(11)

當m=2k，k≥1時，由(10)式得

(12)