仿蚱蜢跳躍機器人腿部結(jié)構設計與性能分析

熊勇剛，成 威，龔 琦，田萬鵬

（湖南工業(yè)大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

相比于輪式、步行和履帶式等移動模式，跳躍運動具有更好地適應非結(jié)構化地形、更加快速地越障和避讓危險的優(yōu)勢。因此，在察探地形、探尋礦石和偵探敵情等領域之中，跳躍機器人擁有廣闊的應用前景[1]。同時，由于跳躍機器人可以輕松地越過數(shù)倍于自身尺寸的障礙物，這使得它在面對不平整地形上能發(fā)揮出更大的優(yōu)勢。因而，跳躍機器人逐漸進入機械設計領域研究者們的視野中，現(xiàn)已成為機械設計研究的熱門領域之一。

蚱蜢、蝗蟲、跳蚤、袋鼠、松鼠等生物因表現(xiàn)出了優(yōu)秀的運動性能，都可以被作為跳躍機器人的仿生對象。如陳東良等[2]通過研究蝗蟲的后腿結(jié)構特性，以具有仿生特性的四連桿結(jié)構模擬蝗蟲的后腿結(jié)構，以彈簧為儲能結(jié)構，設計出仿蝗蟲跳躍機器人。實驗測得該機器人具有良好的跳躍性能，其跳躍高度可達20 cm，跳躍距離可達80 cm。倪虹等[3]基于蝗蟲的跳躍性能和力學特性，設計出以六連桿結(jié)構為腿部機構的仿生跳躍機器人。實驗測得該機器人的跳躍高度能達到自身高度的129%。王欣等[4]通過對蝗蟲的生理結(jié)構進行分析，采用雙搖桿機構模擬蝗蟲后腿結(jié)構，并且通過優(yōu)化算法對其結(jié)構進行了優(yōu)化。國立首爾大學研制的仿跳蚤跳躍機器人，利用記憶合金模擬跳蚤的后腿肌肉伸縮過程，并且以四連桿結(jié)構為基礎設計出機器人的后腿機構。該跳躍機器人的質(zhì)量僅為1.1 g，身長2 cm，卻可以實現(xiàn)相當于自身30 倍的跳躍高度[5]。加州大學伯克利分校科研人員以平面八連桿機構為基礎，結(jié)合串聯(lián)彈簧驅(qū)動器，研制出了平均每隔0.58 s 便可以實現(xiàn)一次跳躍的機器人Salto[6-7]。王永健等[8]通過對松鼠的生理結(jié)構和運動機理進行研究，并且基于柔性腳趾設計出一種松鼠腿部跳躍機構，最后以實驗證明了該機構能有效地模擬松鼠的跳躍特性。然而在大自然之中，與其他仿生對象相比，蚱蜢的跳躍性能更為優(yōu)異，其跳躍距離能達到自身長度的15～30 倍[9-10]。加之蚱蜢在空中可以通過翅膀調(diào)整姿態(tài)，并且落地時的緩沖性能良好，因而成為了眾多學者的研究對象。

本研究擬以蚱蜢為仿生研究對象，通過分析蚱蜢運動機理和后足的生理結(jié)構，仿生設計一種具有高爆發(fā)和出色的跳躍性能的腿部跳躍機構，然后對跳躍機構進行簡化，根據(jù)運動學分析方法建立蚱蜢跳躍運動模型，并且從動力學和運動學的角度對模型進行分析與計算。最后，通過ADAMS 虛擬樣機，對設計的跳躍機構進行仿真實驗，以證明其在爆發(fā)性和跳躍性能方面的優(yōu)越性。

2 蚱蜢跳躍機構模型的建立

2.1 蚱蜢腿部結(jié)構與運動機理

蚱蜢與自然界中大多數(shù)能夠跳躍的生物類似，起跳的能量主要由發(fā)達的后足肌肉收縮提供。腿節(jié)、脛節(jié)、跗足3 部分構成蚱蜢的后足，其中跗足起穩(wěn)定和支撐軀體的作用，并通過跗關節(jié)與脛節(jié)連接，腿節(jié)通過膝關節(jié)與脛節(jié)連接，通過肌腱的伸縮拉動脛節(jié)繞膝關節(jié)轉(zhuǎn)動，腿節(jié)通過髖關節(jié)與身體相連。蚱蜢后足的結(jié)構如圖1 所示[11]。

圖1 蚱蜢后足的生物結(jié)構模型Fig.1 Biological structure model of grasshopper hind feet

脛節(jié)伸肌和脛節(jié)屈肌是蚱蜢后足肌肉的主要組成部分，其相互配合，使脛節(jié)繞關節(jié)向腿節(jié)方向轉(zhuǎn)動，從而完成蚱蜢的起跳過程。已有研究結(jié)果表明，在蚱蜢的后足膝關節(jié)處有一個與彈簧相似的半月板結(jié)構，蚱蜢在起跳前依靠腿節(jié)的肌肉收縮帶動半月板，在起跳瞬間釋放出半月板中積蓄的能量，讓脛節(jié)快速后擺，完成起跳動作。圖2 所示為一個完整的蚱蜢起跳過程示意圖。

圖2 蚱蜢起跳階段后足運動示意圖Fig.2 Schematic diagram of the hind foot movement of the grasshopper in the take-off phase

2.2 蚱蜢跳躍機構建模

基于對蚱蜢生理結(jié)構和運動機理的分析，仿生設計了蚱蜢后足機構模型，如圖3 所示。蚱蜢跳躍機構模型主要包括4 部分：彈簧裝置、減震系統(tǒng)、三連桿和曲柄滑塊結(jié)構。在起跳階段，通過拉動曲柄滑塊結(jié)構使彈簧裝置蓄力，并拉動脛節(jié)完成蓄力階段，隨后釋放彈簧，依靠彈簧的瞬間釋放使模型對地面產(chǎn)生極大的作用力，從而使模型獲得最大的起跳速度。在落地階段，通過減震系統(tǒng)，緩沖對地面的沖擊力，并且為第二次起跳積蓄能量。

圖3 蚱蜢跳躍機構模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of grasshopper jumping mechanism model

3 跳躍機構的建模分析

3.1 運動學建模與分析

對所設計的蚱蜢腿部跳躍機構模型進行簡化，將各關節(jié)簡化為自由度為1 的轉(zhuǎn)動副。l1繞固定點O轉(zhuǎn)動，l1和l2繞跗關節(jié)點A 轉(zhuǎn)動，l2和l3繞膝關節(jié)點B 轉(zhuǎn)動，l3和l4繞髖關節(jié)點C 轉(zhuǎn)動。采用運動學分析方法[12]建立如圖4 所示的運動學模型，其中X0-Y0是基坐標系，l1、l2、l3、l4分別為跗足、脛節(jié)、腿節(jié)、軀體。θ1、θ2、θ3、θ4分別為跗足與地面夾角、跗足角、膝關節(jié)腳、髖關節(jié)角。

圖4 蚱蜢腿部機構運動模型簡圖Fig.4 Sketch of the movement model of the grasshopper leg mechanism

兩相鄰連桿之間的齊次變換矩陣如下：

機器人各關節(jié)關于基坐標系OX0Y0Z0的位姿可由下式計算得：

式中：0An為關節(jié)坐標系相對于X0-Y0坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣；0hn為各關節(jié)坐標系相對于X0-Y0坐標系的位移矢量；0、1 均為分塊矩陣。

髖關節(jié)的變換矩陣為

式中（hx，hy）為髖關節(jié)的位置坐標，且

將蚱蜢腿部關節(jié)角度的離散數(shù)值[13]通過Matlab進行多項式曲線擬合后，得到如圖5 所示的各關節(jié)角度變化規(guī)律曲線。

圖5 蚱蜢起跳階段關節(jié)角度變化規(guī)律曲線Fig.5 Regular curves of the joint angle change of grasshopper during the take-off phase

將圖5 中蚱蜢起跳階段的各關節(jié)角度和表1[14]所示蚱蜢的腿部尺寸代入機構運動學表達式（1）中。基于Matlab 對表達式進行編程計算，得到起跳階段蚱蜢腿部關節(jié)在X 方向和Y 方向的位移變換曲線，如圖6 所示。

表1 蚱蜢腿部尺寸Table 1 Grasshopper leg sizes mm

圖6 髖關節(jié)位移曲線Fig.6 Hip joint displacement curve

把蚱蜢仿真中得到的髖關節(jié)的數(shù)據(jù)與圖6 進行對比分析，發(fā)現(xiàn)兩者的曲線變化趨勢基本上一致，這表明模型在運動學方面的分析是正確的。

在跳躍機器人的研究中，發(fā)現(xiàn)影響跳躍機器人彈跳性能的主要因素為彈跳高度和起跳速度。因此從運動學角度上來說，微分分析對于彈跳機構的研究也是必不可少的。在機器人學中，利用雅可比矩陣對跳躍機器人進行微分運動求解是最常用的手段之一，一般采用雅可比矩陣把關節(jié)速度和機構末端的笛卡爾速度關聯(lián)起來[14]，即

為了表明仿蚱蜢跳躍機構的運動學特性，課題組選取髖關節(jié)為對象進行研究，通過Matlab 對機器人起跳階段的運動學進行數(shù)值計算，然后分析髖關節(jié)在起跳階段的速度變化。數(shù)值計算步驟如下：采用最小二乘擬合方法對圖6 中的關節(jié)角度數(shù)據(jù)進行處理，得到各關節(jié)的運動函數(shù)，將運動函數(shù)進行微分求解，得到角速度；其次，由髖關節(jié)的變換矩陣，得到雅可比矩陣J(θ)；最后，把身體參數(shù)代入前文研究成果中，通過Matlab 對表達式（2）進行編程求解。圖7 是求解所得的髖關節(jié)在起跳階段的速度曲線圖。

圖7 起跳階段髖關節(jié)速度曲線Fig.7 Hip joint velocity curve during the take-off phase

由圖7 可以看出，一個完整的起跳過程可以分為兩個階段：起跳前期（0～28 ms），此階段髖關節(jié)速度變化不明顯，主要是腿節(jié)肌肉的蓄力。起跳后期（28～52 ms），在伸肌和屈肌的共同作用下，各骨骼關節(jié)快速展開，膝關節(jié)半月板中存儲的能量迅速釋放，讓髖關節(jié)速度快速增大，進而以最大的起跳速度離開地面。

將圖7 所示起跳階段速度與髖關節(jié)起跳階段仿真結(jié)果（如圖8 所示）進行對比，發(fā)現(xiàn)兩者的變化趨勢大體上一致，從而證明了所建立的仿蚱蜢腿部結(jié)構模型的合理性與可行性。

圖8 起跳階段髖關節(jié)速度仿真曲線Fig.8 Hip joint velocity simulation curve during the take-off phase

3.2 動力學建模與分析

從能量的角度對動力學分析是拉格朗日方程的優(yōu)點之一。拉格朗日方程的建立是基于對模型的動能和勢能的求解，再對其進行微分求解，可以獲得各關節(jié)的輸出力矩。根據(jù)拉格朗日方程，由模型的運動學模型建立蚱蜢后腿的動力學模型，如圖9 所示，其中彈簧裝置和滑塊沒有畫出。

圖9 蚱蜢腿部機構動力學模型Fig.9 Dynamics model of grasshopper leg mechanism

重新定義模型的各關節(jié)角度，有利于拉格朗日方程的導出，則進行如下定義：

系統(tǒng)的總動能T 由如下兩部分組成：連桿質(zhì)心角速度產(chǎn)生的動能Ek和連桿質(zhì)心線速度產(chǎn)生的動能Ep，即

式中：mi為各連桿的質(zhì)量；為各連桿的質(zhì)心速度，且為各連桿的質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量；為各關節(jié)的轉(zhuǎn)動角速度；Q1～Q7分別代表各桿件的平動動能，且

以機構跗足與大地接觸點O 點為零勢能點，系統(tǒng)的總勢能G 由各桿件的重力勢能和彈簧的彈性勢能Ps組成，令儲能彈簧彈性系數(shù)為K1，減震彈簧彈性系數(shù)為K2，求得系統(tǒng)勢能為

式中：Δx1、Δx2分別為兩彈簧的形變量；g 為重力加速度；hi為各連桿質(zhì)心垂直坐標位置；K1為儲能彈簧彈性系數(shù)；K2為減震彈簧彈性系數(shù)；P1～P7分別代表各桿件的重力勢能，且

則拉格朗日函數(shù)如下式所示：

將動能方程（3）與勢能方程（4）代入式（5）中，并做微分處理，得到各關節(jié)的輸出力矩，為

4 腿部機構動力學仿真分析

利用虛擬樣機軟件ADAMS 對三維模型進行仿真和驗證[15]，在仿真過程中，將所有桿件假設為剛性結(jié)構，且在運動過程中不存在變形。仿真模型將跗足、脛節(jié)和腿節(jié)分別設置為5, 25, 27 mm。在虛擬樣機軟件中，通過觀察模型跳躍運動軌跡得到如圖10所示的仿真跳躍動態(tài)變化圖，將其與實驗現(xiàn)象對比，可發(fā)現(xiàn)其基本符合蚱蜢后足跳躍過程。

圖10 模型仿真跳躍動態(tài)變化圖Fig.10 Simulation jumping dynamic diagram of the model

圖11 所示為通過仿真結(jié)果分析得到的質(zhì)心位移變換圖，從圖中可以看出，在0～0.050 s 內(nèi)，模型處于起跳階段，此時模型水平、豎直位移增長速度較為緩慢。在0.050～0.472 s 內(nèi)，機器人處于騰空階段，在此階段機器人的水平位移不斷增大，豎直位移先快速增大，并在0.240 s 達到最大跳躍高度，然后減小。0.472 s 為模型抵達地面的時間。在整個跳躍過程中，位移曲線較為平滑，說明在跳躍過程中機構模型穩(wěn)定性較好，且沒有發(fā)生翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象。跳躍機構的最大跳躍距離約為1.84 m，最大跳躍高度約為31.5 cm，這一過程基本與蚱蜢的跳躍特性相似，因而證明了所設計模型的合理性。

圖11 質(zhì)心位移變換仿真曲線Fig.11 Simulation curves of centroid displacement transformation

圖12 為質(zhì)心X 方向和Y 方向的速度變化曲線圖，從圖中可以看出，在0～0.05 s 內(nèi)，模型質(zhì)心Y 方向速度發(fā)生突變，且在極短的時間內(nèi)迅速上升，體現(xiàn)了模型在起跳階段的爆發(fā)性和突然性。模型Y 方向速度在0.14 s 時達到峰值，其后開始呈下降趨勢，并且在0.24 s 減小到0 mm/s。0.240 ～0.472 s 為模型落地階段，在這個階段模型速度變化較為平穩(wěn)，沒有出現(xiàn)較大的波動，說明在落地階段模型的穩(wěn)定性較好，這為模型進行連續(xù)跳躍提供了基礎。

圖12 質(zhì)心速度變化仿真曲線Fig.12 Simulation curve of centroid velocity change

圖13 是質(zhì)心X 方向和Y 方向的加速度曲線，其中0～0.05 s 為模型起跳到離開地面階段。由圖可知，加速度在0～0.05 s 內(nèi)產(chǎn)生突變，這是由于模型膝關節(jié)中彈簧存儲的能量被迅速釋放所引起的，體現(xiàn)了模型在起跳階段的爆發(fā)性。

圖13 質(zhì)心加速度仿真曲線Fig.13 Centroid acceleration simulation curve

圖14 為有減震系統(tǒng)跗關節(jié)受力圖和無減震系統(tǒng)跗關節(jié)受力圖，0.472 s 為模型抵達地面時間。從圖中可以看出，當模型抵達地面瞬間，跗關節(jié)受到極大的地面沖擊力，而減震系統(tǒng)可以減輕一半以上的對跗關節(jié)的地面沖擊力，從而使模型落地更為平穩(wěn)，這一結(jié)果證明了此模型具有優(yōu)越的跳躍性能。

圖14 跗關節(jié)受力圖Fig.14 Tarsal joint force diagram

5 結(jié)語

本研究分析了蚱蜢腿部結(jié)構組成，并以曲柄滑塊結(jié)構模擬蚱蜢腿部肌腱、以彈簧裝置模擬腿部膝關節(jié)的半月板結(jié)構，仿生設計出仿蚱蜢跳躍機器人的腿部結(jié)構模型。對模型進行運動學分析，并通過Matlab數(shù)值計算，得到蚱蜢起跳階段髖關節(jié)位移和速度曲線，與ADAMS 仿真實驗結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)兩者的變化趨勢大體一致，證明了所設計的仿蚱蜢腿部跳躍機構模型的合理性和可行性。研究結(jié)果也表明：在ADAMS 仿真實驗中，機構模型的跳躍距離可達到1.84 m，跳躍高度可達31.5 cm，基本與蚱蜢的運動特性相似，且在跳躍過程中，模型穩(wěn)定性能較好，并未有翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象發(fā)生，表明模型機構具有優(yōu)異的跳躍性能。在起跳階段起跳速度發(fā)生突變，體現(xiàn)了模型在起跳階段的爆發(fā)性和突然性。

本文通過對蚱蜢生理結(jié)構和運動機理進行研究分析，設計了蚱蜢腿部跳躍結(jié)構模型，為進一步對結(jié)構進行優(yōu)化奠定了基礎。